Ôn tập cuối năm Toán khối 11

ờng THPT Đông Hưng Hà 2011 
5 
Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định ∞ − ∞ ) 
 a. 
31
1 3
lim
1 1x x x+→
 − − − 
 b. 
2 22
1 1
lim
3 2 5 6x x x x x−→
 + − + − + 
 c. ( )2lim 3
x
x x x
→−∞
− + + d. ( )lim 3 5
x
x x
→−∞
− − − 
 e. ( )2lim 1
x
x x
→+∞
+ − f. ( )33lim 2 8 1
x
x x
→+∞
− + 
 g. 2
2
2
sin
lim tan
cosx
x
x
xπ→
 − 
 
Bài 6: Tìm các giới hạn sau: (Dạng vô định 0.∞ ) 
 a. ( )2lim 1
x
x x x
→+∞
+ − b. lim .s
x
x
x
π
→+∞
 
 
 
in 
 c. ( )
2
lim 1 cos 2 .tan
x
x x
π
→
 +   d. ( )21lim 1x x xx→+∞
 + +  
Bài 7: Tìm a và b để: 
 a. ( )2lim 1 0
x
x x ax b
→+∞
+ + − − = b. 
2 1
lim 0
1x
x
ax b
x→+∞
 +
− − = + 
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC: 
Bài 1: Xét sự liên tục của các hàm số sau: 
 a. 
2 3 4 1
( )
2 3 1
x x x
f x
x x
 − + <
= 
− ≥
khi
khi
 tại x0 = 1 
 b. 2( ) 2f x x x= − − tại các điểm x = -1; x = 2 
 c. 
24
2
( ) 2
1 2 2
x
x
g x x
x x
 −
<
= −
 − ≥
khi 
khi 
 tại x = 2 
 d. 
1 2 3
2
( ) 2
1 2
x
x
g x x
x
 − −
≠
=  −
 =
khi 
 khi 
 tại x0 = 2 
 e. 
1
.sin 0
( )
0 0
x x
f x x
x
 ≠= 
 =
khi
 khi
 tại x0 = 0 
 f. 2
2
0 0
( ) 0 1
4 4 1
x
f x x x
x x x
<

= ≤ <
 + + ≥
 khi
 khi
 khi 
 tại các điểm x = 0; x = 1 
Bài 2: Tìm a để các hàm số sau đây liên tục: 
 a. 
23 2 1 1
( )
2 1
x x x
f x
x a x
 + − <
= 
+ ≥
khi
 khi
 tại x0 = 1 
 b. 
3
2
2 3
1
( ) 1
1
x x
x
g x x
a x
 + −
≠
= −
 =
khi 
 khi 
 tại x = 1 
Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 
6 
 c. 
1 1
0
( )
4
0
2
x x
x
xh x
x
a x
x
 − + +
<
= 
− + ≥
 +
khi 
 khi 
 tại x = 0 
 d. 
1 4
0
sin 2 4( )
0
1
c x
x
x xg x
x a
x
x
π −
− ≤ <
= 
+ ≥
 +
os
khi 
 khi 
 tại x0 = 0 
Bài 3: Xét sự liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: 
 a. 
2 3 7 2
( )
1 2
x x x
f x
x x
 − − < −
= 
− ≥ −
khi
 khi
 b. 
2
2
3 10
2
4
2 3
( ) 2 5
2
3 4 5
x x
x
x
x
g x x
x
x x
 + −
< −
+
= ≤ ≤
+
− >


khi 
 khi 
 khi 
Bài 4: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R. 
3 3 2 2
2
2( )
1
2
4
x
x
xf x
ax x
 + −
> −= 
 + ≤

 khi 
 khi 
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau: 
 a. 3 2 7 0x x− − = có nghiệm. 
 b. 5 4 3 25 4 6 2 5 4 0x x x x x+ + − + + = có nghiệm. 
 c. 3 23 1 0x x+ − = có 3 nghiệm phân biệt. 
 d. 4 5 2 0x x− + = có ít nhất một nghiệm. 
 e. 3 23 1 0x x− + = có 3 nghiệm trong khoảng (-1; 3). 
 f. 3 2 0x ax bx c+ + + = với 4 8 21 2 0a b c+ + + = luôn có nghiệm trên 
1
0;
2
 
