Ôn tập Đại số Giải tích 11 - Phần Hàm số lượng giác

Chương I: Hàm số lượng giác
A. Các công thức cần nhớ
1. Công thức cơ bản
sin(a + k2p) = sina; 	cos(a + k2p) = cosa; 
tan(a +kp) = tana; 	cot(a + kp) = cota
* Hàm số có 	TXĐ: ; 
TGT: ; 
Tuần hoàn với chu kì: là hàm số lẻ
* Hàm số có 	TXĐ: ; 
TGT: ; 
Tuần hoàn với chu kì: ; là hàm số chẵn
* Hàm số có 	TXĐ: ; 
TGT: ; 
Tuần hoàn với chu kì: ; là hàm số lẻ
* Hàm số có 	TXĐ: ; 
TGT: ; 
Tuần hoàn với chu kì: ; là hàm số lẻ
Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
 Góc
Hàm
0
1
0
1
0
-1
0
1
ỗỗ
-1
0
ỗỗ
1
0
-1
ỗỗ
2. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
3. Các công thức có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau
	sin(-a) = - sina	cos(-a) = cosa
	tan(-a) = - tana	cot(-a) = -cota
b. Cung bù nhau
	sin(p - a) = sina	cos(p - a) = - cosa
	tan(p - a) = - tana	cot(p - a) = - cota
c. Cung phụ nhau
d. Cung hơn kém p
e. Cung hơn kém 
3. Công thức cộng
4. Công thức nhân đôi
5. Công thức hạ bậc
6. Công thức nhân ba
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
9. Công thức rút gọn: asin x + bcos x
Đặc biệt:
Mở rộng:
10. Công thức tình sin a; cosa; tan a theo 
	Đặt ta có:
B phần bài tập
I. Hàm số lượng giác:
Các dạng bài tập cơ bản
1. Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số lượng giác
* Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: 
	- Các hàm số xác định với mọi 
	- Hàm số: xác định với mọi 
	- Hàm số: xác định với mọi 
Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số: 
Lời giải:
	Hàm số có nghĩa 
	Vậy TXĐ của hàm số là: 
Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số: 
Lời giải:
	Hàm số xác định khi: 
	Vậy TXĐ của hàm số là: 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
	1) 	2) 	3) 	
	4) 	5) 	6) 
2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
Định nghĩa: Cho hàm số có TXD là: D
	* Hàm số chẵn 
	* Hàm số lẻ 
* Phương pháp giải: 
	Bước 1: Tìm TXĐ D của hàm số
Nếu D không là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số không chẵn, không lẻ.
Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp bước 2:
Bước 2: Với mọi , nếu
Nếu thì hàm số là hàm chẵn.
Nếu thì hàm số là hàm lẻ.
Nếu thì hàm số là hàm không chẵn, không lẻ.
Lưu ý tính chất:
	* 
	* 
	* 
	* 
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: 
Lời giải:
	TXĐ: là tập đối xứng 
	Ta có: 
	Vậy hàm số là hàm số lẻ.
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
	1) 	2) 	3) 	
	4) 	5) 	6) 
3. Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lượng giác:
* Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:
	1) Hàm số có chu kì 
	2) Hàm số có chu kì .
	3) Hàm số với có chu kì 
	4) Hàm số với có chu kì 
	5) Hàm số có chu kì , hàm số có chu kì thì hàm số có chu kì 
Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số 
Lời giải
	Hàm số có chu kì là 
Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau:
	1) 	2) 
* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
	Phương pháp: Dựa vào TGT của các hàm số lượng giác
	Chú ý: * Hàm số có TGT là: 
	* Hàm số có TGT là: 
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
Lời giải: 
Ta có 
	Vậy đạt được 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:	
	1) 	2) 
	3) 	3) 	5) 
II. Phương trình lượng giác
1. Phương trình lượng giác cơ bản
	* Dạng 1: nghiệm tổng quát: 
	Đặc biệt: 
	Tổng quát: 
	* Dạng 2: nghiệm tổng quát: 
	Đặc biệt: 
	Tổng quát: 
	* Dạng 3: nghiệm tổng quát: 
	Đặc biệt: 
	Tổng quát: 
	* Dạng 4: nghiệm tổng quát: 
	Đặc biệt: 
	Tổng quát: 
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 	3) 
	4) 	5) 	6) 
Lời giải
1) Ta có 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
2) Ta có: 
3) Ta có: 
4) Điều kiện: 
Ta có:
	Ta thấy nghiệm trên thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình có một họ nghiệm.
