Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Nguyên hàm và tích phân - Trần Phương

h phân từng phần 
213 
• ( )
1 21 2 1 2
2 2 2
00 0
1 1 1 1 1ln d ln ln
2 1 2 1 1
x x x
x x x d
x x x
 + + +       
 = = −       
− − − −         
∫ ∫ ∫
1 2
2
0
1+ xB = x ln dx
1 x
 ( )
1 2 1 2 2
2
2
0 0
1 2 1 22
2
0 0
1 2
0
1 1 x dx 1 xln 3 x ln 3 dx
8 1 x 8 1 x1 x
1 1 1 1 2ln 3 1 dx ln 3 1 dx
8 1 x 8 1 x1 x
1 1 ln 3 3 5ln 3 x 2 ln 1 x 2 ln
8 1 x 8 2 6
−  
= − ⋅ ⋅ = −  
+ + 
−
   
= − − = − + −   + +  + 
 
= − − − + = + − 
+ 
∫ ∫
∫ ∫ 
• ( ) ( ) ( )112 20
0
ln 1 ln 1x x x xd x x   = + + − + +   ∫ ∫
1
2
3
0
B = ln x + 1 + x dx 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
1 2 1
2
02
0
x dx x dxln 1 2 x 1 ln 1 2
1 x x 1 x 1 x
1 d 1 xln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1
2 1 x
 
= + − + = + − 
+ + + + 
+
= + − = + − + = + + −
+
∫ ∫
∫
•
( ) ( ) ( )1 1 2 2
0 0
ln 1 1x x d x= + + +∫ ∫
2
4 2
x ln x + 1 + xB = dx
1 + x
( ) ( )
( )
( ) ( )
11
2 2 2 2
0
0
1
2
2 2
0
1
0
1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x
dxx2 ln 1 2 1 x 1
1 x x 1 x
2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1
 
= + + + − + + + 
 
 
= + − + +
 
+ + + 
= + − = + −
∫
∫
∫
•
( )1
0
∫
2
5 2
x ln x + 1 + xB = dx
x + 1 + x
. Đặt 
( )
( )
2
2
2
u ln x 1 x
x dxdv x 1 x x dx
x 1 x

= + +

= = + −
+ +
( )2
2 2
x dxdu 1 dx x 1 x
1 x 1 x
 
⇒ = + + + = 
+ + 
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
214 
( ) ( ) ( )1 2 3 22 2 2 2 31 1v 1 x d 1 x x dx 1 x x
2 3
 
= + + − = + − ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )1 13 2 3 22 3 2 2 35 20 0
1 1 dxB 1 x x ln x 1 x 1 x x
3 3 1 x
    
= + − + + − + −    
  +
∫ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3
2 2
0 0
1 1 2
2
20 0
2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx
3 3 31 x 1 x
2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1
arctg x d 1 x
3 3 6 1 x
− +
= − +
+ +
− + + −
= − + +
+
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 22 2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 1 x 1 x d 1 x
3 12 6
−
− + pi  
= − + + − + + ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
3 2 1 22 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 2 1 x 2 1 x
3 12 6 3
2 2 1 ln 1 2 2 2
3 12 9
− + pi  
= − + + − +  
− + pi −
= − +
• ( ) ( ) ( )1 2 2
0
1 ln 1
2
x x d x= + +∫ ∫
1
2
6
0
B = x ln x + 1 + x dx 
( ) ( )
( ) ( )
1
12 2
2 2
0 0
1 1 2
2
2 2 2
0 0
x ln x 1 x 1
x d ln x 1 x
2 2
1 1 x dx 1 1 x dxln 1 2 x 1 ln 1 2
2 2 2 21 x x 1 x 1 x
 + +   = − + +   
 