  
PHẦN III: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ: 
I. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM: 
Bài 1: Bằng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a. 2 0
1
3 4 1
2
y x x x= − + = taïi . 
 b. 05 3 1y x x= − = − taïi . 
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a. ( )( )2 21 5 3y x x= + − b. 21y x x= + 
 c. ( )2 1y x x x= − + d. 1
1
x
y
x
+
=
−
Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 
7 
 e. ( )20092 3y x= + f. 
3
1
1
y
x
=
+
 g. ( )3 2sin 2 1y x= − h. 2 21 1sin
1 1
x x
y c
x x
   + −
= +   
− +   
os 
 i. ( )2sin cos3y x= j. ( )2009cot 1y x= + 
 k. ( )( )2 3sin cos tany x= l. 
2
2 2
x
y
x a
=
+
(a là hằng số) 
 m. 
1
cos
y
x
= n. 2 3 2
sin
sin
x
y x x
x
= + 
 o. ( ) ( )2 2sin cos 2 .cos sin 2y x x= p. ( ) ( )2 2tan sin tan cosy x x= + 
Bài 3: Tính vi phân của các hàm số sau: 
 a. 
sin x
y
x
= b. sin cosy x x x= − 
 c. 
2
cos
1
x
y
x
=
−
 d. 
x
y
a b
=
+
 (a, b là hai tham số) 
 e. 2tany x= f. coty x x= 
II. ÁP DỤNG ĐẠO HÀM: 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
 a. 2'( ) 0 ( ) sin cosf x f x x x= = − vôùi 
 b. 
1
'( ) 0 ( ) sin 2 sin 15
2
f x f x x x= = + − vôùi 
 c. 
3 1
'( ) 0 ( ) sin 2 cos2 2
2 2
f x f x x x x= = − + vôùi 
Bài 2: Cho hàm số 6 6sin cosy x x= + . Tìm GTLN và GTNN của hàm số '( )y x . 
Bài 3: Cho hàm số ( )
2
3 2( 1)( ) 1 3 2009
3
m
f x x m x x
−
= + − + − . Tìm m để '( ) 0,f x > ∀ x . 
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a. 1 2 3 12 3 ... .2n nn n n nC C C nC n
−+ + + + = (HD: Khai triển ( )1
n
x+ rồi lấy đạo hàm hai vế) 
 b. ( ) ( )2 3 21.2 2.3 ... 1 1 .2n nn n nC C n nC n n −+ + + − = − 
 c. ( ) ( ) ( ) 10 1 2 11 2 ... 1 0n nn n n nnC n C n C C
− −− − + − − + − = (HD: Khai triển ( )1 nx − rồi lấy đạo 
hàm hai vế) 
 d. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 22. 3. ... 2
n n
n n n n n
n
C C C n C C+ + + + = 
( )
2 2 2
2 1 1
2 2
0 0 0 1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
( : 1 2 . .
2 . . . 2 . . . , 1. 
n n n n n
n k k i i k k k k i i
n n n n n
k i k k i
n n n n
k i k i i i k i k i i i
n n n n n n
i k i k
HD x C x C x C x k C x i C x
k C C x i C x k C C x i C x i
− −
= = = = =
− − − − − −
= = = =
    
