Ôn tập hình học 8 – tháng 7 năm 2014

i BE tại F. Chứng minh đồng dạng . Từ đó suy ra độ dài đoạn CF.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Nối EO cắt CF tại I cắt BC tại K. Chứng minh I là trung điểm của CF.
Chứng minh ba điểm D, K, F thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN
a) BD = 15cm
b) Chứng minh được: ∆BCD ∽ ∆CFB (g.g) Þ cm
c) Chứng minh được: . Mà: OD = OB (O là trung điểm của DB). Nên: IC = IF. Hay I là trung điểm của CF.
d) Chứng minh được: và . Từ đó suy ra: CB là tia phân giác của 
Trong ∆OCI có CK là phân giác nên ta có: (1) (do CO = DO; CI = IF)
Mặt khác: Do CF // DO nên: (2). Từ (1) và (2) suy ra: ∆DOK ∽ ∆FIK (c.g.c). Từ đó suy ra. Mà . Hay D; K; F thẳng hàng.
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD (AD < AB). Vẽ AH vuông góc với BD tại H.
Chứng minh ∽ 
Với AB = 20 cm, AD = 15 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng: BD và AH
Chứng minh AH2 = HD.HB 
Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD. Vẽ EM vuông góc với BD tại M, EM cắt AB tại O. Vẽ AK vuông góc với BE tại K, vẽ AF vuông góc với OD tại F. Chứng minh H, F, K thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh ∽(g.g)
b) Từ câu (a) ∽(g.g) . Từ đó suy ra AH = 12 cm.
c) Chứng minh ∆HAD ∽ ∆HBA (g.g). Từ đó suy ra AH2 = HD.HB
d) Gọi P là giao điểm của AK và BH. Chứng minh ∆BPK ∽ ∆APH (g.g). Suy ra: ∆KPH ∽ ∆BPA (c.g.c). Suy ra: . Chứng minh P là trực tâm của ∆BOE. 
Suy ra: OQ ^ BE . 
 Suy ra: AKQF là HCN . Suy ra: ∆AFD ∽ ∆EQD. Suy ra mà ; ∆BAK ∽ ∆DAF. Suy ra: . Suy ra: ∆BAD ∽ ∆KAF (c.g.c) . Mà . Từ đó suy ra đpcm.
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BE và CD.
Chứng minh rằng AD.AB = AE.AC
Chứng minh hai tam giác và đồng dạng
Cho EB = EC, F là trung điểm của EC. Đường thẳng vuông góc với BF tại O vẽ từ E cắt đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ C tại K. Chứng minh rằng EF = CK
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh ∽(g.g). Từ đó suy ra đpcm.
b) Từ câu (a) ∽(g.g) . Từ đó suy ra: ∽ (c.g.c)
c) Chứng minh ∆EBF = ∆CEK. Suy ra: EF = CK
d) Chứng minh ∆EOF ∽ ∆ECK (g.g). 
Suy ra:(1). 
Lại có: EK2 = EC2 + CK2 = (2EF)2 + EF2 = 5EF2 (2) (Do EC = 2EF; CK = EF)
Từ (1) và (2) Suy ra: 
Hay: (ĐPCM)
Chứng minh rằng 5SCFOK = 4SCEK 
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại B (C 300). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường phân giác góc BAC cắt EF tại I và cắt BC tại K. 
Chứng minh tam giác ABK và tam giác IEK đồng dạng
Chứng minh 
Qua K kẻ KH vuông góc với AC tại H. Chứng minh tam giác BKH và tam giác AFI đồng dạng
HƯỚNG DẪN
a) Có EF là đường TB của ∆CAB Þ EF // AB
Þ . Lại có: (Đối đỉnh)
Suy ra: ∆ABK ∽ ∆IEK (g.g)
b) Từ câu (a) suy ra: . Hay: (1)
Lại có: AK là phân giác nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Chứng minh SABC = SABIH 
c) Chứng minh ∆ABK = ∆AHK (Cạnh huyền – Góc nhọn). Suy ra KB = KH; AB = AH. Suy ra AK là đường trung trực của đoạn thẳng BH. Suy ra AK ^ BH, suy ra: IK ^ BH. Mặt khác: IE ^ BK. 
Suy ra: (1) (Góc có cạnh tương ứng vuông góc). 
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: (2).
Từ (1) và (2) suy ra: ∆BKH ∽ ∆AFI (g.g)
d) Chứng minh ∆ABI = ∆AHI. Suy ra: SABIH = 2SABI. Mà SABC = 2SABF và SABI = SABF (Chung đáy và đường cao)
Bài 13. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = AD = CD . Gọi M là trung điểm của CD. Gọi H là giao điểm của AM và BD.
