Ôn tập về Phép biến hình

-1(y+1)=0 Û 2x+y-3=0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, tọa độ của H là nghiệm của hệ:
Þ H(1;1).
Điểm M’(x’;y’) đối xứng với M(x;y) qua trục d khi H là trung điểm của MM’. Tọa độ của M’ là:
Vậy M’(0;3)
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(-1;1) và B(2;4). Tìm trên Ox điểm M sao cho tổng AM+BM nhỏ nhất.
Giải: 
Vì yA.yB=1.4=4>0 nên A và B nằm về cùng một phía so với Ox:y=0.
Gọi A’(-1;-1) là điểm đối xứng với A(-1;1) qua Ox.
Nếu A’B cắt Ox tại M thì AM=A’M. Vì A’, M, B thẳng hàng nên A’M+MB=AM+BM ngắn nhất. Vậy M cần tìm là giao điểm của A’B với Ox.
Đường thẳng A’B đi qua A’(-1;-1) và có vectơ chỉ phương nên A’B có vectơ pháp tuyến .
Vậy A’B: 5(x+1)-3(y+1)=0 Û 5x-3y+2=0
Tọa độ của M là nghiệm của hệ: 
Vậy là điểm cần tìm.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):(x-1)2+(y+2)2=9. Tìm ảnh của (C) trong phép đối xứng qua đường phân giác d:y=x.
Giải: Đường tròn (C):(x-1)2+(y+2)2=9 có tâm I(1;-2) và bán kính R=3. Trong phép đối xứng qua đường phân giác d:y=x đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có tâm I’(-2;1) và bán kính R’=R=3 . Vậy (C’):(x+2)2+(y-1)2=9
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có A(4;0), B(0;2) và C(-1; -5). 
Chứng minh rằng tam giác ABC có góc A nhọn. Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC.
Viết phương trình của các đường thẳng AB và AC.
Tìm tọa độ các điểm MÎAB và NÎAC để tam giác GMN có chu vi nhỏ nhất.
Giải: 
Ta có và . Khi đó:
Þ cosA>0 Þ A nhọn
G là trọng tâm của tam giác ABCÛ nên trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
Þ G(1;-1)
Phương trình AB có dạng đoạn chắn:
Ûx+2y-4=0
AC đi qua A(4;0) và có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
1(x-4)-1(y-0)Ûx-y-4=0
Vì G nằm trong góc nhọn BAC nên :
Ta tìm được I(3;3) đối xứng với G qua AB và J(3;-3) đối xứng với G qua AC (dựa vào cách tìm một điểm đối xứng với một điểm cho trước qua 1 trục). Gọi M và N lần lượt là giao điểm của IJ với AB và AC. Ta có GM=IM, GN=NJ.
Vì 4 điểm I, M, N, J thẳng hàng nên IM+MN+NJ=GM+MN+GN nhỏ nhất. 
Đường thẳng IJ: x=3 cắt AB tại M(3;) và cắt AC tại N(3;-1).
Vậy với M(3;) ÎAB và N(3;-1)ÎAC thì tam giác GMN có chu vi nhỏ nhất.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho ba đường thẳng d:x-2y+1=0 và (D): x-2y-4=0, d1: x+y+1=0.
Chứng minh rằng (D) song song với d. Viết phương trình của đường thẳng (D’) đối xứng với (D) qua d.
Chứng minh rằng d1 cắt d, tìm tọa độ giao điểm I của d và d1. Viết phương trình của đường thẳng d2 đối xứng với d1 qua d.
Giải: 
Vì nên (D) song song với d, do đó qua phép đối xứng trục d, ảnh của đường thẳng (D) là đường thẳng (D’) song song với (D) nên (D) và (D’) có cùng vectơ pháp tuyến . 
Từ phương trình (D) cho y=0Þx=4, ta có M(4;0)Î (D).
Trong phép đối xứng qua d, M(4;0) có ảnh là M’(2;4)Î(D’) 
Vậy (D’): 1(x-2)-2(y-4)=0Ûx-2y+6=0.
Tọa độ giao điểm I của d và d1 (nếu có) là nghiệm của hệ:
Vậy d1 và d cắt nhau tại I(-1;0).