+ = = ⇒ =    
    
   
⇔ = ⇒ = ∀ =   
   
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ .2n
Với i = n được điều cần chứng minh) 
III.TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 
Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 
8 
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
2
1
x
y
x
+
=
−
 a. Tại điểm có hoành độ x0 = 2. 
 b. Tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn ( )0
3
'
4
y x = − . 
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 22 1y x x= − + 
 a. Tại điểm có hoành độ bằng 1. 
 b. Tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn ( )0'' 0y x = . 
 c. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 1). 
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 4 22 3y x x= + − 
 a. Tại điểm có tung độ triệt tiêu. 
 b. Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 8x + 3. 
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 23 8 1y x x x= + − + biết tiếp tuyến 
song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục Oxy. 
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 23 2y x x= − + biết tiếp tuyến vuông 
góc với đường thẳng x + y + 10 = 0. 
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
2 1x x
y
x
− +
= 
 a. Biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 = 1. 
 b. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; -1). 
IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP: 
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1) 
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) 
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1) 
a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x) 
Bài 3: Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình : 
a) y = 22x x− ; y3y"+1 = 0. 
b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. 
c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0 
d) y = 3x [cos(lnx)+sin(lnx)]; 2x y"-5xy'+10y = 0. 
e) y = ( )
2
2 1x x+ + ; (1+ 2x )y"+xy'-4y = 0 
Bài 4: Cho hàm số y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 
1. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(π ). 
2. Giải phương trình f”(x) = 0. 
Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = 
1
2
x −
cos2x 
a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0 
Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: 
a) f(x) = 3x+
60
x 3
64
x
− +5; b) f(x) = 
sin 3
3
x
+cosx- 3
cos3
sin
3
x
x
 + 
 
Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 
9 
PHẦN III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 
Bài 1: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác nhọn BCD có các đường cao BE và DF cắt nhau tại 
H. Trên đường thẳng d qua B và vuông góc với mp(α) lấy điểm A (A≠B). Gọi M là hình chiếu 
vuông góc của D trên cạnh AC. 
 1. Chứng minh rằng (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DMF). 
 2. Gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng HK ⊥ (ADC). 
 3. Cho tam giác BCD đều cạnh a và 
3
2
a
AB = . Tính: 
 - Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). 
 - Độ dài đoạn thẳng HK, khoảng cách từ F đến mp(ADC) và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng chéo nhau AB và DC). 
Bài 2: Trong mặt phẳng (α) cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Trên đường thẳng d vuông góc với (α) 
tại A lấy điểm M (M ≠A). Gọi H và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B của ∆ABC và 
∆MBC và N là giao điểm của HK và đường thẳng d. Chứng minh rằng: 
 1. CM ⊥ (BHK) 
 2. Tứ diện CBMN có các cạnh đối vuông góc với nhau. 
Bài 3: Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai 
đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác 
BCE và ADF. Chứng minh rằng: 
 1. ∆ACH và ∆BFK là các tam giác vuông. 
 2. BF ⊥ AH và AC ⊥ BK. 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a., cạnh SA = a và 
SA⊥(ABCD). 
 1. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 
 2. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. 
Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ ⊥ SB. 
 3. M là một điểm di động trên đoạn BC, gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên DM. 
Tìm quỹ tích các điểm K khi M di động. 
 4. Đặt BM = x. Tính độ dài SK theo a và x. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông có cạnh đáy nhỏ AB = a, AD = a, 
BD⊥BC, SD = BD, SD⊥(ABCD). Lấy M ∈ AB, đặt BM = x. 
1. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 
2. Mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với BD cắt hình chóp theo thiết diện là hình 
gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a và x. 
3. Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện nói trên là lớn nhất. 
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc  060BAD = . 
Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn 
3
4
SO a= . Gọi E là trung điểm 
của BC và F là trung điểm của BE. 
1. Chứng minh rằng mp(SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 
 2. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). 
 3. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mp(SBC). Xác định thiết diện của 
hình chóp với (α). Tính diện tích thiết diện đó? 
 4. Tính góc giữa mp(α) và mp(ABCD). 
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng 
3a . 
 1. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD). 
Trường THPT Đông Hưng Hà 2011 
10 
 2. Gọi (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình 
chóp cắt bởi mặt phẳng (α). Tính diện tích thiết diện đó. 
 3. Gọi ϕ là góc giữa (α)