Ôn tập học kì I Toán lớp 11

Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện);
	Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản ị nghiệm x
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một ẩn như ví dụ này)
Bài 1: Giải các phương trình sau
	1) 	2) 
Bài 2: (Các phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai). Giải các phương trình 
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
	11) 
3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình: 	(*)
* Cách giải:
	Cách 1:
	Chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình: 
	(**)
	Vì: 
	Nên ta đặt 
	Khi đó phương trình (**) trở thành: 
	 là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải!
Chú ý: Điều kiện đề phương trình có nghiệm là: 
Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt (Tự làm)
Cách 3: Sử dụng công thức tính theo (tự làm)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
4. Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình: 	(*)
* Cách giải:
	Cách 1:
	Bước 1: Nhận xét hay không là nghiệm của phương trình;
	Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho ta được phương trình”
	Bước 3: Giải phương trình ta được nghiệm của phương trình đã cho.
	Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x. (Học sinh tự giải cách này)
Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát: 
	(**)
	Ta biến đổi như sau: (**)
	. 
Đây là phương trình có dạng (*)
Ví dụ: Giải các phương trình:
	1) 
	2) 
Bài tập : Giải các phương trình sau
	1) 4) 
	2) 5) 
	3) 
	5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
* Dạng phương trình: 
* Cách giải:
	Đặt ; điều kiện: 
	Phương trình trở thành: 
	Giải phương trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phương trình :
	 đã biết cách giải
Ví dụ: Giải phương trình : 
Bài tập tự giải:
	1) 
	2) 
6. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
* Dạng phương trình: 
* Cách giải:
	Đặt ; điều kiện: 
	Phương trình trở thành: 
	Giải phương trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phương trình :
	 đã biết cách giải
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:
1) 	 4) 
2) 	 6) 
3) 7) 
đại số tổ hợp
I, Quy tắc cộng: 
1, Nếu có 8 đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý hỏi học sinh có bao nhiêu cách mượn một quyển sách từ thư viện.
2, Quán Tản Đà có 4 món bò: nhúng dấm, lúc lắc, nướng mỡ chài, nướng lá cách có 3 món gà:xối mỡ, quay tứ xuyên, rút xương và 2 món cua : rang muối , rang me. Hỏi nhà văn Vương Hà có mấy cách gọi món lai rai.
II, Quy tắc nhân.
1, Một bé có thể mang họ cha là Lê hay họ mẹ là Đỗ, chữ đệm có thể là Văn, Hữu, Hồng, Bích, hoặc Đình, Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, TRí, Đức, Ngọc hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé.
2, Một nhóm sinh viên gồm n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho nam và nữ đứng xen nhau.
3, Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?
4, Có bao nhiêu số có thể lập từ các chữ số: 2, 4, 6, 8 nếu
a, Số đó nằm từ 200 đến 600
b, Số đó gồm 3 chữ số khác nhau
c, Số đó gồm 3 chữ số.
III, Hoán vị 
1, Giải pt: 
2, Giải bất pt: 
3, Liệt kê tất cả các hoán vị của {a,b,c}
4, Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f}
5, Có bao nhiêu hoán vị của {a, b, c, d, e, f} với phần tử cuối cùng là a.
6, Có 6 ứng cử viên chức thống đốc bang. Tính số cách in tên ứng cử viên lên phiếu bầu cử.
7, Có bao nhiêu cách xắp xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn "hai cách gọi là như nhau nếu cách này xoay bàn đi ta được cách kia".
IV. Chỉnh hợp:
1, Tính giá trị: 
2, Giải pt:
3, Giải bất pt:
4, Tìm miền giá trị của hàm số: 
5, a, Tìm x thoả mãn: 
 b, Từ các chữ số 1,2,5,7,8 lập được bao nhiêu số tự nhiêncó 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276.
6, Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên.
7, Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì, ba trong cuộc đua có 12 con ngựa.
8, Có 100 vé đánh số từ 1 tới 100 được bán cho 100 người khác nhau. Người ta sẽ trao 4 giải thưởng kể cả giải độc đắc. Hỏi
a. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng.
b. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng giải độc đắc?
c. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng một trong các giải?
d. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 không trúng giải?
