Ôn tập học kì 1 Toán lớp 11

;AB x y 
và ( )'; 'AC x y 
1 1
' '
' '2 2
x y
S xy yx
x y
= = −
www.MATHVN.com 
35 
III Phương trình đường thẳng 
1 Véctơ 0n ≠

 có giá vuông góc với đường thẳng được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng. 
 Véctơ khác 0

 vuông góc với véctơ pháp tuyến của đường thẳng được gọi là véctơ chỉ phương của 
đường thẳng. 
 Véctơ chỉ phương của một đường thẳng có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó. 
2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 
 Phương trình 0ax by c+ + = với 2 2 0a b+ ≠ là phương trình tổng quát của một đường thẳng có 
véctơ pháp tuyến là ( );n a b 
 Đường thẳng đi qua điểm ( );o oM x y và có véctơ pháp tuyến ( );n a b có phương trình tổng quát là 
( ) ( ) 0o oa x x b y y− + − = . 
 Khoảng cách từ điểm ( );o oM x y đến đường thẳng : 0ax by c∆ + + = cho bởi công thức 
( )
2 2
; o o
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
3 Phương trình tham số của đường thẳng 
 Phương trình o
o
x x at
y y bt
= +

= +
 với ( ) ( ); 0;0a b ≠ là phương trình tham số của một đường thẳng có 
véctơ chỉ phương là ( );u a b . 
Một đường thẳng đi qua điểm ( );o oM x y và có véctơ chỉ phương ( );u a b có phương trình tham 
số là o
o
x x at
y y bt
= +

= +
. 
4 Phương trình chính tắt của đường thẳng 
 Một đường thẳng đi qua điểm ( );o oM x y và có véctơ chỉ phương ( );u a b , nếu 0a ≠ và 0b ≠ thì 
đường thẳng đó có phương trình chính tắt là o ox x y y
a b
− −
= . 
5 Đường thẳng đi qua hai điểm A và B 
: A A
B A B A
x x y yAB
x x y y
− −
=
− −
 (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) 
IV Phương trình đường tròn 
1 Phương trình ( ) ( )2 2 2o ox x y y R− + − = (R>0) là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bk R. 
www.MATHVN.com 
36 
2 Phương trình 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với 2 2 0a b c+ − > là phương trình của đường tròn tâm 
( );I a b , bán kính 2 2R a b c= + − .
www.MATHVN.com 
37 
B BÀI TẬP 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy 
0. 1 Cho ba điểm A(3 ; 1), B(2 ; -2) và C(4 ; -1). 
a/ Chứng minh rằng ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. 
b/ Viết phương trình đường thẳng BC. 
c/ Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC. 
d/ Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AC. 
e/ Viết phương trình của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. 
0. 2 Cho hai đường thẳng 1 : 3 2 0d x y+ = , 2 : 3 1 0d x y− + = và điểm M(2 ; 4). 
a/ Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với d1. 
b/ Viết phương trình đường thẳng qua M và song song với d2. 
0. 3 Cho đường thẳng : 2 4 0d x y− + = và điểm (2;3)M . Hãy xác định tọa độ hình chiếu của M lên d. 
0. 4 Xác định tọa độ hình chiếu của điểm P(1 ; 2) lên đường thẳng 2 5:
2
x t
d
y t
= +

