Nhắc lại Giới hạn - Đạo hàm - Vi phân - Trần Sĩ Tùng

= - + = - +ç ÷
è ø
 2 2 2 2 21 1 1(1 sin t) 1 C (1 x ) 1 1 x C (x 2) 1 x C
3 3 3
é ù é ù= - - + = - - - + = - + - +ê ú ê úë û ë û
Chú ý: Trong cách giải trên sở dĩ ta có: 
2
2 2
cos t cos t
t cos t 0
2 2 cos t 1 sin t 1 x
ì =p p ï- Þ í
ï = - = -ỵ
· Cách 2: Đặt 2 2 2t 1 x x 1 t= - Þ = - 
 Suy ra: 
3 2 2 2
2
2 2 2
x dx x .xdx x .xdx (1 t )( tdt)2xdx 2tdt & (t 1)dt
t1 x 1 x 1 x
- -
= = = = = -
- - -
 Khi đó: 2 3 2 2 21 1 1I (t 1)dt t t C (t 3)t C (x 2) 1 x C
3 3 3
= - = - + = - + = - + - +ị 
Dạng 4: Xác định nguyên hàm các hàm số hữu tỉ đối với x và 2 2a x+ có dạng: 
2 2I R(x, a x )dx,với ad bc 0.= + - ¹ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 
 2 2
x | a | tgt với t
(hoặc có thể t x a x )2 2
x | a | cot gt với 0 t
p pé = - < <ê = + +
ê
= < < pë
· Bước 2: Bài toán được chuyển về: I S(sin t, cos t)dt.= ị 
Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: 2I 1 x dx.= +ị 
Giải: 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 71 
· Cách 1: Đặt: x tgt, t .
2 2
p p
= - < < Suy ra: 22 3
dt dtdx & 1 x dx .
cos t cos t
= + = 
 Khi đó: 3 4 2 2
dt cos tdt cos tdtI
cos t cos t (1 sin t)
= = =
-ị ị ị 
 Đặt: u = sint. Suy ra: 2 2 2 2
cos tdt dudu cos tdt &
(1 sin t) (u 1) (u 1)
= =
- + -
 Khi đó: 2 2
du 1 u 1 2uI ln C
4 u 1 (u 1)(u 1)(u 1) (u 1)
é ù+
= = - +ê ú- + -+ - ë û
ị 
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
1 sin t 1 2sin tln C
4 sin t 1 (sin t 1)(sin t 1)
x x1 2
1 1 x 1 xln Cx x x4 1 1 1
1 x 1 x 1 x
1 x 1 xln 2x 1 x C
4 x 1 x
1 1(2 ln | x 1 x | 2x 1 x ) C (ln | x 1 x | x 1 x ) C.
4 2
é ù+
= - +ê ú- + -ë û
é ù
+ê ú
+ +ê ú= - +
ỉ ưỉ ưê ú- + -ç ÷ç ÷ê ú+ + +è øè øë û
ỉ ư+ +ç ÷= + + +ç ÷- +è ø
= + + + + + = + + + + +
· Cách 2: Đặt: 
2
2 2 2 2 t 1t x 1 x t x 1 x (t x) 1 x x
2t
-
= + + Þ - = + Þ - = + Þ = 
2 2
2 t 1 t 11 x t
2t 2t
- +
Þ + = - = 
 Suy ra: 
2 2 2
2 2 22
x x 1 x 2t t 1dt 1 dx dx dx dx dt
1 x t 1 2t1 x
+ + +ỉ ư= + = = Û =ç ÷ + ++è ø
2 2 2 2
2
2 3 3
t 1 t 1 1 (t 1) 1 2 11 x dx . dt dt t dt
2t 4 4 t2t t t
+ + + ỉ ư+ = = = + +ç ÷
è ø
 Khi đó: 23 2
1 2 1 1 1 1I t dt t 2 ln | t | C
4 t 4 2t 2t
ỉ ư ỉ ư= + + = + - +ç ÷ ç ÷
è ø è øị 
2 2 2
2
2 2
1 1 1t 4 ln | t | C 4x 1 x 4 ln x 1 x C
8 8t
1 (ln x 1 x x 1 x ) C.
2
é ùỉ ư é ù= - + + = + + + + +ë ûç ÷ê úè øë û
= + + + + +
· Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 
 Đặt : 
2
2
xdxduu x 1
x 1
dv dx v x
ìì =ï ï= + Þ +í í
=ï ïỵ =ỵ
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 72 
 Khi đó: 
2
2
2
x dxI x x 1
x 1
= + -
+
ị 
 Với 
2 2
2
2 2 2
x dx [(x 1) 1]dx dxJ x 1dx
x 1 x 1 x 1
+ -
= = = + -
+ + +
ị ị ị ị 
 2I ln x x 1 C (2)= - + + + 
 Thay (2) vào (1) ta được: 
 2 2 2 2I x x 1 (I aln) x x 1 C 2I x x 1 ln x x 1 C= + - - + + + Û = + + + + + 
 2 2x 1I x 1 ln x x 1 C.