V. Tổ hợp.
1. Cho tập S = {1, 2, 3, 4, 5} 
a. Liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của S
	b. Liệt kê các tổ hợp chập 3 của S
2. Tính giá trị: 
3. Chứng minh rằng: 
4. CMR: 
5. CMR
6. Giải pt:
Xác suất có điều kiện
1. Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cựng một phộp thử.
	Xỏc suất cú điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đó xảy ra, kớ hiệu là P(B/A) với 
P(A) > 0 là 
	*Cụng thức cộng xỏc suất
	*Cụng thức nhõn xỏc suất
	Mở rộng cho tớch n biến cố:
	*Tớnh chất
	A, B độc lập 
2. Cỏc vớ dụ:
	2.1 Vớ dụ 1: Một bỡnh đựng 3 bi xanh và 2 bi trắng. Lấy ngẫu nhiờn lần 1 một viờn bi (khụng bỏ vào lại), rồi lần 2 một viờn bi. Tớnh xỏc suất để lần 1 lấy một viờn bi xanh, lần 2 lấy một viờn bi trắng.
	2.2 Vớ dụ 2: Trong một kỡ thi. Thớ sinh được phộp thi 3 lần. Xỏc suất lần đầu vượt qua kỡ thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thỡ xỏc suất vượt qua kỡ thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thỡ xỏc suất vượt qua kỡ thi ở lần thứ ba là 0,3. Tớnh xỏc suất để thớ sinh thi đậu.
	2.3 Vớ dụ 3: Trong hộp cú 20 nắp khoen bia Tiger, trong đú cú 2 nắp ghi “Chỳc mừng bạn đó trỳng thưởng xe FORD”. Bạn được chọn lờn rỳt thăm lần lượt hai nắp khoen, tớnh xỏc suất để cả hai nắp đều trỳng thưởng.
	2.4 Vớ dụ 4: Phải gieo ớt nhất bao nhiờu lần một con sỳc sắc để xỏc suất cú ớt nhất một lần xuất hiện mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9?
	2.5 Vớ dụ 5: Cú hai hộp: (I) và (II). Hộp (I) cú 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hộp (II) cú 6 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiờn một hộp và từ đú lấy ngẫu nhiờn 1 bi. Tớnh xỏc suất để lấy được bi đỏ.
	2.6 Vớ dụ 6:Trong hộp cú 3 bi trắng và 7 bi đỏ,lấy lần lượt mỗi lần một viờn và khụng trả lại,hóy tớnh:
	a)Xỏc suất để viờn bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viờn bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ.
	b)Xỏc suất để viờn bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viờn bi lấy lần thứ nhất là màu trắng.
Nhận xột:Trong bài toỏn nờu trờn nếu ta gọi A là biến cố:viờn bi lấy lần thứ nhất màu đỏ,B là biến cố:viờn bi lấy lần thứ hai màu đỏ thỡ xỏc suất ở cõu a là và xỏc suất ở cõu b là 
 	2.7 Vớ dụ 7: Một bỡnh đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ chỉ khỏc nhau về màu sắc,lấy ngẫu nhiờn một bi,rồi lấy một bi nữa.Tớnh xỏc suất của biến cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”.
	2.8 Vớ dụ 8: Một con sỳc sắc cõn đối, đồng chất được gieo 4 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. Hóy tớnh xỏc suất để cú ớt nhất hai lần xuất hiện mặt 6 chấm.
III.Bài tập đề nghị 
1)Trong một lụ sản phẩm cú 95% sản phẩm đạt tiờu chuẩn trong đú cú 60% sản phẩm loại một.ta lấy ngẫu nhiờn một sản phẩm từ lụ sản phẩm này.Tớnh xỏc suất để lấy được sản phẩm loại một.
2) Một lụ hàng gồm 5 sản phẩm trong đú cú 1 sản phẩm giả. Người ta lấy lần lượt từng sản phẩm ra kiểm tra cho đến khi gặp phế phẩm thỡ dừng. Tớnh xỏc suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 1;2;3;4.
3) Cú hai hộp bỳt: hộp I cú 2 bỳt đỏ và 10 bỳt xanh; hộp II cú 8 bỳt đỏ và 4 bỳt xanh. Chọn ngẫu nhiờn từ mỗi hộp ra một bỳt. Tớnh xỏc suất để cú 1 bỳt xanh và 1 bỳt đỏ.