= + − + = + − 
+ + + + 
∫
∫ ∫
x 0 1 
t 0 pi/4 Xét 
1 2
2
0 1
x dxI
x
=
+
∫ .Đặt x )tg t ; t 0, 2pi= ∈ ⇒ 
dx 2dt cos t 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4 41 22 2 2
2 3 42 2
0 0 0 0
24 2 2 2 22 2
2 22 2
0 0 0
tg tx dx dt sin t sin tI dt d sin t
cos t cos t cos t1 x 1 tg t
sin t d sin t u du 1 1 u 1 u du
4 1 u 1 u1 sin t 1 u
pi pi pi
pi
⇒ = = ⋅ = =
+ +
 + − −
= = =  + − 
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
215 
( ) ( )
( )
2 2 2 22
2 2 2
0 0
2 2
0
1 1 1 1 1 1 2du du
4 1 u 1 u 4 1 u1 u 1 u
1 1 1 1 u 22 ln ln 1 2
4 1 u 1 u 1 u 2
   
= − = + −   
− + 
−
− + 
 +
= − − = − + 
− + − 
∫ ∫
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )6 1 1 1 1 2 2B ln 1 2 I ln 1 2 ln 1 2 ln 1 22 2 2 2 2 4
 
= + − = + − − + = − + + 
 
• ( ) ( )
0 002 2 2
8
8 8
1 1 1ln 1 d ln 1 ln 1
2 2 2
x x x x x d x
−
− − −
− = − = − − −∫ ∫ ∫
0
7
8
B = x ln 1 xdx 
( ) ( )
0 0 2
2
8 8
0 02
8 8
0
2
8
1 1 dx 1 x dx32ln 3 x 32ln 3
2 4 1 x2 1 x 1 x
1 1 1 x 1 132ln 3 dx 32ln 3 1 x dx
4 1 x 4 1 x
1 1 l 6332ln 3 ln 1 x x x 32ln 3 6 ln 3 6 ln 3
4 2 2 2
− −
− −
−
−
= − − ⋅ ⋅ = − +
−
− −
− −  
= − + = − + − + 
− − 
 
