Ôn tập Đại số tổ hợp – Luyện thi đại học

ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I – Giai thừa: 
Cho n2. Chứng minh rằng: 
Cho x>0, nN. Chứng minh rằng: 
Giải phương trình: 
Chứng minh rằng : 
Với n là số lẻ, n3, x0. Chứng minh: 
II – Chỉnh hợp – hoán vị:
Giải phương trình : 
Giải phương trình : 
Chứng minh: 
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện:
 a) ; 	b) ; 	c) 
Hoán vị:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được?
họ ngồi kề nhau?
3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế trống?
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách
 a) vào 5 ghế xếp thành một dãy.
 b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này.
Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?
Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) họ ngồi chỗ nào cũng được.
 b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau.
 c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12?
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?
Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
 a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?
 b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?
 c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?
Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
họ ngồi chỗ nào cũng được ? 
nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ?
nam nữ ngồi đối diện nhau ?
nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ?
Chỉnh hợp:
Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho, sao cho:
 a) Số đó chẵn
 b) Số đó chia hết cho 5
 c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau.
Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần.
 b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã cho. Sao cho:
 a) Luôn có mặt chữ số 5.
 b) Số đó chia hết cho 3.
 c) Không bắt đầu từ chữ số 3.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho:
 a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau.
 b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 lần. Các số khác có mặt một lần.
 b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần.
Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn không đứng liền nhau.
Một nhóm người thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc,một phó giám đốc và một thủ qũy. Có 10 người hội đủ điều kiện để được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban điều hành?
Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11m. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
 a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn)
 b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4?
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
 a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
 b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
 c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai lần các số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần?
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng:
 a) các số này chia hết cho 5?
 b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?
32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau.
 	a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?
 	b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?
III – Tổ hợp:
Một lớp học có 30 học sinh. Trong đó có 12 nữ, cần thành lập một tổ công tác gồm 8 người. Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có đúng 2 nữ.
Trong không gian cho một tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho.
Một bộ đề thi có 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ đề thi ” của thí sinh này).
Có bao nhiêu đề thi khác nhau? ( Hai đề thi được coi là khác nhau nếu có ít nhất một câu khác nhau. )
Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng một đề thi.
Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 3 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn 4 học sinh để trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu: 
Chọn học sinh nào cũng được?
Có đúng một nữ sinh được chọn?
Có ít nhất một nữ sinh được chọn?
Một họ n đường thẳng song song cắt một họ m đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành.
Cho tập X = {a, b, c, d }. Có bao nhiêu tạp con của X
Không chứa phần tử a?
Chứa phần tử a?
Một bình đựng 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu. Lấy ra hai viên.
Có bao nhiêu kết quả khác nhau?
Có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu?
Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia 9 học sinh ra làm 3 nhóm gồm 4, 3, và 2 học sinh. Có bao nhiêu cách chia?
Cho một đa giác lồi có n đỉnh ( ).
Tính số đường chéo của đa giác này;
Biết rằng ba đường chéo không cùng đi qua một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao điểm ( không phải là đỉnh ) của các đường chéo ấy.
Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn một nhóm 5 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ sinh?
Giám đốc một công ty muốn chọn một nhóm 5 người vào hội đồng tư vấn. Trong công ty có 12 người hội đủ điều kiện để được chọn, trong đó có hai cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: 
Hội đồng này có đúng một cặp vợ chồng?
Hội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng ( nếu có )?
Tính số đường chéo của một đa giác lồi có n cạnh. Tìm đa giác có số cạnh bằng số đường chéo.
(ĐH-B-2002)	Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm , tìm n?.
(ĐH-B-2004)	Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?.
(ĐH-B-2005)	Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?.
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
 a) Chứng minh : 
 b) Chứng minh rằng với 4kn thì: 
Giải phương trình: 
Giải phương trình: 
 	a) 	b) 
Giải bất phương trình:
 	a) 	b) 
Giải bất phương trình: 
IV – Nhị thức Newton:
Chứng minh bất đẳng thức: 
Chứng minh: 
Cho mkn. Chứng minh: 
Chứng minh rằng: 
a) Chứng minh: 
b. Chứng minh: 
a) Chứng minh: 
 b) Chứng minh: 
Tìm x để trong khai triển: có số hạng thứ 4 bằng 200.
Trong khai triển Tìm số hạng không chứa x của khai triển.
(ĐH-D-2004)	 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của với x > 0.
Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: Ta được một đa thức: 
 Tính =?.
Khi khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức . Ta được một đa thức: . Tính 
(ĐH-A-2004)	Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức: 
Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức: 
Trong khai triển: .Tìm số hạng chứa của khai triển đó.
(ĐH-A-2003)	Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của: , biết rằng: ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
(ĐH-D-2003)	Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của Tìm n để 
(ĐH-A-2006)	Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của: , biết rằng: ( n là số nguyên dương, x > 0 ).
Trong khai triển: . Tìm số hạng có số mũ của a và b như nhau.
Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: 
Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: , biết rằng tổng các hệ số bằng 4096.
(ĐH-A-2008)	Cho khai triển: Trong đó và các hệ số thỏa mãn hệ thức: . Tìm số lớn nhất trong các số: 	
(ĐH-A-2002)	Cho khai triển nhị thức: ( n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.
(ĐH-A-2005)	Tìm số nguyên dương n sao cho: 
(ĐH-B-2003)	Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: 
(ĐH-D-2002)	Tìm số nguyên dương n sao cho: 
(ĐH-D-2005)	Tính giá trị của biểu thức: biết rằng: 	( n là số nguyên dương ).