Những bài toán bất đẳng thức cơ bản trong Cosi - Nguyễn Phú Khánh

75 302005
1975. 30.
. . 1
1975 30
a x
a x a x
+
≥ =
+
Tương tự 
( ) ( ) ( ) ( )
2005 2005 1975 30
2005 2005 1975 302005
1975. 30.
. . 2
1975 30
b y
b y b y
+
≥ =
+
Từ ( )1 và ( )2 suy ra ( ) ( ) ( ) ( )2005 2005 2005 2005 1975 30 1975 301975. 30. 2005. . . 3a b x y a x b y+ + + ≥ + 
Từ ( ) ( ) ( )
2005 2005
2005 2005 2005 2005
2005 2005
1
2005 1975. 30. 4
1
a b
a b x y
x y
 + ≤
⇒ ≥ + + +
+ ≤
Từ ( )3 và ( )4 suy ra ( )1975 30 1975 30 1975 30 1975 302005 2005. . . . . 1a x b y a x b y≥ + ⇒ + ≤ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1975 30 1975 30,a x b y= = . 
Tổng quát : Cho các số không âm , , ,a b x y thỏa các điều kiện 
1
1
m n m n
m n m n
a b
x y
+ +
+ +
 + ≤

+ ≤
. Chứng minh rằng : 
. . 1m n m na x b y+ ≤ . 
Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1.x y z+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.
xy yz zx
A
z x y
= + + 
Giải: 
Ta có : ( )
2 2 2
2 2 2 22 .
xy yz zx
A y z x
z x y
     
= + + + + +     
     
Áp dụng bất đẳng thức: 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + 
Ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 3( ) 3.A y z x y z x y z x≥ + + + + + = + + = 
Đẳng thức xảy ra 
1
.
3
xy yz xz
x y z
z x y
⇔ = = ⇒ = = = 
Vậy min 3A = đạt được khi 
1
3
x y z= = = . 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 2 2 2 1+ + =a b c . Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 2
3 3
2
+ + ≥
+ + +
a b c
b c c a a b
. 
Phân tích bài toán : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 < ≤ ≤a b c thoả mãn điều kiện 2 2 2 1+ + =a b c , vậy ta có thể suy ra 
0 1< ≤ ≤ <a b c hay không?. Như vậy điều kiện , ,a b c không chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 
2 2 2
1
0;
3
0
, ,
1
  ⇒   
< = =
∈
+ + =
a b c
a b c
a b c
. 
•Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ?. Dễ thấy 2 2 2 1+ + =a b c và 2 2 2 2 2 2, ,+ + +b c c a a b . Gợi ý ta đưa 
bài toán về dạng cần chứng minh :
2 2 2
3 3
21 1 1
+ + ≥
− − −
a b c
a b c
• Vì vai trò , ,a b c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích 
( )2 2 22 2 2
3 3
21 1 1
+ + ≥ + +
− − −
a b c
a b c
a b c
 và cần chứng minh 
2
2
2
2
2
2
3
21
3
21
3
21









≥
−
≥
−
≥
−
a
a
a
b
b
b
c
c
c
. 
•Ta thử đi tìm lời giải : 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3 1 3 3 2 4 8
(1 ) (1 ) 2 (1 )
2 2 27 271 1 3 3
a
a a a a a a a a
a a
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ −
− −
Dễ thấy 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 (1 ) 2 (1 )(1 )
2 (1 ) (1 ) 2
a a a a a
a a a



− = − −
+ − + − =
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
2 2 2 2 2 232 2 (1 ) (1 ) 3 2 (1 )(1 )a a a a a a= + − + − ≥ − − 
2 2 2 2 2 232 82 (1 )(1 ) 2 (1 )
3 27
a a a a a⇒ ≥ − − ⇔ ≥ − 
Tương tự cho các trường hợp còn lại. 
Giải : 
Cho 3 số thực dương , ,a b c . Chứng minh rằng : 
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 1
2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
Phân tích bài toán : 
•Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng : 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
0
a b c
m a c nb k b a pc i b c ja
b c a c a b a b c
+ + + + + + + + + + + ≥
+ + +
. 
•Giả sử 0 a b c< ≤ ≤ . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a b c= = . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Từ đó gợi mở hướng giải : 
( )
( )
3
33
a
m a c nb mna
b c a
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi 
( )
( )
( )
( )
3
3
1
4
1
2
a mm a c nb a
b c a m a a na
a a a na b c