Từ d1: x+y+1=0, cho x=0 Þy=-1 ta có K(0;-1)Î d1
Qua phép đối xứng trục d ta tìm được K’()Î d2
Đường thẳng d2 đối xứng với d1 qua d khi d2 đi qua hai điểm I,K’.
d2 đi qua điểm I(-1;0) và có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến . 
Phương trình d2: 7(x+1)+y=0 Û 7x+y+7=0
Bài 4. Phép đối xứng tâm
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép đối xứng tâm I là phép biến hình biến M thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn MM’. 
Khi MºI thì M’ºI
Ký hiệu: ĐI. I được gọi là tâm đối xứng.
Phép đối xứng tâm I là phép dời hình
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, Phép đối xứng tâm I(a;b), biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
Phép đối xứng tâm đặc biệt: M’(-x;-y) đối xứng M(x; y) qua O
Tính chất của phép đối xứng tâm: Vì phép đối xứng tâm là một phép dời hình nên có tính chất của một phép dời hình.
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép đối xứng tâm ĐI:
Ảnh của M(x;y) trong phép đối xứng tâm ĐI là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên.
 Ảnh của đường thẳng (D): Ax+By+C=0 trong phép đối xứng tâm ĐI là đường thẳng (D’)//(D). Tìm phương trình đường thẳng (D’):
Cách 1: Chọn M(x;y)Î(D) và đi tìm M’(x’;y’) đối xứng với M qua I Þ M’Î(D’): A(2a-x’)+B(2b-y’)+C=0
Cách 2: Vì (D’)//(D) nên (D’): Ax+By+C’=0 (C’¹C)
Dùng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đưòng thằng: d(I, D’)= d(I, D) tìm được C’. Từ đó tìm được phương trình của đường thẳng (D’).
Ảnh của đường tròn (C) trong phép đối xứng tâm I là đường tròn (C’) có cùng bán kính với (C) và có tâm I0’ đối xứng với tâm I0 của (C) qua I (hoặc dùng phép biến hình: phép đối xứng tâm).
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;-1) qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Giải: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:
Vậy M’(4;3)
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d:x+y-1=0 qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Giải: 
Cách 1: "M(x;y)ÎdÛ x+y-1=0 (1)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:
Thay (x;y) này vào (1): 6-x’+2-y’-1=0Ûx’+y’-7=0
M(x’;y’)Îd’Û x+y-7=0 
Vậy d’: x+y-7=0
Cách 2: Qua phép đối xứng tâm I(3;1) d có ảnh là d’//d.
Vậy d’:x+y+C=0 với C≠-1
Vì I cách đều d và d’ nên:
Û|C+4|=3ÛC+4=-3 hoặc C+4=3
ÛC=-7 hoặc C=-1(loại)
Vậy d’: x+y-7=0
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C):(x-1)2+(y-1)2=4 qua phép đối xứng tâm I(3; 1).
Giải: 
Cách 1: "M(x;y)Î(C)Û (x-1)2+(y-1)2=0 (1)
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đối xứng tâm I(3;1). Ta có:
Thay (x;y) này vào (1): (6-x’-1)2+(2-y’-1)2=4Û(x’-5)2+(y’-1)2=4
Vậy M(x’;y’)Î (C’):(x-5)2+(y-1)2=4
Vậy (C’):(x-5)2+(y-1)2=4 là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I(3;1).
Cách 2: Đường tròn (C):(x-1)2+(y-1)2=4 có tâm I0(1;1) và bán kính R=2. Qua phép đối xứng tâm I(3;1) đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có tâm I0’(5;1) và bán kính R’=R=2.
Vậy (C’):(x-5)2+(y-1)2=4.Bài 5. Phép quay
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Phép quay tâm I góc quay là phép biến hình biến I thành I, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho IM=IM’ và (IM,IM’)= (góc lượng giác không đổi) . 