= −
. 
0. 5 Cho ba điểm A(2 ; 1), B(2 ; 3), C(-1 ; -2). Xác định tọa độ hình chiếu của điểm C lên đường thẳng 
AB. 
0. 6 Hãy tính khoãng cách từ điểm M(2 ; 4) đến đường thẳng :16 30 1 0x y∆ − − = . 
0. 7 Cho hai đường thẳng 1 : 3 4 2 0d x y+ − = và 2 : 6 8 1 0d x y+ − = . 
a/ Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho. 
b/ Hãy tính khoảng các giữa hai đường thẳng d1 và d2. 
0. 8 Cho đường thẳng : 3 2 0d x y− + = . Hãy viết phương trình đường thẳng song song với d và cách d 
một khoãng bằng 10 . 
0. 9 a/ Tìm tập hợp điểm cách đều hai đường thẳng 1 : 3 2 0x y∆ − = và 2 : 3 2 9 0x y∆ − + − = . 
b/ Tìm tập hợp điểm cách đều hai đường thẳng 1 : 7 2 0l x y+ − = và 2 : 5 0l x y− − = . 
0. 10 Xác định tâm và bán kính các đườmg tròn sau đây : 
a/ ( ) ( )2 2: 3 7C x y+ + = ; b/ ( ) 2 2: 4 2 3 0C x y x y+ − + + = ; 
c/ ( ) 2 2: 5 2 0C x y y+ + − = ; d/ ( ) 2 2: 3 3 6 0C x y x y+ + − = . 
0. 11 Hãy viết phương trình đường tròn (C), biết rằng : 
a/ (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3 ; 
b/ (C) đi qua điểm M(-2 ; -3) và có tâm I(1 ; -2) ; 
c/ (C) có đường kính AB, với A(2 ; 2) và B(1 ; 4) ; 
www.MATHVN.com 
38 
d/ (C) có tâm I(3 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng : 3 4 1 0x y∆ − + = ; 
0. 12 Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 3 3 5C x y+ + − = và đưòng thẳng :
7 3 .
x t
d
y t
=

= +
Tìm tọa độ giao điểm của (C) và d. 
0. 13 Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( ) 2 2: 10C x y+ = , biết rằng tiếp tuyến đó song 
song với đưòng thẳng : 3 10 0d x y− − = . 
0. 14 Cho đường tròn ( ) 2 2: 6 4 1 0C x y x y+ − + − = và đường thẳng : 0d x y+ = . Hãy viết phương trình 
đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc với (C). 
0. 15 Hãy viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm M(-1 ; 1), N(2 ; 0) và có tâm nằm trên trục 
hoành. 
0. 16 Tam giác ABC có A(4;3), đường cao BH: 3x – y + 11 = 0, đường trung tuyến CM : x + y – 1 = 0. 
a/ Hãy xác định tọa độ các điểm B và M. 
b/ Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC 
Chương 1 PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 
§1 MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH 
1 Phép biến hình 
Định nghĩa Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mọi điểm M thuộc mặt phẳng, xác 
định một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến 
hình đó. 
 Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cững được một phép biến hình. Phép 
biến hình đó gọi là phép đồng nhất. 
2 Kí hiệu và thuật ngữ 
 Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì 
ta viết M’ = F(M), hoặc F(M) = M’. Khi đó ta còn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’. 
 Với mỗi hình H, ta gọi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó M ∈ H, là ảnh của H qua phép 
biến hình F, và viết là H’ = F(H). 
www.MATHVN.com 
39 
§2 PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH 
A LÝ THUYẾT 
1 Định nghĩa phép tịnh tiến 
Phép tịnh tiến theo véctơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho 'MM u=
 
. 
Phép tịnh tiến theo véctơ u thường được kí hiệu là T hoặc uT . Véctơ u

 được gọi là véctơ tịnh 
tiến. 
( )' 'uM T M MM u= ⇔ =
 
2 Các tính chất của phép tịnh tiến 
Định lý 1 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ = MN. 
Định lý 2 Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 
của ba điểm đó. 
Hệ quả Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng ; biến tia thành tia ; biến đoạn thẳng thành 
đoạn thẳng bằng nó ; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng 
bán kính ; biến góc thành góc bằng nó. 
3 Biểu thức tọa đổ của phép tịnh tiến 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo véctơ u . Biết tọa độ của u là (a ; b). Giả sử qua 
phép tịnh tiến uT , M(x ; y) biến thành M’(x’ ; y’). Ta có 
'
'
x x a
MM u
y y b
− =
′ = ⇔ 
− =
 
