Ôn tập: Các bài tập cơ bản về biến đổi lượng giác

ông chẵn và không lẻ trên R.
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 	1) y = –2cosx	2) y = sinx + x
3) y = sin2x + 2 	 4) y = tan2x 	5) y = sin + x2 6) y = cos 7) y = sin2x	 8) y = – 2 +3cosx 9) y = cosx – sinx 10)y = tanx.sinx 11)y = cos2x + sin 12)y = cotx. 13) y= sin xcos2x + tan x	14)y = 
III. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác (nâng cao)
Chú ý : – 1 ≤ sinx ≤ 1; – 1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
VD. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx	b. y = 	c. y = 
a. Vì –1 sinx 1 nên –2 2sinx 2 do đó 13 + 2sinx 5. 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 x = , k Z.
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = –1 x = – , k Z.
b. Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 1 x = , k Z.
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0 x = , k Z.
c. Vì –1 sin3x 1 nên 3 2sin3x +5 7 do đó . 
· Giá trị lớn nhất của hàm số là , 
đạt được khi sin3x = 1 3x = x = , k Z.
· Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , 
đạt được khi sin3x = –1 3x = – x = –, k Z.
Bài 3*: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) y = 2sin(x–) + 3	2) y = 3 – cos2x 	3) y = –1 – 
4) y = – 2	5) y = 	6) y = 5cos
7) y = 	8) y = 	9) y = 
10) y = 1– 2sin22x	11) y = 4 – 3; 	12) y = 
13) y = 	14) y = ; 	15) y = 1 – sin2x	 16) y = 3sin(x– ) –1	17) y = –2 + 	18 y = 2cos	
19) y = 3 + 1	20) y = 2– 3cosx.
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì 
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì 
Bài 4*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = sinx trên đoạn 	2) y = cosx trên đoạn 
3) y = sinx trên đoạn 	4) y = cosx trên đoạn .
Hướng dẫn bài tập SGK
BT1/sgk/17 ? Căn cứ đồ thị y = tanx trên đoạn 
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
BT2/sgk/17 :
a) Điều kiện : 	
b) Điều kiện : 1 – cosx > 0 hay ...	
c) Điều kiện : ...	
d) Điều kiện : ...	
BT3/sgk/17 ? 
Mà ; 
lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị hàm số 
trên các khoảng này. Đồ thị của hàm số y = 
BT4/sgk/17 ?–Hàm số lẻ tuần hoàn chu kỳ 
ta xét trên đoạn ;lấy đối xứng qua O được đồ thị trên đoạn , 
tịnh tiến ta có đồ thị
BT5/sgk/18 ?
–Cắt đồ thị hàm số bởi đường thẳng được giao điểm .
BT6/sgk/18 ? ứng phần đồ thị nằm trên trục Ox. ĐS
BT7/sgk/18 ? ứng phần đồ thị nằm dưới trục Ox. ĐS:
8) BT8/sgk/18 ? a) Từ đk : 
b) 
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tóm tắt lý thuyết
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (1)
1. sinu = a:
pt vô nghiệm
, đưa pt về dạng:
Nếu a không đưa về sinv được & u thỏa mãn đk – u ta viết u = arcsina.
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm: 
Đặc biệt:
 sinx = sin Û
3. tanu=a: Đk: 
Nếu a không đưa về tanv được & u thỏa mãn đk –< u < ta viết u = arctana.
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm: 
· Đặc biệt:
* tanx = 1 Û x = + k (k¢).
* tanx = –1 Û x = – + k (k¢).
* tanx = 0 Û x = k (k¢).
 tanx = tan Û x = + k1800 

2. cosu=a:
pt vô nghiệm
, đưa pt về dạng:
Nếu a không đưa về cosv được & u thỏa mãn đk 0 u p ta viết u = arccosa.
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm: 
Đặc biệt:
cosx = cos Û x = + k3600 
4. cotu=a: Đk: 
Nếu a không đưa về cotv được & u thỏa mãn đk 0 < u <p ta viết u = arccota.
Lúc đó áp dụng công thức nghiệm: 
· Đặc biệt:
* cotx = 1 Û x = + k (k¢).
* cotx = –1 Û x = – + k (k¢ .
*cotx = 0 Û x = + k (k¢).
 cotx = cot Û x = + k1800 
VD Giải các phương trình sau:	a. sinx = 	b. sin2x = 	
c. cos(2x +)= 	d. tan(x – 600) = 	e. cot(x – )= 5	
f. cot(x –750) = –1	*g. tan3x = tanx	*h. tan5x – cotx = 0
a. sinx = Û
b. sin2x = 
c. cos(2x +) =cos(2x +) = cos 
d. ĐK x – 60o ¹ 90o + k.180o Û x ¹ 30o + 180o.
 tan(x – 600) = 
Vậy nghiệm của Pt tan(x – 600) = là: 
e. cot(x –) = 5
f. ĐK x ¹ 75o + k180o.
 cot(x –750) = –1 
Vậy nghiệm của Pt cot(x –750) = –1 là: 
g. tan3x = tanx.	Điều kiện 
Ta có : tan3x = tanx 3x = x +l x = l
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = m (m)
h. tan5x – cotx = 0. Điều kiện 
tan5x = cotx tan5x = tan( 5x = + lx = + l (l Î )
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:	x = + l (l Î ).
Bài tập
1) Giải :	a. sinx = – . b. sin(2x – ) = .	c. sin(3x – 2) = –1.
ĐS : 	a. 	b. c. x = – + k (k¢ ).
2) Giải:	a. sin2x = – 2/3.	b. sin(x – 300) = .
ĐS : 	a. x = arcsin(–2/3) + k ; x = – arcsin(–2/3) + k (kZ).
 b. x = 750 + k3600 ; x = 1650 + k3600 (kZ).
3) Giải: a. cos(2x – ) = 1. 	b. cos(x – 2) = 2/5.
 c. cos(2x + 500) = 1/2. 	d. (1+2cosx)(4–3cosx) = 0.
 ĐS a. x = + k ; x = – + k. 	 b. x = 2 arccos + k2(k¢). 
 c. x = 50 + k1800 ; x = –550 + k1800 . d. x = + k2 (k¢).
4) Giải: a. sin3x – cos2x = 0. 	 b. sin(5x – ) + sin2x = 0.
 c. sin(3x – ) + cos(3x + ) = 0. d. cos = – cos(2x – 300).
 Học sinh có thể giải pt này bằng hai cách:
Cách 1: Pt sin3x – sin( – 2x) = 0 2cos( + )sin(– ) = 0
Û cos( + ) = 0 hoặc sin(– ) = 0 Û x = + k hoặc x = + k2.
Cách 2 : Pt sin3x = cos2x sin3x = sin( – 2x) 
 3x = – 2x + k2 hoặc 3x = – + 2x + k2 
 x = + k hoặc x = + k2 (k¢). 
b. x = – + k; x = + k (k¢). 
c. Pt sin(3x – ) + sin( – 3x) = 0 2sin(– )cos(3x – ) = 0
 cos(3x – ) = 0 x = + k (k¢). 
d. Pt cos + cos(2x – 300) = 0 2cos( – 150) cos(150 – ) = 0
Û cos( – 150) = 0 hoặc cos(150 – ) = 0
 x = 840 + k1440 hoặc x = 1400 + k2400 (k¢). 
5) Giải: a. sin(cosx) = 1. b. 2cos(2cosx) = . c. cos(8sinx) = 1. Pt cosx = + k2Û cosx = + 2k (k ¢ ) 
Do – 1 cosx 1 nên – 1 + 2k 1 – k k = 0 Î ¢ Khi đó cosx = x = + n2 (n Î ¢ ) 
b. Pt cos(2cosx) = = cos2cosx = + k2Û cosx = + k 
Do –1 cosx1 nên k = 0; pt Û cosx =Û x =arccos()+k2 (k΢)
c. Pt 8sinx = k2 sinx = k 
Do –1 sinx 1 nên –1 k 1 k = 0 hoặc k = 1 hoặc k = –1 .
Với k = 0 ta có sinx = 0 Û x = mp 
Với k = 1 ta có sinx = x = arcsin + m2 hoặc x = – arcsin + m2 
Với k =–1 ta có sinx= –Û x = arcsin(–)+m2hoặc x=– arcsin(–)+ m2 
6) Giải: a. tan(2x + 3) = tan . b. cot(450 – x) = .
 c. (cot – 1)(tan3x + ) = 0. d. tan(4x + ) + cot(2x – ) = 0
ĐS : a. x = – + + k b. x = – 150 + k1800 . (Nhớ ĐK)
c. Pt cot – 1 = 0 hoặc tan3x + = 0 cot = 1 hoặc tan3x = – 
 x = + k3 hoặc x = arctan(–) + k (k¢). (Nhớ ĐK)
d. Pt tan(4x + ) = – cot(2x – ) tan(4x + ) = tan(2x + ) 
 4x + = 2x + + k x = + k (k¢).	 (Nhớ ĐK)
Tự luyện 1 Giải 	a. cos(3x – ) = – b. cos(x –2) = 
c. cos(2x + 500) = 	d. (1+ 2sinx)(3– cosx)= 0 	e. tan2x = tan 
f. tan(3x –300) = – 	g. cot(4x –)= 	 	h. sin(3x– 450) = 
i. sin(2x +100)= sinx	k. (cot–1)(cot+1)= 0 	l. cos2x.cotx = 0 
m. cot()= –1	n. sin(2x –150) = – 	p. sin4x = 	 
q. cos(x + 3) = 	r. cos2x cot(x – )= 0 	s. cos3x = 	 
t. tan(	u. cos3x – sin2x = 0	 	v. sin3x + sin5x = 0 
Tự luyện 2 Giải	a. sin(2x –1) = sin(x+3)	 	b. sin3x = cos2x	 
c. sin4x + cos5x = 0	d. 2sinx + sin2x = 0 	e. sin22x + cos23x = 1 f. sin3x + sin5x = 0 	g. sin(2x +500) = cos(x +1200)	h. cos3x – sin4x = 0.
