Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Các dạng bài tập khác về số phức

CÁC DẠNG BÀI TẬP KHÁC 
17. “Công thức Machin” 
 1. Hãy chuyển sang dạng đại số biểu thức sau : 
(5 – i)4 (1 + i). 
 2. Đặt β,α là những số thực xác định bởi : 
1
tgα
5
= 
pi
0 α
2
 
< < 
 
 và 
1
tgβ
239
= 0
2
piβ < < 
 
. 
 Chứng minh rằng : 
4
pi
β4α =− . 
(Hướng dẫn : Kiểm chứng rằng : 





∈−
2
pi
0,β4α , bằng cách sử dụng máy tính.) 
Ghi chú : Công thức này đã cho phép John Machin tính được giá trị gần đúng của pi . 
18. Giải phương trình sau : ( ) (*)z.3i2z3z +=+ 
 Biểu diễn x , y tìm được lên hệ trục toạ độ phức . 
19. Cho α là 1 số thực 





−∈
2
pi
,
2
pi
. Xét phương trình sau : 
 (E) : (1 + iz)3. (1 - itgα ) = (1 – iz)3.(1 + itgα ) 
 1. Cho biết z là 1 nghiệm của (E) 
 Chứng minh rằng : 1 + iz 1 iz= − Suy ra z là số thực . 
 2. a) Biểu diễn αie
α
α
theo
itg1
itg1
−
+
b) Cho z là một số thực , đặt z = tgϕ , với 
2
pi
2
pi
<<− ϕ 
Chứng minh (E) tương đương với một phương trình ẩn ϕ . Giải phương trình đó. 
c) Xác định 3 nghiệm z1, z2, z3 của (E). 
20. Cho n là 1 số nguyên ≥ 2 . 
 Với k = 0, 1,  , n – 1 . Đặt Mk là điểm có toạ độ n
2kpii
e . 
Chứng minh rằng những điểm M0, M1, Mn-1,  , Mn là đỉnh của một đa giác đều. 
(Hướng dẫn : Tính khoảng cách OMi và góc ( )1kk OM,OM + . 
21. Xét tập hợp E gồm các số phức z thoả điều kiện các điểm 1 , z và 3z thằng hàng . 
1. Chứng minh rằng z E∈ khi và chỉ khi 
3 1
1
z
z
−
−
 là một số thực. 
2. Từ đó suy ra tập hợp E . 
22. Cho cos sinz iα α= + . 
1. Chứng minh rằng : 2cosn nz z nα+ = và 2 sinn nz z i nα− = 
2. Dùng các khai triển của ( )5z z+ và của ( )5z z− tính cosα và sinα theo sin 5α 
và cos5α 
23. Trong số học tổng các bình phương là điều mà ta quan tâm . Sau đây là một bài toán 
về số phức liên quan tớikhái niệm vấn đề trên 
Có một số tự nhiên A là tổng của hai bình phương nếu tồn tại 2 số nguyên x , y sao 
cho 2 2A x y= + 
Ta chứng minh rằng nếu A là tổng của hai bình phương thì An cũng là tổng của 2 
bình phương n∀ ∈Z và 1n ≥ . 
(Kết quả sẽ rất bất ngờ và ta có thể nghĩ đến câu hỏi hóc búa như sau : 199925 có phải 
tổng của 2 bình phương không ? (trong khi đó 2 225 3 4= + ) 
Bài toán : Với x , y là 2 số nguyên và z là số phức z = x + iy 
1. Chứng minh rằng (gợi ý : bằng phương pháp quy nạp) 
n
n nz x iy= + với xn và yn những số nguyên 
2. Chứng minh rằng nếu 2 2A x y= + thì 2 2n n nA x y= + 
3. Sau đó bạn hãy kết luận ..... 
24. Xét phương trình bậc 5 sau : 
 ( ) 5 4 3 25 12 26 32 24P z z z z z z= − + − + − = 0 (E) 
1. Chứng minh rằng nếu z là nghiệm của E thì z cũng là nghiệm của (E). 
2. Chứng minh rằng (E) nhận 2 nghiệm thuần ảo , từ đó chỉ ra sự tồn tại của giá trị a 
và đa thức Q(z) bậc 3 có hệ số thực thoả ( ) ( ) ( )2 .P z z a Q z= + 
3. Khảo sát hàm số thực Q(x) . Chứng minh rằng đa thức Q nhận 1 nghiệm duy nhất 
mà ta có thể xác định được , từ đó suy ra tất các nghiệm của phương trình bậc 5 
trên . 
25. Xét hàm số f có biến số phức z được xác định bởi 
( ) ( ) ( )3 22 3 4 1 3 8f z z i z i z i= − + + + − . 
a) Chứng minh rằng ( ) ( )( )22 2 3 4f z z i z z= − − + . 
b) Giải phương trình ( ) 0f z = trong C. 
c) Viết những nghiệm nhận được dưới dạng đại số và lượng giác . 
26. Giải các phương trình sau : 
a. 3 1z = − . 
b. 3z i= . 
27. Với mọi a , 0 2a pi< < , chứng minh rằng : 
a) 
( )1
cos sin
2 21 cos cos2 .... cos
sin
2
n ana
a a na
a
+
+ + + + = . 
b) 
( )1
sin sin
2 2sin sin 2 .... sin
sin
2
n ana
a a na
a
+
+ + + = . 
28. a) Với mọi 1z , 2z ∈ C , chứng minh rằng : 
( )2 2 2 21 2 1 2 1 22z z z z z z+ + − = + . 
( )( )2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z2− − − = − − . 
b) Với mọi z ∈ C , chứng minh rằng 
Re Im 2z z z+ ≤ 
 Khi nào có dấu đẳng thức ? 
29. a) Chứng minh rằng 
( )2 2 21 2 1 2 1 22Re .z z z z z z− = + − 
b) Sử dụng kết quả trên hãy chứng minh Định lí cosin trong tam giác ABC : 
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 
30. Giải phương trình : 
a) cosz = 2. 
b) cos2z = sin(z + i).