⇔ 
 
 
== + =
+ = + = ⇔
+ == =
Tương tự cho các trường hợp khác . 
Giải : 
( )
( )
3 1 1 3
2 4 2
a
b c a a
b c a
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi: 
( )
( )
3 1 1
2 4
a
b c a
b c a
= = +
+
. 
( ) ( )
3 1 1 3
2 4 2
b
c b a b
c a b
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi: 
( ) ( )
3 1 1
2 4
b
c b a
c a b
= = +
+
. 
( ) ( )
3 1 1 3
2 4 2
c
a b c c
a b c
+ + + ≥
+
. Đẳng thức xảy ra khi: 
( ) ( )
3 1 1
2 4
c
a b c
a b c
= = +
+
. 
Cộng vế theo vế ta được : 
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 1
2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
. Dấu đẳng thức xảy ra khi : 
0a b c= = > 
Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn 1a b c =+ + . Chứng minh rằng : 
.a 
7
1 1 1
2
a b c+ + + + + < 
.b 6a b b c c a+ + + + + ≤ . 
.c 33 3 3 18a b b c c a+ + + + + ≤ . 
.d
1 1 1
10a b c
a b c
+ + + + + ≥ 
Giải: 
.a 
7
1 1 1
2
a b c+ + + + + < 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1. 1 1
2 2
1 1 7
1 1. 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2
1 1
1 1. 1 1
2 2
a a
a a
b b a b c
b b a b c
c c
c c
+ +
+ = + ≤ = +

+ + + +
+ = + ≤ = + ⇒ + + + + + ≤ + =

+ + 
+ = + ≤ = + 

Đẳng thức xảy ra khi 1 1 1 1 0 0 1a b c a b c a b c+ = + = + = ⇔ = = = ⇒ + + = ≠ 
Vậy 
7
1 1 1
2
a b c+ + + + + < 
.b 6a b b c c a+ + + + + ≤ . 
Phân tích bài toán : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ thoả mãn điều kiện 1a b c =+ + , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 
khi 
0 1
31
a b c
a b c
a b c



< = =
⇒ = = =
+ + =
. Hằng số cần thêm là 
1
3
. 
• Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích ( )6a b b c c a a b c+ + + + + ≤ + + hay 
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 .
2 2 2 2
a b b c c a
S a b b c c a
 
 
 
 
 
+ + + + + + + + +
= + + + + + ≤ + + . 
•Ta thử đi tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
( )
( )
1 1 2
3 3 3 23 3 3 . .
2 2 2 2 2 3
a b a b
a b a b
 
 
 
 
 
+ + + + +
= ≥ + = + 
Tương tự cho các trường hợp còn lại . 
Cách khác : 
Giả sử với mọi 0m > , ta luôn có : ( )1 1
2
a b m
a b a b m
m m
 
 
 
+ ++ = + ≤ . Vấn đề bây giờ ta 
dự đoán 0m > bao nhiêu là phù hợp?. 
Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi 
2
1 3
3
a b m
m
a b





+ =
⇔ =
= =
. 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
_
_
_
2
3 2 3 3 . . .
2 3 2 2
2
3 2 3 3 . . .
2 3 2 2
2
3 2 3 3 . . .
2 3 2 2
AM GM
AM GM
AM GM
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a













+ +
+ = + ≤
+ +
+ = + ≤
+ +
+ = + ≤
( ) 22 3.3 33 . .2 6
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + +
⇒ + + + + + ≤ = = (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi 
1
3
a b c= = = . 
.c 33 3 3 18a b b c c a+ + + + + ≤ . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ thoả mãn điều kiện 1a b c =+ + , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 
khi 
2
3
0 1 2
3 31
2
3
a b
a b c
a b c b c
a b c
c a


 
 
 



+ =
< = =
⇒ = = = ⇒ + =
+ + =
+ =
. Hằng số cần thêm là 
2
3
• Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích ( )33 3 3 18a b b c c a a b c+ + + + + ≤ + + hay 
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3
T
a b b c c a
a b b c c a= + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + ≤ 
. 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3
3
3
3
3
3
3
3
2 2
9 2 2 3 3. . .
4 3 3 3
2 2
9 2 2 3 3. . .
4 3 3 3
2 2
9 2 2 3 3. . .
4 3 3 3
a b
a b a b
b c
b c b c
c a
c a c a