4 Phép dời hình 
Định nghĩa Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 
Định lý Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 
của ba điểm đó ; biến đường thẳng thành đường thẳng ; biến tia thành tia ; biến đoạn thẳng thành đoạn 
thẳng bằng nó ; biến tam giác thành tam giác bằng nó ; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán 
kính ; biến góc thành góc bằng nó. 
B BÀI TẬP 
1. 1 Cho hai điểm M(3 ; 1), N(-3 ; 2) và véctơ ( )2; 3v − . 
a/ Hãy xác định tọa độ ảnh của các điểm M và N qua phép tịnh tiến vT . 
b/ Tịnh tiến đường thẳng MN theo véctơ v , ta được đường thẳng d. Hãy viết phương trình của 
đường thẳng d. 
www.MATHVN.com 
40 
1. 2 Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d : 2x – 3y + 1 = 0 qua phép tịnh 
tiến theo véctơ ( )2;1v . 
1. 3 Cho B(5 ; 3), C(-3 ; 4) và d : 2x + y – 8 = 0. 
a/ Viết phương trình của d’ = BCT (d). 
b/ Tìm m để T
v

 ,với v

(2, m), biến d thành chính nó. 
1. 4 Phép tịnh tiến theo véctơ ( )3;1v biến đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 2 2 3C x y− + + = thành đường tròn 
(C’). Hãy viết phương trình của đường tròn (C’). 
1. 5 Phép tịnh tiến theo véctơ ( )2; 1u − biến đường tròn ( ) 2 2: 2 1 0C x y x+ − − = thành đường tròn 
( )'C . Hãy viết phương trình của ( )'C . 
1. 6 Hãy xác định tọa độ của điểm M trên trục hoành sao cho phép tịnh tiến theo véctơ ( )2;3v − biến 
điểm M thành một điểm trên trục tung. 
1. 7 Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm ( )3; 1M − thành một điểm trên đường thẳng 
: 9 0x y∆ + − = . Hãy xác định tọa độ véctơ v , biết 5v = . 
1. 8 Cho hai đường thẳng song song : 2 3 2 0d x y+ + = và : 2 3 4 0d x y′ + − = . Hãy xác định phép tịnh 
tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ biết 
a/ Véctơ tịnh tiến có giá là trục Ox ; 
 b/ Véctơ tịnh tiến là một véctơ pháp tuyến của d. 
1. 9 Cho hai điểm A(-1 ; 1), B(1 ; 3) và đường tròn ( ) ( )2 2: 4 10C x y− + = . Phép tịnh tiến theo một 
véctơ v biến A, B lần lượt thành A’, B’. Biết A’ và B’ nằm trên ( )C . Viết phương trình đường 
thẳng A’B’. 
§3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 
A LÝ THUYẾT 
1 Định nghĩa phép đối xứng trục 
Định nghĩa Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối 
xứng với M qua a. 
 Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa. Phép đối xứng qua đường thẳng còn 
được gọi đơn giản là phép đối xứng trục. Đường thẳng a được gọi là trục đối xứng. 
Định lý Phép đối xứng trục là một phép dời hình. 
www.MATHVN.com 
41 
Nhận xét Trong mặt phẳng Oxy 
- Hai điểm ( );M x y và ( )' '; 'M x y đối xứng nhau qua trục Ox khi và chỉ khi 
'
'
x x
y y
=

= −
 ; 
- Hai điểm ( );M x y và ( )' '; 'M x y đối xứng nhau qua trục Oy khi và chỉ khi 
'
'
x x
y y
= −

=
. 
2 Trục đối xứng của một hình 
Định nghĩa Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng trục Đd biến hình (H) 
thành chính nó. 
B BÀI TẬP 
1. 10 Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng : 2 3 2 0l x y+ − = qua trục hoành. 
1. 11 Viết phương trình ảnh đối xứng của đường tròn ( ) 2 2: 3 1 0C x y x+ + + = qua trục tung. 
1. 12 a/ Cho đường thẳng : 4x∆ = . Hãy thiết lập biểu thức tọa độ cho phép đối xứng trục ∆ . 
b/ Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 2 1 4C x y+ + + = và đường thẳng : 4x∆ = . Hãy viết phương trình 
ảnh đối xứng của