2 2
Û = + + + + + 
Chú ý: 
1. Trong cách giải thứ nhất sở dĩ ta có: 
 2
2
1 x1 x cos t và sin t
cos t 1 x
+ = =
+
 là bởi: 
2
2
cos t cos t
t cos t 0 x2 2 sin t tgt.cos t
1 x
ì =
p p ï
- Þ í
= =ï
+ỵ
2. Cả ba phương pháp trên (tốt nhất là phương pháp 2) được áp dụng để giải bài toán 
tổng quát: 
 2 2 2 2
2
a x dxx adx ln x x a x a C; ln x x a C.
2 2 x a
+ = + + + + + = + + +
+
ị ị 
3. Với tích phân bất định sau tốt nhất là sử dụng phương pháp 1: 
2 2 2k 1
dx , với k Z.
(a x ) +
Ỵ
+
ị 
4. Với tích phân bất định: (x a)(x b)dx+ +ị ta có thể thực hiện như sau: 
 Đặt: 
2a b (b a)t x & A
2 4
+ -
= + = - 
 suy ra: 2dt dx & (x a)(x b)dx t Adt= + + = + 
 Khi đó: 2 2 2A tI t Adt ln t t A t A C
2 2
= + = + + + + +ị 
2(b a) a b 2x a bln x (x a)(x b) (x a)(x b) C.
8 2 4
- + + +
= + + + - + + + + 
Dạng 5: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 2x a- có dạng: 
2 2I R(x, x a )dx,với ad bc 0.= - - ¹ị 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 73 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
· Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 
 2 2
| a |x với t ; \ {0}
sin t 2 2 (hoặc có thể t x a )
| a |x với t [0; ] \ { }.
cos t 2
é p pé ù= Ỵ -ê ê úë û = -ê
pê = Ỵ pêë
· Bước 2: Bài toán được chuyển về: I S(sin t, cos t)dt.= ị 
Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: 
2 2
xdxI
2x 1 3 x 1
=
- + -
ị 
Giải: 
· Cách 1: Đặt: 2 2 2t x 1 t x 1= - Þ = - 
 Suy ra: 22 2 2 2
xdx xdx tdt2tdt 2xdx &
2t 3t 12x 1 3 x 1 2(x 1) 3( x 1 1
= = =
+ +- + - - + - +
 Khi đó: 2
tdtI
2t 3t 1
=
+ +ị 
 Ta có: 2
t t a b (a 2b)t a b
(2t 1)(t 1) 2t 1 t 1 (2t 1)(t 1)2t 3t 1
+ + +
= = + =
+ + + + + ++ +
 Đồng nhất đẳng thức, ta được: 
a 2b 1 a 1
a b 0 b 1
+ = = -ì ì
Ûí í+ = =ỵ ỵ
 Khi đó: 2
t 1 1 .
2t 1 t 12t 3t 1
= - +
+ ++ +
 Do dó: 
21 1 1 1 (t 1)I dt ln | 2t 1 | ln | t 1 | C ln C
2t 1) t 1 2 2 | 2t 1 |
+ỉ ư= - + = - + + + + = +ç ÷+ + +è ø
ị 
2 2
2
1 ( x 1 1)ln
2 2 x 1 1
- +
=
- +
· Cách 2: Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trường hợp: 
– Với x > 1: 
 Đặt: 1x , t [0; )
cos t 2
p
= Ỵ . Suy ra: 2
sin tdtdx ,
cos t
= 
2 22
2 22 2
2
1 sin t. dtxdx (1 tg t)tgt.dt (1 tg t)tgt.dtcos t cos t
2 2(1 tg t) 1 3tgt 2tg t 3tgt 12x 1 3 x 1 1 3tgt
cos t
+ +
= = =
+ - + + +- + - - +
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 74 
 Khi đó: 
2
2
(1 tg t)tgt.dtI .
2tg t 3tgt 1
+
=
+ +ị 
 Đặt: u = tgt. Suy ra: 
2
2
2 2 2
dt (1 tg t)tgt.dt u.dudu (1 tg t)dt &
cos t 2tg t 3tgt 1 2u 3u 1
+
= = + =
+ + + +
 Khi đó: 
21 1 1 1 (u 1)I dt ln 2u 1 ln u 1 C ln C
2u 1 u 1 2 2 | 2u 1 |
+ỉ ư= - + = - + + + + = +ç ÷+ + +è øị 
2 2 2
2
1 (tgt 1) 1 ( x 1 1)ln C ln C.
2 2tgt 1 2 2 x 1 1
+ - +
= + = +
+ - +
– Với x < –1 (tự làm) 
Dạng 6: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2ax bx c+ + có dạng: 
2I R(x, ax bx c)dx, với ad bc 0= + + - ¹ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: 
· Cách 1: Đưa I về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết. 
 Ta xét các trường hợp sau: 
 Ÿ Trường hợp 1: Nếu a > 0 và D < 0. 
 – Bước 1: Ta có: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +ỉ ư+ + = - +ê úç ÷-Dè øë û
 – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2ax bt +=
-D
 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2I S(t, 1 t )dt= +ị 
 Ÿ Trường hợp 2: Nếu a 0. 