+ + +
+ = + ≤
+ + +
+ = + ≤
+ + +
+ = + ≤
( ) 33 33 3 3 2 49 9 6. . 18
4 3 4 3
a b c
T a b b c c a
+ + +
⇒ = + + + + + ≤ = = (đpcm). 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
3
a b c= = = . 
.d
1 1 1
10a b c
a b b
+ + + + + ≥ 
Phân tích bài toán : 
•Trường hợp tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ thoả mãn điều kiện 1a b c =+ + , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 
khi 
0 1
31
a b c
a b c
a b c



< = =
⇒ = = =
+ + =
. 
• Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với mọi 0m > , ta luôn có : 
1
2ma m
a
+ ≥ . 
Đẳng thức xảy ra khi : 
1
9
1
3
ma
a
m
a
 =
⇔ =
 =

. 
•Vì thế mà ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
9 8T a b c a b c a b c
a b b a b b
= + + + + + = + + + + + − + + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Giải : 
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 
1
9 6
1
9 6
1
9 6
a
a
b
b
c
c
 + ≥

+ ≥

 + ≥
( ) ( ) ( )
1 1 1
9 8 3.6 8 10T a b c a b c a b c
a b b
⇒ = + + + + + − + + ≥ − + + = (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi : 
1
3
a b c= = = . 
Bài tập tương tự 
Cho các số thực dương , ,x y z và thỏa mãn mx ny pz d+ + ≥ trong đó , , ,m n p d ∈ . Tìm giá trị lớn 
nhất biểu thức 2 2 2A ax by cz= + + 
Hướng dẫn : Thực hiện việc chọn điểm rơi : 2 2 2ax by cz β= = = 
Chứng minh rằng nếu 5xy yz zx+ + = thì 2 2 23 3 10x y z+ + ≥ 
Phân tích bài toán : 
•Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 2 2 23 ,3 , , , ,x y z xy yz zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng 
thức có dạng : ( ) ( ) ( )2 22 20 ?.ax by ax by axby− ≥ ⇔ + ≥ 
• Phân tích : 
2 2 2ax ay axy+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi x y= 
2 2 2by cz bcyz+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi 2 2by cz= 
2 2 2cz bx cbzx+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2cz bx= 
Bây giờ ta chọn , ,a b c sao cho : 
13
2 1 2
1
2
aa b
c b
a bc c

  =+ =  
= ⇔ = 
 
=  = 
Giải : 
2 2 2x y xy+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi x y= 
2 212 2
2
y z yz+ ≥ .Đẳng thức xảy ra khi 2 2
1
2
2
y z= 
2 21 2 2
2
z x zx+ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi 2 2
1
2
2
z x= 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 
Cộng vế theo vế ta được : ( )2 2 2 2 2 23 3 2 3 3 10x y z xy yz zx x y z⇒+ + ≥ + + + + ≥ (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi : 
2 2
2 2
1
2 12
1 2
2
2
5
x y
y z x y
z
z x
xy yz zx
=

 = = = 
⇔  = =

 + + =
Cho 3 số thực dương , ,x y z thoả mãn 
47
12
x y z =+ + . Chứng minh rằng : 2 2 2
12
235
3 4 5x y z+ + ≥ 
Phân tích bài toán : 
•Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 2 2 23 ,4 ,5 , , ,x y z x y z cho ta điều gì ?, gợi ý : 2 2 2
12
235
3 4 5x y z+ + ≥ 
được biến đổi về dạng ( )2 2 2 ,3 4 5 0x m y n z p k m n p k const+ + + + + ≥ < ≤ ≤ ≤ = 
• Phân tích : 
23 2 3 , 0x m mx m+ ≥ > . Đẳng thức xảy ra khi 23x m= 
24 2 4 , 0y n ny n+ ≥ > . Đẳng thức xảy ra khi 24y n= 
25 2 5 , 0z p pz p+ ≥ > . Đẳng thức xảy ra khi 25z p= 
Bây giờ ta chọn , ,x y z sao cho