5) Điều kiện: 	(*)
	Ta có: 
 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
6) Ta có:
	Vậy phương trình có một họ nghiệm
Bài tập tương tự: giải các phương trình sau:
	1) 	2) 	3) 
	4) 	5) 	6) 
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
* Định nghĩa: Là phương trình có dạng trong đó t là một trong bốn hàm số lượng giác: 
* Cách giải:
	Bước 1: Đặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình;
	Bước 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;
	Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện);
	Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản ị nghiệm x
Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
Lời giải
1) Đặt , điều kiện: 
Ta có phương trình trở thành: 
Vậy t = 1 ị 
Phương trình có một họ nghiệm
2) Ta có:
(Chú ý: ta có thể không cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một ẩn như ví dụ này)
3) Điều kiện: 
	Đặt , khi đó phương trình trở thành: 
	Ta thấy hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình có hai họ nghiệm
4) Điều kiện: 
Ta có: 
	Ta thấy cả hai họ nghiệm đều thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài 1: Giải các phương trình sau
	1) 	2) 
Bài 2: (Các phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai). Giải các phương trình 
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) 
	9) 	10) 
	11) 
3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình: 	(*)
* Cách giải:
	Cách 1:
	Chia hai vế của phương trình cho ta được phương trình: 
	(**)
	Vì: 
	Nên ta đặt 
	Khi đó phương trình (**) trở thành: 
	 là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải!
Chú ý: Điều kiện đề phương trình có nghiệm là: 
Cách 2: Chia hai vế cho a và đặt (Tự làm)
Cách 3: Sử dụng công thức tính theo (tự làm)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 
Lời giải:
1) Ta có: . Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được phương trình: 
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
2) Ta có: 
	Có: . Chia hai vế phương trình cho 13 ta được phương trình :	
	Vì . Đặt ta được phương trình:
	Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:
	1) 	2) 
	3) 	4) 
4. Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x:
* Dạng phương trình: 	(*)
* Cách giải:
	Cách 1:
	Bước 1: Nhận xét hay không là nghiệm của phương trình;
	Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho ta được phương trình”
	Bước 3: Giải phương trình ta được nghiệm của phương trình đã cho.
	Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x. (Học sinh tự giải cách này)
Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát: 
	(**)
	Ta biến đổi như sau: (**)
	. 
Đây là phương trình có dạng (*)
Ví dụ: Giải các phương trình:
	1) 
	2) 
Lời giải
1) 
Nhận xét: nếu cos x = 0 không thoả mãn phương trình .
	Chia cả hai vế cho ta được phương trình:
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
2) 
	(*)
	Nhận xét: không thoả mãn phương trình.
	Chia cả hai vế cho ta được phương trình:
	Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau
	1) 
	2) 
	3) 
	4) 
	5) 
5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
* Dạng phương trình: 
* Cách giải:
	Đặt ; điều kiện: 
	Phương trình trở thành: 
	Giải phương trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phương trình :
	 đã biết cách giải
Ví dụ: Giải phương trình : 
Lời giải:
	Đặt điều kiện
	Khi đó phương trình trở thành: 
	* Với 
	* Với 
	Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.
Bài tập tự giải:
	1) 
	2) 
6. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
* Dạng phương trình: 
* Cách giải:
	Đặt ; điều kiện: 
	Phương trình trở thành: 
	Giải phương trình trên tìm t thoả mãn điều kiện, với mỗi t ta có phương trình :
	 đã biết cách giải
Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:
	1) 
	2) 
	3) 
	4) 
	6) 
	7)