Ký hiệu: Q( I,)
Phép quay tâm I góc quay là phép dời hình
Biểu thức tọa độ của phép quay tâm I góc quay : 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, Phép quay tâm I(a;b) góc quay , biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
Đặc biệt: Phép quay tâm I(a;b) góc quay với:
=900:
=-900:
=±1800:
Tính chất của phép quay tâm I góc quay : Vì phép quay tâm I góc quay là một phép dời hình nên có tính chất của một phép dời hình.
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép quay tâm I góc quay :
Ảnh của M(x;y) trong phép quay tâm I góc quay là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên.
 Ảnh của đường thẳng (D) trong phép quay tâm I góc quay là đường thẳng (D’).
Ảnh của đường tròn (C) trong phép quay tâm I góc quay là đường tròn (C’) có cùng bán kính với (C).
Bài tập áp dụng:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có thứ tự các đỉnh theo chiều quay ngược với chiều quay kim đồng hồ, cho biết A(-4;5) và C(3;4). Tìm tọa độ các đỉnh B và D.
Giải: 
Ta có I) là tâm của hình vuông ABCD. Đỉnh B là ảnh của A trong phép quay tâm I góc quay =900 nên tọa độ của B là:
Û. 
Vậy B(-1;1)
Đỉnh D là ảnh của C trong phép quay tâm I góc quay =900 nên tọa độ của D là:
Û
Vậy D(-1;1)
(Có thể tìm D bằng cách sử dụng công thức I là trung điểm của BD)
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác đều ABC có A(1;3) và B(4;-1). Tìm tọa độ đỉnh C.
Giải: 
Ta có A(1;3) là đỉnh của tam giác đều ABC. Vì C là ảnh của B trong phép quay tâm A góc quay =±600 nên tọa độ của C là:
Khi =600
 Û
Trong trường hợp này ta có C1()
Khi = -600
 Û
Trong trường hợp này ta có C2()
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d:5x-3y+15=0. Tìm ảnh của d trong phép quay tâm O góc quay 900.
Giải:
"M(x;y)ÎdÛ5x-3y+15=0 (1)
Trong phép quay tâm O góc quay 900 ảnh của M(x;y) là M’(x’;y’) có tọa độ:
Thay cặp (x;y) này vào (1): 5y’-3(-x’)+15=0 Û3x’+5y’+15=0
Vậy M’(x’;y’) Îd’:3x+5y+15=0.
Vậy ảnh của đường thẳng d trong phép quay tâm O góc quay 900 là đường thẳng d’: 3x+5y+15=0.
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn (C):(x+1)2+(y-2)2=9. Tìm ảnh của (C) trong phép quay tâm O góc quay -900.
Giải: Đường tròn (C) có tâm I(-1;2) và bán kính R=3
Trong phép quay tâm O góc quay -900 đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có bán kính R’=R=9 và có tâm I’ là ảnh của I trong phép quay tâm O góc quay -900:
Tọa độ của I’:
ÞI’(2;1)
Vậy ảnh của đường tròn (C) trong phép quay tâm O góc quay -900 là đường tròn (C’): (x-2)2+(y-1)2=9.
Bài 6. Phép vị tự
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa: 
Cho một điểm I cố định và một số k không đổi, k¹0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k. Ký hiệu: V( I,k).
	Đặc biệt: Khi k=-1 thì phép vị tự là phép đối xứng tâm I
Biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I, tỉ số k: 
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k(k¹0) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thỏa:
 hay 
Tính chất của của phép vị tự: Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia;
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|;
Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R;
Biến góc thành góc bằng nó.
Tâm vị tự của hai đường tròn: Cho hai đường tròn (I1;R1) và (I2;R2) phân biệt. Nếu có một phép vị tự tâm I tỉ số k(k¹0) biến đường tròn này thành đường tròn kia thì I được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó.
k>0: I là tâm vị tự ngoài; k<0: I là tâm vị tự trong
Phương pháp giải toán:
Ta thường gặp dạng bài tập tìm ảnh của một điểm, của một đường thẳng hoặc ảnh của một đường tròn trong phép vị tự tâm I, tỉ số k:
Ảnh của M(x;y) trong phép vị tự tâm I, tỉ số k là M’(x’;y’) thỏa biểu thức tọa độ trên.
 Ảnh c