= − + − − − − = − + + = −  
∫ ∫
∫ ∫ 
x 
 −3 0 
t 2 1 • ( )
−
−
− −
∫
0
8
3
ln 1 xB = dx
1 x 1 x
. Đặt 1t x= − ⇒ 
dx 
 −2tdt 
Khi đó ta có: ( ) ( )1 2 28 3 2
2 1 1
ln t dt 1B 2t dt 2 ln t 2 ln t d
tt t
−
= − = =∫ ∫ ∫ 
( )
2 22 2
2
1 11 1
2 ln t 1 dt 22 d ln t ln 2 2 ln 2 1 ln 2
t t tt
− −
= − = − + = − − = −∫ ∫ 
• ( )
( )
( )
3 32
2 22
1 1
1 ln d 1 1 1ln
2 2 11
x x
x d
xx
+ − 
= =  
+ +
∫ ∫ ∫
3
9 22
1
x ln x dxB =
x + 1
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 3
22 2
1 11
3 32 2
22
1 1
3
2
1
ln x 1 1 ln 3 1 dxd ln x
2 20 2x 12 x 1 x x 1
ln 3 1 x 1 x ln 3 1 1 xdx dx
20 2 20 2 x x 1x x 1
ln 3 1 1 9ln 3ln x x 1 2
20 2 2 20
− −
= + = +
++ +
− + − −  
= + = + − 
+ +
−  
= + − + = −  
∫ ∫
∫ ∫ 
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
216 
3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 31 1 1sin ln sin ln sin ln3 3 3= = −∫ ∫ ∫21C = x sin ln x dx x d x x x x d x 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2
3 3 3 3 3
3 3 2 3 3
1
1 1 dx 1 1
x sin lnx x cos lnx x sin lnx x cos lnx dx
3 3 x 3 3
1 1 1 1 1
x sin lnx cos lnx d x x sin lnx x cos lnx x d cos lnx
3 9 3 9 9
1 1 1 1 1 1
x sin lnx x cos lnx x sin ln x dx x sin lnx x cos lnx C
3 9 9 3 9 9
= − = −
= − = − +
= − − = − −
∫ ∫
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 31 110 1 1 1C x sin ln x x cos ln x C 3x sin ln x x cos ln x c9 3 9 10
 ⇒ = − ⇒ = − +  
• ( )
2 2
2 2
00 0
1 1 1 11 cos 2 dx cos 2 dx
2 4 2 4 2
x
x xe ee x e x J−= − = − = −∫ ∫ ∫
pi
2x 2
2
0
C = e sin x dx
pipi pi pi
2
0
2xJ e cos x dx
pi
= ∫ ( ) ( )2x 2x 2x
00 0
1 1 1
e d sin 2x e sin 2x sin 2x d e
2 2 2
pipi pi
= = −∫ ∫
( ) ( )2x 2x 2x 2x
00 0 0
2 2 2 2
2x
0
1 1 1
e sin 2x dx e d cos 2x e cos 2x cos 2x d e
2 2 2
e 1 e 1 e 1 e 1
e cos 2x dx J 2J J
2 2 2 4
pipi pi pi
pipi pi pi pi
= − = = −
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫
∫
⇒ 
2 2 2 2
2
e 1 1 e 1 e 1 e 1C J
4 2 4 8 8
pi pi pi pi
− − − −
= − = − = 
• ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
1 1
cos ln cos ln 1 sin ln dx
e e
e
x x xd x e x= − = − + +∫ ∫ ∫
pie
3
1
C = cos ln x dx
pi pi
pi
pi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e
e
1
1 1
e
3 3 3
1
e 1 sin ln x dx e 1 x sin ln x xd sin ln x
1
e 1 cos ln x dx e 1 C 2C e 1 C e 1
2
pi pi
pi
pi
pi pi
pi pi pi pi
= − + + = − + + −
−
= − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = +
∫ ∫
∫
• ( ) ( )[ ] ( )
11 1
1 1 1 1 11 cos 2ln dx cos 2ln
2 2 2 2 2
ee e
e
x x x dx I−= + = − = −∫ ∫ ∫
pie
2
4
1
C = cos ln x dx
pipi pi
pi
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
217 
Xét ( )
1
2
e
I cos ln x dx
pi
= ∫ ( ) ( )( ) ( )
e e
e
1
1 1
2sin 2lnx
xcos 2lnx xd cos 2lnx e 1 x dx
x
pi pi
pi
pi
= − = − +∫ ∫ 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
e e
e
1
1 1
e e
1 1
e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x
2cos 2 ln x
e 1 2 x dx e 1 4 cos 2 ln x dx e 1 4I
x
pi pi
pi
pi pi
pi pi
pi pi pi
= − + = − + −
= − − = − − = − −
∫ ∫
∫ ∫
⇒ ( )4e 1 e 1 65I e 1 I C e 1 I e 1 e 15 5 5
pi pi
pi pi pi pi− −
= − ⇒ = ⇒ = − + = − + = − 
• ( ) ( )1 sin 1 sin 1 sin1 cos1 cos 1 cosx x xx x xd e e e d xx x+ + += = − ++ +∫ ∫ ∫x5 1 + sin xC = e dx1 + cos x 
( ) ( )
( )
( )
x x
x x x
2 2
x x
x
2
1 sin x 1 cos x sin x 1 sin x e dx e sin x dx
e e dx e
1 cos x 1 cos x 1 cos x1 cos x 1 cos x
1 sin x e dx e sin x dx
e I J ; I ; J
1 cos x 1 cos x 1 cos x
+ + + +
= − = − −
+ + ++ +
+
= − − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫1
Xét ( )21
xe sin x dxJ
cos x
=
+
∫ . Đặt 
( )
( )
( )
xx
2 2
du e dxu e
d 1 cos x 1sin x dxdv v
1 cos x1 cos x 1 cos x
 ==