4) Biết xỏc suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6. Tớnh xỏc suất để học sinh ấy thi đậu trong kỡ thi, biết rằng mỗi học sinh được phộp thi tối đa 2 lần.
5) Trong thựng cú 30 bi: 20 bi trắng và 10 bi đen. Lấy liờn tiếp 4 bi trong đú mỗi bi lấy ra đều hoàn lại trước khi lấy bi tiếp theo và cỏc bi đều được trộn lại . Hỏi xỏc suất để trong 4 bi lấy ra cú 2 bi trắng.
6) Xỏc suất xuất hiện biến cố A là 0,4. Hỏi xỏc suất để trong 10 phộp thử biến cố xuất hiện khụng quỏ 3 lần.
Nhị thức newton
Baứi 1: Tỡm heọ số cuỷa x6 trong khai triển 
Baứi 2: Tỡm số hạng thứ 3 trong khai triển của biểu thức 
Baứi 3: Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển (x + )
Baứi 4: Bieỏt heọ soỏ cuỷa trong khai trieồn cuỷa laứ 90. Haừy tỡm n.
DÃy số - Cấp số cộng - cấp số nhân
Bài 1: Tìm CSC biết:
Gồm 4 số hạng: Tổng của chúng bằng 4; tổng các bình phương của chúng bằng 24.
Gồm 5 số hạng: Tổng của chúng bằng 5; tích của chúng bằng 45.
Cho cấp số cộng biết
a. 	b. 	c. 
Tìm CSC và tính u15; S34.
3. Tính số hạng đầu và công sai d của cấp số cộng , biết:
	a. 	b. 
Tìm CSC có 8 số hạng biết tổng các số hạng bằng 44 và hiệu giữa số hạng cuối và đầu bằng 21.
Cho CSN biết u1=-3; q=-2. Số -768 là số hạng thứ bao nhiêu?
Tìm CSN gồm 5 số hạng biết:Tìm số hạng đầu và công bội của CSN, biết:
a. 	b. 	c. 	
6. Tìm CSN biết:
a. 	b. 	c. 
1. Cấp số cộng có và 
	a. Lập công thức số hạng tổng quát 
	b. Tính 
2. Tính số các số hạng của cấp số cộng , nếu:
B . PHẦN HèNH HỌC :
PHEÙP BIEÁN HèNH :
Baứi 1 :Trong mặt phẳng Oxy, cho M(1;- 2) và đường thẳng d cú phương trỡnh x-3y+5=0. Tỡm ảnh của M và d
Qua phộp tịnh tiến theo =(-2;1).
Qua phộp đối xứng trục Ox.
Qua phộp đối xứng tõm O.
Baứi 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C) cú phương trỡnh x2+y2-6x+6y-7=0
Tỡm ảnh của (C) qua phộp quay tõm O gúc quay 900?
Tỡm ảnh của (C) qua phộp dời hỡnh cú được bằng cỏch thực hiện liờn tiếp phộp quay tõm O gúc 900 và phộp đối xứng trục Oy ?
Baứi 3: Cho hỡnh vuụng ABCD, tõm O. Vẽ hỡnh vuụng AOBE
Tỡm ảnh của hỡnh vuụng AOBE qua phộp quay tõm A gúc quay -450 ?
Tỡm ảnh của hỡnh vuụng AOBE qua phộp đồng dạng cú được bằng cỏch thực hiện liờn tiếp phộp quay tõm A gúc quay -450 và phộp vị tự tõm A tỉ số ?
Baứi 4:Trong mặt phẳng Oxy, cho N(2;- 2) và đường thẳng d cú phương trỡnh -x+2y-2=0. Tỡm ảnh của M và d
Qua phộp tịnh tiến theo =(-2;1).
Qua phộp quay tõm O gúc quay 900.
Qua phộp đối xứng tõm O.
Baứi 5:Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C) cú phương trỡnh x2+y2-4x+4y-1=0
Tỡm ảnh của (C) qua phộp đối xứng trục Oy?
Tỡm ảnh của (C) qua phộp dời hỡnh cú được bằng cỏch thực hiện liờn tiếp phộp qua phộp