 – Bước 1: Ta có: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +ỉ ư+ + = - -ê úç ÷Dè øë û
 – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2ax bt +=
D
 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2I S(t, 1 t )dt= -ị 
 Ÿ Trường hợp 3: Nếu a > 0 và D > 0. 
 – Bước 1: Ta có: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +ỉ ư+ + = -ê úç ÷Dè øë û
 – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2ax bt +=
D
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 75 
 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2I S(t, t 1)dt= -ị 
· Cách 2: Sử dụng phép thế Euler: 
 Ta xét các trường hợp sau: 
 1. Nếu a > 0, đặt 2ax bx c t x a hoặc t x a.+ + = - + 
 2. Nếu c > 0, đặt 2ax bx c tx c hoặc tx c.+ + = + - 
 3. Nếu tam thức 2ax bx c+ + có biệt số D > 0 thì 
 2 1 2ax bx c a(x x )(x x ).+ + = - - Khi đó đặt: 
2
1ax bx c t(x x ).+ + = - 
Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: 2I x 2x 2dx.= + +ị 
Giải: 
· Cách 1: Sử dụng phép đổi biến: t x 1 dt dx.= + Þ = 
 Khi đó: 2I t 1dt.= +ị 
 Tích phân trên chúng ta đã biết cách xác định trong ví dụ 6. 
· Cách 2: Sử dụng phép đổi biến: 
2 2
2 2 2
2
t 2 (t 2t 2)dtx 2x 2 t x x 2x 2 (t x) x dx
2(t 1) 2(t 1)
- + +
+ + = - Þ + + = - Û = Þ =
+ +
 Khi đó: 
2 2 4
2
2 3
t 2 (t 2t 2)dt 1 (t 4)dtI x 2x 2dx t . .
2(t 1) 42(t 1) (t 1)
é ù- + + +
= + + = - =ê ú+ + +ë û
ị ị ị 
 Sử dụng đồng nhất thức: 
 4 4 4 3 2t 4 [(t 1) 1] 4 (t 1) 4(t 1) 6(t 1) 4(t 1) 5.+ = + - + = + - + + + - + + 
 Do đó: 
2
2
1 6 4 1 t 4I [t 1 4 ]dt [ 3t 6 ln | t 1 | ] C
4 t 1 4 2 t 1(t 1)
= + - + - = - + + + +
+ ++ị 
2 2
2
2
2
1 ( x 2x 2 x)[ 3( x 2x 2 x)
4 2
46 ln x 2x 2 x 1 ] C.
x 2x 2 x 1
+ + +
= - + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
Dạng 7: Tính tích phân bất định 
2
dxI
( x ) ax bx c
=
l + m + +
ị 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
– Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1t
x
=
l + m
– Bước 2: Bài toán được chuyển về: 
2
dtI
t t
=
a + b + g
ị 
Chú ý: Phương pháp trên có thể được áp dụng cho dạng tổng quát hơn là: 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 76 
n 2
(Ax B)dxI
( x ) ax bx c
+
=
l + m + +
ị 
Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: 
2
dxI
(x 1) x 2x 2
=
+ + +
ị 
Giải: 
Đặt: 1 1t x 1
x 1 t
= Þ = -
+
suy ra: 2
1dx dt,
t
= -
22
2
2 2 2
dt1 khi t 0t( )dtdx dt 1 tt
dt1 1(x 1) x 2x 2 khi t 01 t. 1
t t 1 t
ì- >ï- +ï= = - = í
+ + + ï <+ +
ï +ỵ
Khi đó: 
Ÿ Với t > 0, ta được: 
 2 22
dt 1 1I ln t 1 t C ln 1 C
x 1 (x 1)1 t
= - = - + + + = - + + +
+ ++
ị 
2 2
2
1 x 2x 2 x 1 1 x 2x 2ln C ln C ln C.
x 1 x 11 x 2x 2
+ + + + - + +
= - + = + = +
+ ++ + +
Ÿ Với t < 0, ta được: 
 2 22
dt 1 1I ln t 1 t C ln 1 C
x 1 (x 1)1 t
= = + + + = + + +
+ ++
ị
21 x 2x 2ln C.
x 1
- + +
= +
+
Tóm lại với t 0 x 1¹ Û ¹ - ta luôn có: 
21 x 2x 2I ln C.
x 1
- + +
= +
+
3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử 
dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét. 
Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: 2I x adx= +ị 
Giải: 
Đặt: 
2
2
xdxduu x a
x a
dv dx v x
ì =ìï ï= + Þ +í í
=ï ïỵ =ỵ
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 77 
Khi đó: 
2
2
2
x dxI x x a
x a
= + -
+
ị (1) 
Với 
2 2
2
2 2 2
x dx [(x a) a]dx dxJ x adx a
x a x a x a
+ -
= = = + -
+ + +
ị ị ị ị 
 2I a ln x x a C.= - + + + (2) 
Thay (2) vào (1) ta được: 
2 2 2 2x aI x x a (I aln x x a C) I x a ln x x a C.
2 2
= + - - + + + Û = + + + + + 
4.