Nguyên hàm - Tích phân 12

21) 	22) 	23) 	 24) 
25) 	26) 	27) 	28) 29) 	30) 	31) 	32) 
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 	7. 	8.
9. 	10. 	11. 	12. 
13.	14. 	15. 	16. 
17.	18. 	19. 	20. 
21.	22. 	23. 	24. 
25. 	 	26. 	27. 	28. 
29. 	30. 	31. 
32. 	33. 
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 	7. 	
8. 	9. 	10. 
11. 	12. 	13. 	14. 
15. 	16. 	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 	22. 
23. 	24. 	25. 26. 
27. 	28. 	29. 	30. 
31. 	32. 	33. 	34. 
35. 	36. 	37. 	38. 
39. 	40. 	41. 	2. 
43. 	44. 	 	45. 	 	46. 
47. 	48. 	49. 	50. 
51. 	52. 	53. 	 54. 
55. 	56. 	57. 	58. 
59. 	60. 	 	61. 	62. 
63. 	64. 	65. 
66. 	67. 	68. 
69. 	70. 	71. 	
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
	Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
	+) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t 
	+) R(x, ) §Æt x = hoÆc x = 
	+) R(x, ) §Æt t = 
	+) R(x, f(x)) = Víi ()’ = k(ax+b)
	Khi ®ã ®Æt t = , hoÆc ®Æt t = 
	+) R(x, ) §Æt x = , t 
	+) R(x, ) §Æt x = , t
	+) R Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) 
	§Æt x = tk 
Bài tập vận dụng
1. 	2. 	3. 	4. 	
5. 	6. 	7. 	8. 
9. 	10. 	11. 	12.
13. 	14. 	15. 	16. 
17. 	 18. 	19. 	20. 
21. 	 22. 	23. 	24. 
25. 	26. 27. 	28. 
29. 30. 	31. 	32. 
33. 34. 	35. 36. 
37. 	 38. 	39. 	40. 
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: 
	VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [-] tháa m·n f(x) + f(-x) = , 
TÝnh: 
	+) TÝnh 
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: = 0.
	VÝ dô: TÝnh:	
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: = 2
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: (1b>0, a)
	VÝ dô: TÝnh: 	
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: 
	VÝ dô: TÝnh	
Bµi to¸n 6: 	
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: 
	VÝ dô: TÝnh	
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1. 	2. 	3. 	
4. 	5. 	6.
7. 	8. (tana>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1. 	2. 	3.	4. 	
5. 	6. 	7. 	8. 	
9. 	10. 	11. 
12. 	13. 	14. 
5. 	16. 	 17. 18. 
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
	TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa d­íi 0x b»ng nhau
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1):	2) (H2) : 	3) (H3):
4) (H4):	5) (H5):	6) (H6):
7) (H7):	 8) (H8) : 	9) (H9): 
10) (H10): 11) 	12) 
13) 14) 	15) 
16 	17 	18) 
19. 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
21) 22) 23) 
24) 	25) 26) 
27) 	28)	29) 
30) 31) 	32) 
33) 	34) 	35) 
36) 37) 	
38)	39)	40) 
41) 	42) 	43) 
44) 45) 	46) 
47) 	48) 	49) 	
32) 	33) 	34) 
35) 	36) 	37) 38)
39)	40) (a>0) 	41) 	 42) 
43) x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®­êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
45) 
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
 Công thức:
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
	a) Trục Ox
	b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : .
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0 ; x = 1
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5) quay quanh trôc a) 0x; 
6) 	 quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7) quay quanh trôc a) 0x; 
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E): quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10) quay quanh trôc 0x;
11) quay quanh trôc 0x;
12) quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14) quay quanh trôc 0x;
15) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
ỨNG DUNG TÍCH PHÂN
A//Diện tích hình phẳng
Công thức : Din tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 là S = 
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
 a) (C): y = 3x4 – 4x2 + 5 ; Ox ; x = 1; x = 2 
 b) (C): y = x2 – x và (d): y = 4 – 4x ; Oy ; đường thẳng x = 3
 c) y = sinx ; y = cosx ; x = 0; x = p d) y = x2 – x ; Ox
	 d) y = (2 + cosx)sinx ; y = 0 ; x = p/2 ; x = 3p/2
 e)y = – x2 ; x + y + 2 = 0 f)x = y5 ; y = 0 ;x = 32 
 g) (C): y = x2 + x – 5 và (C’): y = – x2 + 3x + 7
 h)(C): y = x2 – 4x + 2 ; tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;– 1) và Oy
 i)(C): y = x3 + 3x2 – 6x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có 
 hoành độ xo= 1
 k)(C): y = – x3 + 2x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có
 hoành độ xo = 2
 l)(C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có
 hoành độ xo= – 1/2
	 m) y = , x = – 1 ,x = 1 và Ox
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 a)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2;x = 4
 b)(C): y = ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 0;x = – 1
 c)(C): y = – x2 + 2x + 3 và 2 tiếp tuyến tại 2 điểm A(0;3); B(3;0)
 d)(C): y = x2 – 2x + 2 và các tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3/2;– 1)
 e) y = ex ; y =1 ; x = 2 f) y = (x – 1)(x + 2)(x – 3) ;y = 0 
 g) x = ; y = – 2x + 3 ;Ox h) y = – và x2 + 3y = 0
3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 a) y = x2 và y = b) ax = y2 và ay = x2 ( a > 0 )
 c) y = xex , y = 0 , x = – 1, x = 2 d) y = |lnx| và y = 1
 e) y = (x – 6)2 và y = 6x – x2 f) x2 + y2 = 8 và y2 = 2x 
 g) x2 + y2 = 16 và y2 = 6x 
 4. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c có đỉnh là I(1;2)
 a)Tính b,c theo a
 b)Biết hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng y = x + 1 
 có diện tích bằng 1/6 .Tìm phương trình (P)
5.Cho (P): y = x2.Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và có hệ số góc 
 là k.Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất
6.Lập phương trình parabol (P) biết rằng (P) có đỉnh là S(1;2) và hình phẳng giới hạn bởi (P), Ox, x = – 1, x = 2 có diện tích bằng 15
7.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường (P): y = (x – 3a)2 với a > 0 , y = 0, x = 0.Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;9a2) chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau
8.Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường : y = , y = 0, x = – 1.Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm O chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau
9.Cho M là điểm tuỳ ý trên (P): y = 2x2 ,(d) là đường thẳng song song với tiếp tuyến của (P) tại M và (d) cắt (P) tại A và B. Hãy so sánh diện tích ∆MAB và diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d)
 B//Thể tích hình tròn xoay
 Công thức : Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới 
 hạn bởi : là V = 
1.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox:
 a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = p/2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = p/4
 c)y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = p/2
 d)y = ; y = 0 ; x = p/4; x = p/2 
 e)y = xex ; y = 0 ;x = 0 ; x = 1 f)y= .lnx ; y = 0 ; x =1 ; x = e
 g)y = ; y = 0 ; x = 1;x = 4 h)y = 2x ,y = – x + 3 , Ox
 i)y = x2 , y = 2 – x, Ox j)y = x2 ,y = 2 – x, Oy
 k)y = ,y = – 2x + 7 l)y = 1 – x, y = 3 – 2x – x2
2.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox:
 a)y = 3x – x2 ; y = 0 b)y = x2 ; y = 3x c)y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1
 d)y = ; y = – x + 5 e)y = 2x ; y = – x +3 ; y = 0
 g)y = x2 ; y = 2 – x ; y = 0 (phần nằm ngoài y = x2)
 h)y = x2 ;y = 10 – 3x ; y = 1 (phần nằm ngoài y = x2)
3. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(1;1) có hệ số góc k < 0 ,(d) lần lượt cắt Ox và Oy tại A và B. 
a)Tính thể tích vật thể tròn xoay do tam giác OAB tạo thành khi quay quanh Ox 
b)Tìm k để thể tích ấy nhỏ nhất 
4/I = 5/I = 6/I = 7/ I =sin2 x.cos2xdx
 8/I = (2cos2 x-3sin2 x)dx 9 / I = 
10 / I = (tgx-cotgx)2 dx 11/ I = 19/ I = dx
20/ I = dx 21/I = 22/ I = 
23/ I = 24/ I = 25/I =
26/I = 27/I = 28/I = 29/I =
30/I = 31/I = 32/I =
33/I = 49/I = 50/I =
51/I = 52/I =
53/I = 54/I = 55*/I =
56/I = 57/I = 
58/I = 59*/I = 60/I =
61/I =