Ôn tập Chuyên đề Lượng giác

PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hai cung đối nhau: -x và x
2. Hai cung bù nhau: và x
3. Hai cung phụ nhau: và x
4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
6. Cơng thức cộng lượng giác
7. Cơng thức nhân đơi
8. Cơng thức nhân ba:
9. Cơng thức hạ bậc:
10. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
11 . Cơng thức biến đổi tổng thành tích
A. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Cho 
Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota.
Cho 
Tính biết Tính biết tanx = -2
	Tính biết cotx = -3
Chứng minh: 
	(sử dụng như 1 cơng thức) 
Chứng minh các đẳng thức sau: 
* Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT
 * Biết 1 HSLG khác:
Cho sinx = - 0,96 với 
	a/ Tính cosx ; b/ Tính 
 Tính:
Đơn giản biểu thức:
Đơn giản biểu thức:
Đơn giản biểu thức:
Chứng minh:
 Cho tam giác ABC.Chứng minh:
III/. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 
Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 
Tính biết 
Cho 2 gĩc nhọn cĩ . a/ Tính b/ Tính 
Cho 2 gĩc nhọn x và y thoả : 
	a/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
Tính biết và 
Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o
 Tính: 
Tính:
Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
Chứng minh:
 Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác 
 Cho tam giác ABC.Chứng minh:
( học thuộc kết quả )
Cơng thức biến đổi: 
Biến đổi tích thành tổng	 
Biến đổi tổng thành tích 	
Hệ thức lượng trong tam giác
	 Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : 
	( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Chứng minh vuơng nếu: 
Chứng minh cân nếu: 
Chứng minh đều nếu: 
Chứng minh cân hoặc vuơng nếu:
Hãy nhận dạng biết:
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 
Chú ý : 1) cĩ nghĩa khi B (A cĩ nghĩa) ; cĩ nghĩa khi A
	2) 
3) 
4) 
5) Hàm số y = tanx xác định khi 
 Hàm số y = cotx xác định khi 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 
1) y = cosx + sinx	2) y = cos	3) y = sin
4) y = cos	5) y = 	6) y = 
7) y = 	8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x - 10) y = 
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác 
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx 
	sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x 
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra 
	 	 Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Cĩ 3 khả năng
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 
1) y = -2cosx	2) y = sinx + x	3) y = sin2x + 2 
4) y = tan2x 	5) y = sin + x2	6) y = cos
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác 
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng 
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên 	2) y = cosx trên khoảng 
3) y = cotx trên khoảng 	4) y = cosx trên đoạn 
5) y = tanx trên đoạn 	6) y = sin2x trên đoạn 
7) y = tan3x trên khoảng 	8) y =sin(x + ) trên đoạn 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số
 Khoảng 
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B 
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn 
2) y = -2cos trên đoạn 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = 2sin(x-) + 3	2) y = 3 – cos2x	3) y = -1 - 
4) y = - 2	5) y = 	6) y = 5cos
7) y = 	8) y = 
Chú ý : 
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì 
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì 
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = sinx trên đoạn 	2) y = cosx trên đoạn 
3) y = sinx trên đoạn 	4) y = cosx trên đoạn 
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v Û ( k Ỵ Z )
cos u = cos v Û u = ± v + k2p. ( k Ỵ Z )
tanu = tanv Û u = v + kp ( k Ỵ Z )
cotu = cotv Û u = v + kp ( k Ỵ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
 sinx = 0 Û x = kp , sinx = 1 Û x = + k2p ,sinx = -1 Û x = - + k2p 
 cosx = 0 Û x = + k p , cosx = 1 Û x = k2p , cosx = -1 Û x = p + k2p .
 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . 
 Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 ¹ 0 
 Cách 1: acosx + bsinx = c Û = c với
 asinx +bcosx = c Û = c với .
Cách 2 : 
 Xét phương trình với x = p + kp , k Ỵ Z
 Với x ¹ p + kp đặt t = tan ta được phương trình bậc hai theo t :
 (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm Û a2 + b2 - c2 ³ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1. , 2. 
3. , 4. 
5. , 6. 
7. 	8. 	 	
 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
 Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 	2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 
7. 	8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9. 	10. 
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
 a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 .
 Cách 1 : 
Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
Xét chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 
 sinxcosx = sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
 b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = + kp ,kỴZ.
Bài tập :
2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 
 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0
4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4
6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
6/ Phương trình dạng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện khi đó sinxcosx = 
 Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
 Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 
 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện khi đó sinxcosx = 
Bài tập : Giải các phương trình sau :
3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 
2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 
sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 
 2/ ĐS : x = k3p , x= ± +k3p , x = ± +k3p 
 3/ 1+ sinsinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ĐS: sinx =1 v sin = 1 
 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - + k p 
 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ĐS : x = k2p , x = ± +k2p 
 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 
 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 
 8/ cos 3x – cos 2x = 2
 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 
 10/ sin2x+ 2tanx = 3
 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x 
 12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ĐS : x = kp v x = + kp 
 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = + kp 
 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
 Giải các phương trình sau :
 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 .
 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= + 
 5/ sin3(x - ) = sinx ĐS : x = +kp 
 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ± + kp v x= + 
 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 .
 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
 Giải các phương trình sau :
 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 
 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 
 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 
 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). 
IV .PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC .
 Giải các phương trình sau:
 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx	 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 
 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 
 5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 
 9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 
11/ sin2tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x)
15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 
 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan) 
 20/ cotx – 1 =
 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =