Ôn tập Toán 11 HK I

iểm M’ đối xứng với M qua a.
	Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa. Phép đối xứng qua đường thẳng còn được gọi đơn giản là phép đối xứng trục. Đường thẳng a được gọi là trục đối xứng.
Định lý Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Nhận xét Trong mặt phẳng Oxy
Hai điểm và đối xứng nhau qua trục Ox khi và chỉ khi 
 ;
Hai điểm và đối xứng nhau qua trục Oy khi và chỉ khi 
.
2	Trục đối xứng của một hình
Định nghĩa Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng trục Đd biến hình (H) thành chính nó.
B	BÀI TẬP
Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua trục hoành.
Viết phương trình ảnh đối xứng của đường tròn qua trục tung.
a/ Cho đường thẳng . Hãy thiết lập biểu thức tọa độ cho phép đối xứng trục .
b/ Cho đường tròn và đường thẳng . Hãy viết phương trình ảnh đối xứng của (C) qua .
Hãy viết phương trình ảnh đối xứng của đường thẳng qua đường thẳng .
Cho hai đường thẳng và đường thẳng .
a/ Xác định tọa độ giao điểm của d và .
b/ Xác định tọa độ ảnh của điểm M(0 ; -2) qua phép đối xứng trục .
c/ Hãy viết phương trình ảnh đối xứng của đường thẳng d qua trục .
Hãy viết phương trình ảnh của qua phép đối xứng trục d : 4x – y – 2 = 0.
Cho hai điểm A(-2 ; 3) và B(5 ; 2). Hãy xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho nhỏ nhất.
a/ Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng thành đường thẳng . Hãy viết phương trình của đường thẳng a.
b/ Phép đối xứng trục Đa biến đường thẳng thành đường thẳng . Hãy viết phương trình của đường thẳng a.
§4 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A	LÝ THUYẾT
1	Phép quay
Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng giác được gọi là phép quay tâm O góc quay .
Kí hiệu 
Định lý Phép quay là một phép dời hình.
2	Phép đối xứng tâm
Định nghĩa Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là .
	Phép đối xứng qua điểm O được kí hiệu là ĐO, điểm O gọi là tâm đối xứng.
	Phép đối xứng qua một điểm còn được gọi là phép đối xứng tâm.
Nhận xét Phép đối xứng tâm là một phép quay.
Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng Oxy, hai điểm và đối xứng nhau qua tâm khi và chỉ khi
.
Tâm đối xứng của một hình Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.
B	BÀI TẬP
Cho M(3; 3), N(2 ; -5) và O là gốc tọa độ.
a/ Hãy xác định tọa độ ảnh của các điểm M và N qua phép đối xứng tâm ĐO.
b/ Hãy xác định tọa độ ảnh của điểm N qua phép đối xứng tâm ĐN.
Hãy viết phương trình ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng tâm .
Qua phép đối xứng tâm I(-3 ; 1), đường tròn biến thành đường tròn (C’). Hãy viết phương trình của đường tròn (C’).
Cho (-6 ; 1), A(3 ; -4), B(5 ; 0) và d : x + 2y = 0.
a/ Xác định tọa độ của A’ = (A).
b/ Chứng minh B = Đd(A).
c/ Gọi (C) là đường tròn có tâm B bán kính = 7. Tìm phương trình (C’) = Đ’A(C).
Phép tịnh tiến theo véctơ biến đường thẳng d : 3x – y – 1 = 0 thành đường thẳng d’ ; phép đối xứng tâm I(3 ; 0) biến đường thẳng d’ thành đường thẳng d”. Hãy viết phương trình của đường thẳng d”.
Cho điểm và các đường thẳng , . Hãy xác định tọa độ của các điểm A và B lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 và d2 sao cho phép đối xứng tâm ĐI biến điểm A thành điểm B.
Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng thành đường thẳng . Biết tâm I nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba, hãy xác định tọa độ tâm I.
Cho điểm A(7 ; 7), đường thẳng d : x + y – 18 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x – 6y + 2 = 0. Tìm tọa độ M (C) và N (d) sao cho A là trung điểm MN.
§5 PHÉP VỊ TỰ
A	LÝ THUYẾT
1	Định nghĩa Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu là V hoặc V(O,k).
2	Tính chất
Định lý 1 Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì và .
Định lý 2 Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Hệ quả Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó ; biến tia thành tia ; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với ; biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là ; biến góc thành góc bằng nó ; biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính .
B	BÀI TẬP
Phép vị tự tỉ số biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Hãy tính tỉ số diện tích của hai tam giác đó.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy thiết lập biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm O tỉ số .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn . Phép vị tự tâm O tỉ số -2 biến đường tròn thành đường tròn . Hãy viết phương trình của .
Cho (d) : 2x + 3y – 5 = 0 , (-3 ; 7).
a/ Viết phương trình của d’ = (d).
b/ Cho A( 2; 9). Tìm tọa độ A’ = Đd(A).
c/ Cho (C) : x2 + y2 – 4x + 6y +12 =0. Viết phương trình (C’) = V(A; -2) (C).
Cho A(-2; 1), B(5 ; 4). Tìm phép vị tự biến đường tròn (A ; R= 3) thành đường tròn (B ; R = 9).
BÀI TẬP LÀM THÊM
PHÉP TỊNH TIẾN
Phép tịnh tiến theo véctơ biến đường thẳng thành đường thẳng . Biết rằng . Hãy viết phương trình của đường thẳng .