Tự luyện 3 Giải:	a. sin(4x – ) = ; b. cos(x –) = với x ; 
c. sin(3x – ) + sin( – 4x) = 0;	d. cos(4x – ) + cos( – 6x) = 0;
e. sin(2x – ) + cos(3x – ) = 0;	f. cot( – 6x) = – ;
g. tan(6x – ) + cot(4x + ) = 0;	h. tan(5x + ) – cot(3x – ) = 0;
Phương trình bậc nhất ,bậc hai với một giá trị lượng giác (2)
¯ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. 
Cách giải:· Chuyển b sang vế phải và chia hai vế cho a ta được pt cơ bản. 
 · Chú ý:
	Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
¯ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Cách giải:	· Đặt HSLG làm ẩn phụ với đk cho ẩn phụ(nếu có)
 	· Giải pt với ẩn phụ.
 	· Đưa pt về dạng phương trình cơ bản.
 	· Chú ý:
	Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác.
Vd1 Giải: a. 3tanx += 0; b. 2cos2x +cosx – 2 = 0; tan(2x–)+3 = 0 
a. ĐK: x ¹ + kp Ta có phương trình Û tanx = – x =– + k
b. Đặt t = cosx ( 1 ). PT 2t2 + t– 2 = 0 Û t 1 =; t2 =– (loại )
khi t = cosx = x = +k2.
c. phương trình Ûtan(2x – ) = –3 tan(2x – ) = – = tan(–)
2x – = – + k x = – + k (k¢ ). (Nhớ ĐK)
Vd2 Giải: a. 8cos2x +6sinx –3 = 0 b. 6sin2x – 5sinx – 4 = 0 
a. Thay cos2x = 1– sin2x ta được 8 sin2x –6 sinx –5 = 0 
Đặt u = sinx, ( |u| ≤ 1). Phương trình Û 8u2 – 6u – 5 = 0 
Û sinx = –Û sinx = sin (–) Û ; x = .
b. Đặt t = sinx, đk 1. Khi đó pt trở thành: 6t2 – 5t – 4 = 0t=–hoặc t=(l)
 Với t = – ta có sinx = – x = – + k2 hoặc x = – + k2
Vd3 Tìm nghiệm trong khoảng(0;) của phương trình 3 cot4x –
Thay ta được 
3cot4x – 4(1+cot2x) + 5 = 0 hay 3u2 – 4u + 1 = 0 , với u cot2x >0 u = 1 V u = 
· cot2x = 1 Û cotx = 1 Û (1)
· cot2x = Û (2)
 bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm trong khoảng (0 ;) là .
Bài tập :
1) Giải: a. cot2x + ( – 1)cotx – = 0 . b. 2sin2x – cos2x – 4sinx + 2 = 0;
c. 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0; d. cos2x – 5sinx – 3 = 0; 
e. cos2x + cosx + 1 = 0;	 f. 6sin23x + cos12x = 14; g. 4sin4x + 12cos2x = 7 
ĐS : a. x = + k; x = – + k (k Z).
b. x = + k2; x = arcsin() + k2; x = – arcsin() + k2.
c.x = +k.	d. x=–+k2; x=+k2. e. x=+k; x=+k2 f. VN.
g. Ta có sin4x=(1–cos2x)2. Đưa về pt trùng phương đối với cosx. ĐS :x= + k 
2) Giải: a. = 3cotx + ; ĐS : a. x = + k; x = + k.
b. = 2; Đk cos2x0, sin2x0, sin2x1x k.
ĐS : x = – + k; x = – + k.
c. = 0. ĐS: x = .
2)
STT
Giải các phương trình sau:
ĐS
1
cos2x - 2sin2x + 2 = 0
. CĐ NTT 07
2
4sin2x – 2( - )sinx - = 0
3
cos4x – 2sin2x + 2 = 0. CĐXD số 2 05
4
cos2x + cos4x – 2 = 0
x = k. CĐTCKT IV 05
5
. CĐ Y TẾ 1 05
Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx : asinx+bcosx = c (3)
Cách 1: ĐK có nghiệm: a2 + b2 ³ c2
· Chia 2 vế phương trình cho ¹ 0.Đặt = cosa ; = sina 
· pt Û sinx.cosa + cosx.sina = Û sin(x + a ) = 
Cách 2: ĐK có nghiệm: a2 + b2 ³ c2
· Chia hai vế cho a ¹ 0 rồi đặt , ta được: sinx + tana.cosx = sinx.cosa + sina.c