Ôn tập Hình học lớp 12 - Khối đa diện - Khối tròn xoay

 SA = ==SI = =
Diện tích mặt cầu: 
Ví du:
Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm,
SB = SC = 2cm .Xác định tân và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện, tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó.
Bài giải
Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng vuông góc với mp(SAB) thì là trục của vuông .
Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường trung trực của cạnh SC của cắt tại O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC .
Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật .
Ta tính được : SI = , OI = JS = 1 , bán kính R = OS = 
 Diện tích : S = 
 Thể tích : V = 
Ví du:
Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a , , . Tính độ dài đường sinh theo a .
Bài giải
Gọi M là trung điểm AB . Kẻ OMAB thì OM = a 
 cân có nên đều . 
 Do đó : 
vuông tại O và nên
vuông tại M do đó : 
Ví du:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích 
 của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a .
Bài giải
¡ 
¡ Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp 
 thí tâm của mặt cầu (S) ngoại 
 tiếp hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm 
 I của OO’.
 Bán kính 
 Diện tích: 
Ví du:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ này .
Bài giải
Gọi H là trung điểm của AB . Ta có A’H (ABC) .Kẻ HE AC thì là góc 
giữa hai mặt (AA’C’C) và (ABC) . Khi đó : A’H = HE = ( bằng đường cao ABC) . Do đó : 
Ví du:
Cho hình chóp S.ABC . Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC .
Bài giải
Ta có : 
 Từ (1) , (2) suy ra : 
Ví du:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, 
SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, 
S
A
B
C
D
D’
C’
B’
H’
H
E
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài giải
	a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD
	Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P).
	Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm 
của AC và BD.
Þ BD ^ SC. 
Do mp (P) ^ SC Þ BD // mp (P)
Do 
Þ , H’D’ = H’B’ va B’D’ ^ AC’
Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E.
Khi đó: EC’ = EC, 
Þ 
Þ SC’ = 2EC’ = CC’
Ta có: , 
Ta có: VS.ABD = VS.BCD = 
Þ VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = 
Theo cm trên : AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC nên 
SA = AC 
Þ tam giác SAC đều
Þ SH = 
VS.ABCD = 
Þ VS.AB’C’D’ = 
Ví du:
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
O
O’
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’.
Bài giải
Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r = 
	Độ dài đường sinh: 	l = 
	Diện tích xung quanh của khối nón: 
	Sxq = rl 
	Thể tích khối nón: V = = 
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
I/ Các công thức về khối đa diện:
Thể tích khối hộp chữ nhật: V= a.b.c (a, b, c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương: V = a3 (a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khôi chóp: V = (B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B diện tích đáy, h chiều cao)
Chú ý:
Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k3 
Trục của tam giác.
Tình tỉ số thể tích:
 Để tính tỉ số thể tích hai phần của 1 khối đa diện (H) được phân chia thành (H1) , (H2) bởi mặt phẳng (a) ta lựa chọn một trong hai cách sau đây: 
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a).
Bước 2: Tính thể tích V1 và V2 của (H1) , (H2)
Bước 3: Tính k = 
Cách 2: Sử dụng kết quả : “Cho hình chóp S.ABC , trên ba đường thẳng SA, B, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S. Gọi V và V’ là thể tích của SABC và SA’B’C’.
Khi đó: 	 S	
 	 A’ 
 C’
	 	 A	 B’ C
A
C
B
S
M
 B
 * MÎSC, ta có: 
II/ Bài tập: 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Tính thể tích của khối chóp, biết:
Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 3cm.
Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600.
Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính thể tích của khối chóp, biết:
Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm.
Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600.
Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600.
Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền bằng , SA vuông góc với (ABC).Tính thể tích khối chóp, biết:
SB hợp với đáy một góc 300.
(SBC) hợp với đáy một góc 450.
Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD).Tính thể tích khối chóp, biết:
SC hợp với đáy một góc 450.
(SBC) hợp với đáy một góc 300.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2 MA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và O là tâm của đáy ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh đáy CD.
Chứng minh rằng CD vuông góc với mặt phẳng (SIO).
Giả sử SO = h và mặt bên tạo với đáy của hình chóp một góc α. Tính theo h và α thể tích của hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA (ABCD) và SA = 2a.
Chứng minh BD vuông góc với đường thẳng SC.
Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, cạnh bên là .
Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
Tính thể tích của khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA=; góc giữa các cạnh SA, SB, SC với mặt phẳng (ABC) bằng .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a 
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối chóp SAIC theo a.
Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a 
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , AB=a và góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2.Điểm M,N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp.Hãy kể tên 2 kchóp đó 
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60o. Tính thể tích hình chóp SABCD theo a 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính đường cao và thể tích khối chóp theo a.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính thể tích khối LP theo a 
Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a.
 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a.
Tính thể tích khối lăng trụ theo a.
Tính thể tích của khối chóp A’. ABC theo a.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ này.
CHƯƠNG II: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN
I/Tóm tắt lý thuyết:
 1/Công thức tính diện tích và thể tích khối nón
Sxq= (với r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh)
V= (với r là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp) 
 2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ
 Sxq= 2 (với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh)
V= (với r là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ)
3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:
 (với r là bán kính của hình cầu.)
II/ BÀI TẬP:
	1- KHỐI NÓN: 
Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. 
Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón 
Tính thể tích của khối nón
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
Tính diện tích xung quanh và của hình nón
Tính thể tích của khối nón 
Một hình nón có đường sinh là l=1 và góc giữa đường sinh và đáy là 450
Tình diện tích xung quanh của hình nón
Tính thể tích của khối nón.
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a. khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay.
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.
Tính thể tích của khối nón tròn xoay 
Cho hình nón đỉnh S đường cao SO, A và B là hai điểm. Thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và SAO = 300, SAB = 600. 
Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a
Tính thể tích của khối nón
Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = (> 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S.Góc tạo bởi đường cao và đường sinh là 600.
Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc nhau.
Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón.
2/- KHỐI TRỤ:
Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục cách trục 3cm. 
Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh
Tính thể tích khối trụ
Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a
Tính diện tích xung quanh của hình trụ
Tính thể tích khối trụ
Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay
Tính d tích xung quanh của hình trụ.
Tính thể tích của khối trụ 
Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính thể tích khối trụ đó
Một hình hộp chữ nhật có ba kíc