Cho hai véctơ , và đường thẳng . Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến và là ảnh của qua phép tịnh tiến . Hãy viết phương trình của .
Hãy xác định tọa độ của điểm M trên trục tung sao cho phép tịnh tiến theo véctơ biến điểm M thành một điểm trên trục hoành.
Phép tịnh tiến theo véctơ biến điểm thành một điểm trên đường thẳng . Hãy xác định tọa độ véctơ , biết .
Cho d : 2x – 5y +4 = 0. Hãy xác định véctơ có giá song song với Ox biết rằng trong phép tịnh tiến T, đường thẳng d có ảnh là một đường thẳng qua gốc tọa độ O.
Cho đường tròn và là đường tròn qua điểm A(-3 ; -1), có tâm . Hãy xác định tọa độ điểm M trên (C) và điểm N trên (C1) sao cho .
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Thực hiện liên tiếp các phép biến hình sau đây đối với đường thẳng d ta được đường thẳng d’ : lấy đối xứng qua trục Ox, tịnh tiến theo véctơ .
a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ nếu biết d : 2x – y – 1 = 0.
b/ Hãy cho biết phương trình đường thẳng d nếu biết d’ : y = 3.
Cho (d) : 5x – 12y + 6 = 0 và A(3; 0) B(2 ; 6)
a/ Viết phương trình của d1 = ĐA(d).
b/ Viết phương trình của d2 = (d).
Viết phương trình của (C’) là ảnh của (C) : x2 + y2 – 2x + 4y -4 =0 qua Đd với d : 3x – 4y – 1 = 0.
Cho A(-3 ; 2), B(0 ; -2), d : 5x + 12y – 7 = 0 và (C) : x2 + y2+ 8x – 6y – 11 = 0.
a/ Tìm tọa độ A’ = Đ Ox(A).
b/ Tìm (C’) = .
c/ Biết (C2) là ảnh của (C’) qua . Tìm vectơ tịnh tiến biến (C2) thành (C).
Cho đường tròn và đường thẳng . Hãy xác định tọa độ các điểm A trên và B trên d sao cho các điểm A và B đối xứng nhau qua trục Oy.
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM – PHÉP QUAY – PHÉP VỊ TỰ
Phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) ; phép đối xứng tâm O biến đường tròn (C’) thành đường tròn (C”). Biết phương trình của (C”) : x2 + y2 + 4x + 5y – 1 = 0, hãy viết phương trình của (C).
Chứng tỏ rằng tồn tại một phép đối xứng tâm biến đường tròn đơn vị thành đường tròn ; hãy chỉ ra tọa độ tâm của phép đối xứng đó.
Hãy xác định tọa độ của điểm A trên đường thẳng và điểm B trên đường tròn sao cho A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Cho điểm A(2 ; 2) và các đường thẳng , . Tìm tọa độ các điểm B, C lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Một đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B thỏa điều kiện B là trung điểm của OA. Hãy viết phương trình đường thẳng d.
Cho A(2 ; -3), B(-2 , 1), d : 3x – 2y – 1 = 0 và (C) : x2 + y2 + 2x - 4y -4 = 0. Tìm ảnh của
a/ B qua ĐA.
b Đường thẳng d qua ĐOx.
c/ Đường tròn (C) qua .
d/ Đường tròn (T) dường kính AB qua V(0;-2).
Cho (C) : x2 + y2 – 4x + 2y + 4 = 0.
a/ Viết phương trình (C’) = .
b/ Tìm tọa độ tâm vị tự trong của (C) và (C’)
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A di động trên đường tròn đó. Hãy chứng minh trực tâm H của ∆ABC thuộc một đường tròn cố định bằng ba phương pháp (áp dụng phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm).
Cho (0; R) và (O’; R) cắt nhau tại A và B. Gọi . Chứng minh A, O, B’ thẳng hàng.
Cho hai điểm B, C cố định và hình bình hành ABCD có D di động trên mội đường tròn (O ; R). Gọi M là điểm trên AB sao cho A là trung điểm BH. Gọi I là giao điểm của AD và MC. Chứng minh I di động trên một đường cố định.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M di động trên nửa đường tròn đó (M ≠ A). Dựng về phía ngoài tam giác MAB hình vuông MACD. Tìm tập hợp điểm C.
Chương 2 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A	LÝ THUYẾT
1	Mở đầu về hình học không gian
Mặt phẳng
Mặt phẳng thường được biểu diễn bởi một hình bình hành.
Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái đặt trong ngoặc đơn : (P), (Q), , , , 
Điểm thuộc mặt phẳng
Nếu điểm A nằm trên mặt phẳng (P) thì ta viết, đọc là A thuộc (P)
Nếu điểm A không nằm trên mặt phẳng (P) thì ta viết .
Đường thẳng nằm trên mặt phẳng
Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta viết , đọc là d chứa trong (P) hoặc , đọc là (P) chứa d.
Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta thường áp dụng các quy tắc sau :
Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng, đoạn thẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng ;
Hai đường thẳng song song được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau được biểu diễn bởi hai đường thẳng cắt nhau ;
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng
Dùng nét vẽ liền ( ____ ) để biểu diễn những đường trông thấy ; dùng nét đức đoạn ( ---- ) để vẽ những đường bị khuất 
2	Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất 2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3 Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt ph