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thoi 
b) Chứng minh DB ^ BC
c) Chứng minh hai tam giác: DADH ∽ DCDB 
d) Biết AB = 2,5 cm ; BD = 4cm . Tính độ dài BC và diện tích hình thang ABCD.
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình bình hành.
 Lại có: AB = AD (gt). Suy ra ABMD là hình thoi.
b) Từ câu (a) suy ra: BM = DM = MC = CD. Suy ra ∆DBC vuông tại B. Suy ra: DB ^ BC
c) Có ABMD là hình thoi nên suy ra: . 
Suy ra: DADH ∽ DCDB (g.g)
d) + BC = 3cm.Từ câu (c) tính được AH = cm. Suy ra: SADB = 3 cm2. Tính được: SBDC = 6 cm2. 
Từ đó suy ra: SABCD = SADB + SBDC = 9cm2
Bài 14. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AB (M ≠ A , M ≠ B). Đường thẳng DM cắt AC tại K và cắt đường thẳng BC tại N. 
a) Chứng minh: DADK đồng dạng DCNK
b) Cho AB = 10cm, AM = 6cm. Tính tỉ số diện tích 
HƯỚNG DẪN
a) DADK ∽ DCNK (g.g)
b) Chứng minh ∆KCD ∽ ∆KAM (g.g). 
Suy ra: cm2
c) Chứng minh (1); (2)
Từ (1) và (2) . Suy ra: KD2 = KM.KN
c) Chứng minh: KD2 = KM.KN
Bài 15. Cho hình bình hành ABCD với AC là đường chéo lớn . Vẽ AM ^ BC tại M và AN ^ CD tại N.
a. Chứng minh hai tam giác ABM và AND đồng dạng. 
b. Chứng minh: AB.MN = AC.AM 
+ Lại có: DABM ∽ DADN (g.g). Suy ra: (**)
Từ (*); (**) suy ra: ∆AMN ∽ ∆BAC (c.g.c). Suy ra: (đpcm)
c) Từ câu (a) suy ra: (4)
Mặt khác: PABCD = 108cm. Suy ra: 2(AB + BC) = 108. Hay: AB + BC = 54 (5)
Từ (4) và (5) suy ra: cm. Suy ra: SABCD = cm2
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh . Suy ra: DABM ∽ DADN (g.g)
b) Có: (1); . Mà: . Suy ra: . 
Hay: (2). 
Mặt khác: DABM ∽ DADN (g.g) Suy ra: (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: (*)
c. Cho AM = 16 cm; AN = 20 cm chu vi của hình bình hành bằng 108 cm. Tính diện tích của hình bình hành ABCD.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, lấy D đối xứng của A qua M.
a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b. Kẻ BE vuông góc với AD và MN vuông góc với AC, BE cắt AC và MN tại P và F. Chứng minh AE.AM = AP.AN.
c. Chứng minh tứ giác AMCF là hình thoi. Tính diện tích AMCF nếu AB = 10cm.
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh ABDC có: M là TĐ của AD và BC. Lại có. Suy ra: ABDC là HCN.
b) Chứng minh ∆AEP ∽ ∆ANM (g.g). Þ AE.AM = AP.AN 
c) Chứng minh ∆AMB là ∆ đều Þ 
+ Trong ∆AMC cân tại M có MN ^ AC nên MN là phân giác Þ . Lại có: ∆ABM cân tại B có BE ^ AM. Suy ra: BE là trung trực của AM Þ FA = FM. 
Ta có: ∆AFM có FA = FM và nên ∆AFM là ∆ đều Þ ∆AFM cân tại A có AN ^ FM nên suy ra: AN là trung tuyến Þ N là trung điểm của FM (*).
Lại có: Trong ∆CAB có M là trung điểm của BC; MN // AB Þ N là trung điểm của AC (**). Từ (*) và (**) suy ra: AMCF là hình bình hành. Lại có: AC ^ BD nên AMCF là hình thoi.
Bài 17. Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Kẻ BE, DF vuông góc với AC ().
1. Chứng minh: ; Tứ giác BEDF là hình bình hành.
2. Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh: .
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh ∆ABE = ∆CDF (Cạnh huyền – Góc nhọn)
Chứng minh FD = BE; FD // BE. Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành.
b) Chứng minh (g.g)
c) Chứng minh (g.g) Þ 
Þ AB.AH = AE.AC (1). Lại có: 
Mà BC = AD nên (2)
Lấy (1) + (2) ta được: 
3. Chứng minh: .
Bài 18. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E. Kẻ .
a/ Chứng minh: .
b/ Chứng minh: .
c/ Trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AF = AE. Tính .