⇒ 
− +
= = = 
++ +
∫
⇒ 
x x x
e e dx eJ I
1 cos x 1 cos x 1 cos x
= − = −
+ + +∫ (2). Thay (2) vào (1) ta có: 
⇒ 
x x
x x
5
1 sin x e 1 sin x eC e I I c e c
1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
 + +
= − − − + = − + 
+ + + + 
• ∫
pi 2
6 x
0
sin xC = dx
e
( )
0 0 0
1 1 11 2 2
2 2 2
pi pi pi
− − −
= − = −∫ ∫ ∫
x x x
e cos x dx e dx e cos x dx 
0 0 0
1 1 1 1 12 2
2 2 2 2 2 2
pi pi pi
− −pi −pi
− −
− − −
= − = − = −∫ ∫
x
x xe e e
e cos x dx e cos x dx J 
0
2xJ e cos x dx
pi
−
= ∫ ( ) ( )
x
x x
00 0
1 e sin 2x 1
e d sin 2x sin 2x d e
2 2 2
pipi pi
−
− −
= = −∫ ∫
( ) ( )
00 0 0
1 1 2 12 2 2
2 4 4 4
x
x x xe cos xe sin x dx e d cos x cos x d e
pipi pi pi
−
− − −
−
= = = − +∫ ∫ ∫ 
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
218 
0
1 1 1 1 5 1 12
4 4 4 4 4 4 5
xe e e ee cos x dx J J J
pi
−pi −pi −pi −pi
−
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =∫ 
⇒ ( )6 1 1 1 1 2 12 2 2 10 5
e e eC J e
−pi −pi −pi
−pi− − −
= − = − = − 
• ( ); 0a− >∫
a
2 2
7
0
C = a x dx 
( ) ( )2 2 2 22 2 2 207 2 2 2 2
0 0 0
2
2 2 2 2 2 2
72 2 00 0 0 2
a a aa
aa a a
x dx a a xC x a x x d a x dx
a x a x
dx x a
a a x dx a arcsin a x dx C
aa x
− −
= − − − = =
− −
pi
= − − = − − = −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒ 
2 2
7 72 2 4
a aC Cpi pi= ⇒ = 
• ( ); 0a >∫
a
2 2
8
0
C = a + x dx 
( )
( )
2
2 2 2 2 2
08 2 2
0 0
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0
2
2 2
a aa
a a a
xC x a x xd a x a dx
a x
a x a dx
a dx a a x dx a
a x a x
= + − + = −
+
+ −
= − = − + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
80
0
2 2 2
8 8
2 2 1 2
2 1 22 2 1 2
2
aa
a a ln x a x a x dx a a ln C
lnC a a ln C a
= + + + − + = + + −
+ +
⇒ = + + ⇒ =
∫
• ( ); 0a >∫
a
2 2 2
9
0
C = x a + x dx . Đặt ( )32 22 2 2
du dxu x
1v a xdv x a x dx 3
=
= 
⇒ 
= + = + 
( ) ( )
a a3 3
2 2 2 22 2
9
0 0
a a2 2
4 2 2 2 2 2 4
8 9
0 0
x 1C a x a x dx
3 3
2 2 a 1 2 2 a 1
a a x dx x a x dx a C C
3 3 3 3 3 3
= + − +
= − + − + = − −
∫
∫ ∫
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
219 
( ) ( ) ( )24
13 9
4 2 2 a 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2C a C
3 3 3 2 6 8
+ + − + − +
⇒ = − ⋅ = ⇒ = 
• ( ); 0a− >∫
a
2 2 2
10
0
C = x a x dx . Đặt ( )32 22 2 2
du dxu x
1v a xdv x a x dx 3
=
= 
⇒ 
−
= − = − 
( ) ( )
a a a a3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
10
0 0 0 0
2 2 4 4
7 10 10 7 10
x 1 1C a x a x dx a a x dx x a x dx
3 3 3
a 1 2 a a aC C C C C
3 3 3 3 12 8
 
−
= − + − = − + − 
 
 
pi pi
= + ⇒ = = ⇒ =
∫ ∫ ∫
• ( )222 2 2 22
2
aa
a
a
x x a x d x a− = − − −∫ ∫
2a
2 2
11
a 2
C = x a dx 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2a 2a 2 2 2
2 2
2 2