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh (g.g)
b) Chứng minh và cùng phụ với 
c) Chứng minh ∆DHA ∽ ∆AHE (g.g) Þ .
 Mà AD = DC; AE = AF ; Þ ∆AFH ∽ ∆DCH (cg.c)
Þ . Mà: . Hay: = 900
Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm; BC = 4cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.
1/ Chứng minh: .
2/ Tính độ dài đoạn thẳng DH.
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh ∆ABD = ∆DCA (c.c.c) Þ . Từ đó chứng minh được (g.g)
b) Tính được BD = 5cm. 
Kết hợp với câu (a) cm. 
3/ Gọi M; N theo thứ tự là các điểm thuộc các đoạn BH và CD sao cho . Chứng minh: .
Từ đó suy ra: DH = 5 - cm.
c) Có 
Tương tự: 
Hay: . Mặt khác: (c/m trên). 
Suy ra: (c.g.c)
Bài 20. Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 6cm; AC = 9cm. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho . Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC ở E.
a. Tính độ dài đoạn thẳng AD và AE.
b. Tính diện tích tứ giác BDEC.
b) Có: SBDEC = SABC – SADE = …= 24cm2
c) Gọi M là trung điểm của BC. Gọi I là giao điểm của AO và DE. Có DI //MC nên ∆IOC ∽∆OMC.
 Suy ra: . Mà: . Suy ra: A; O; M thẳng hàng.
c. BE cắt CD ở O. Chứng minh tia AO đi qua trung điểm của đoạn BC.
HƯỚNG DẪN
a) Có: 
Có: DE // BC nên: 
cm. 
Bài 21. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: DHAE đồng dạng với DHBF.	
c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB
d) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh tứ giác AHBK có AH//BK và AK//BH. Suy ra: AHBK là hình bình hành.
b) Chứng minh ∆HAE ∽ ∆HBE (g.g)
c) Chứng minh ∆CEB ∽ ∆CFA (g.g) Þ CE.CA = CF.CB
d) Tứ giác AHBK là hình thoi Û KH ^ AB Û C; K; H thẳng hàng Û CH ^ AB Û ∆ABC cân tại C. 
Bài 22. Cho tam giác vuông ABC (= 90o), đường cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 9cm.
a) Chứng minh: AB2 = BH . BC	
b) Tính AB, AC.
c) Đường phân giác BD cắt AH tại E (D Î AC). Tính và chứng minh: .
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh ∆ABC ∽ ∆HBA (g.g) Þ 
b) Sử dụng kết quả câu (a) suy ra: AB = 2cm; AC = cm
c) Chứng minh ∆EBH ∽ ∆DBA (g.g) Þ 
d) Sử dụng t/c đường phân giác trong ∆ABH và ∆ABC. Chứng minh được . Lại có: (câu a). Từ (1); (2) và (3) Suy ra: 
Bài 23. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chứng minh:
a) DBEF ∽ DDEA, DDGE ∽ DBAE.
b) AE2 = EF . EG
c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC.
HƯỚNG DẪN
a) Chứng minh: ; . Suy ra: ∆BEF ∽ ∆DEA (g.g). Chứng minh tương tự như trên: ∆DEG ∽ ∆BAE (g.g).
b) Sử dụng định lý Ta-Lét chứng minh: . Từ (1) và (2) suy ra: 
c) Từ câu (a) ∆BEF ∽ ∆DEA (g.g) Þ . Lại có: ∆DEG ∽ ∆BAE (g.g) Þ 
Từ (1) và (2) suy ra: . Mặt khác: A; B; C; D cố định nên: không đổi.
Do đó: không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC.
Bài 24. Cho hình thang ABCD (AB //CD) có CD = 2AB. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, F là giao điểm hai cạnh bên AD và BC.
Chứng minh OC = 2OA
Điểm O là điểm đặc biệt gì trong tam giác FCD? Chứng minh.
Một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, I, K, N. Chứng minh 
So sánh MI và NK.
 Þ O là trọng tâm ∆DFC
HƯỚNG DẪN
a) Do ABCD là hình thang nên AB//CD Þ 
Û OC = 2AO
b) Có AB//CD nên . 
Suy ra: (1)
Chứng minh tương tự: (2)
c) Có: MI // AB Þ ; IN // CD . Từ (1) và (2) suy ra: 
d) Do: MI // AB nên (1); KN // AB nên (2). Mặt khác: (3). Từ (1); (2); (3) suy ra: Þ MI = MK. (ĐPCM)
Bài 25. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại E, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại D.
a) So sánh và .	 
b) Gọi I là giao điểm của AM và ED. CM: I là trung điểm ED.