Một trăm bài tập hình học lớp 9

ờng trung bình của DABC (vì M;O là trung điểm của AC;BC-gt)ÞMO//AB mà AB^AC(gt)ÞMO^AC hay MO^IC;MỴ(I)ÞMO là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O là trung điểm BCÞOI là đường trung bình của DMBCÞOI//BM hay OE//BMÞBMOE là hình bình hành.
4/C/m MN là phân giác của góc AND:
Do ABNM nội tiếp ÞMBA=MNA(cùng chắn cung AM)
 MBA=ACD(cùng chắn cung AD)
 Do MNCD nội tiếp ÞACD=MND(cùng chắn cung MD)
ÞANM=MNDÞđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 22:
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M.
C/m INCQ là hình vuông.
Chứng tỏ NQ//DB.
BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn.Xác định tâm.
Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a.
C/m MFIE nội tiếp.
1/C/m INCQ là hình vuông:
MI//AP//BN(gt)ÞMI=AP=BN
ÞNC=IQ=PD DNIC vuông ở N có ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vuông)ÞDNIC vuông cân ở N
ÞINCQ là hình vuông.
2/C/m:NQ//DB:
Do ABCD là hình vuông ÞDB^AC
Do IQCN là hình vuông ÞNQ^IC
A M D
 F
 E
 P I N
 B Q C
Hình 22
Hay NQ^ACÞNQ//DB.
3/C/m MFIN nội tiếp: Do MP^AI(tính chất hình vuông)ÞMFI=1v;MIN=1v(gt)
Þhai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MNÞMFIN nội tiếp.
Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.
4/C/m MPQN nội tiếp:
Do NQ//PMÞMNQP là hình thang có PN=MQÞMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp.
TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ=SAMIP+SMDNI+SNIQC+SPIQB
=SABCD=a2.
5/C/m MFIE nội tiếp:
Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
ÞPIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)ÞIMN=EIN
Ta lại có IMN+ENI=1vÞEIN+ENI=1vÞIEN=1v mà MFI=1vÞIEM+MFI=2v ÞFMEI nội tiếp
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 23:
 Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I.
C/m MDNE nội tiếp.
Chứng tỏ DBEN vuông cân.
C/m MF đi qua trực tâm H của DBMN.
C/m BI=BC và DIE F vuông.
C/m DFIE là tam giác vuông.
1/C/m MDNE nội tiếp.
Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)
ÞMEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông)
ÞMEN+MDN=2vÞđpcm
2/C/m BEN vuông cân:
NEB vuông(cmt)
Do CBNE nội tiếp
ÞENB=BCE(cùng chắn cung BE) mà BCE=45o(t/c hv)ÞENB=45oÞđpcm.
3/C/m MF đi qua trực tâm H của DBMN.
 Q B
 A
E
H
 M
I
 D N C
Hình 23
 Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn)
ÞBI^MN. Mà EN^BM(cmt)ÞBI và EN là hai đường cao của DBMNÞGiao điểm của EN và BI là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng.
Do H là trực tâm DBMNÞMH^BN(1)
MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)ÞMAF=MBF=45oÞMABF nội tiếp.ÞMAB+MFB=2v mà MAB=1v(gt)ÞMFB=1v hay MF^BM(2)
Từ (1)và (2)ÞM;H;F thẳng hàng.
4/C/m BI=BC: Xét 2Dvuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do MEN=MFN=1vÞMEFN nội tiếpÞNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc INB)ÞIBN=NBCÞDBCN=DBIN.ÞBC=BI
*C/m DIEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) và ECB=45o ÞEIB=45ou
 Do HIN+HFN=2vÞIHFN nội tiếpÞHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do DEBN vuông cân)ÞHIF=45o v. Từuvà vÞEIF=1v Þđpcm
5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ÞDABI cân ở B.Hai Dvuông ABM và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIÞDABM=DBIMÞABM=MBI;DABI cân ở B có BM là phân giác ÞBM là đường trung trực của QH.
*C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do EN^BM theo cmt) ÞAMEQ nội tiếpÞMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o và ENB=45o(cmt) ÞMQN=BNQ=45o ÞMQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)
Þ QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)ÞMNB=MNE+ENB=MBI+45o
ÞMNB=QBNÞMQBN là thang cân.
Bài 24:
 Cho DABC có 3 góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK.
C/m AMHK nội tiếp.
C/m JA.JH=JK.JM
Từ C kẻ tia Cx^với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC. Cmr : HKM=HCN
C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
1/C/m AMHK nội tiếp:
Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xét hai tam giác:JAM và JHK có: AJM=KJH
(đđ).Do AKHM nt ÞHAM=HKM( cùng chắn cung HM)
ÞDJAM∽DJKH
Þđpcm
3/C/m HKM=HCN
vì AKHM nội tiếp ÞHKM=HAM(cùng chắn cung HM)
 A
 J M
 K
 B H C
 I
 N
 D
Hình 24
Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH).
Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)ÞMCNH là hình chữ nhật ÞMH//CN hay MHC=HCNÞHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
 ưDo BKHI nội tiếpÞBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)
 ưDo IHND nội tiếpÞIDH=INH(cùng chắn cung IH)ÞBKI=HNI
 ưDo AKHM nội tiếpÞAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)
 ưDo HMCN nội tiếpÞMCH=MNH(cùng chắn cung MH)ÞAKM=MNH
mà BKI+AKM+MKI=2vÞHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2vÞ M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 25:
 Cho DABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của DABC cắt DE tại I.
Chứng minh D;H;E thẳng hàng.
C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này.
C?m AM^DE.
C/m AHOM là hình bình hành.
1/C/m D;H;E thẳng hàng:
Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)ÞDE là đường kínhÞ D;E;H thẳng hàng.
2/C/m BDCE nội tiếp:
DHAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H)ÞHAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)
 A
I
 E
 B H M C
 D
Hình 25
 O
ÞBDE=BCEÞHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE
ưXác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC.
3/C/m:AM^DE:
 Do M là trung điểm BCÞAM=MC=MB=ÞMAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)ÞMAC=ADE.
Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)ÞCAM+AED=1vÞAIE=1v vậy AM^ED.
4/C/m AHOM là hình bình hành:
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECDÞOM là đường trung trực của BC ÞOM^BCÞOM//AH.
Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)ÞOH^DE mà AM^DEÞAM//OHÞAHOM là hình bình hành.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 26:
 Cho DABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC.
Chứng minh AICH nội tiếp.
C/m AI=AK
C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.
C/m CE;BF là các đường cao của DABC.
Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của DHFE chính là trực tâm của DABC.
1/C/m AICH nội tiếp:
ưDo I đx với H qua ACÞAC là trung trực của HIÞAI=AH và HC=IC;AC chung ÞDAHC=DAIC(ccc)
ÞAHC=AIC mà AHC=1v(gt)ÞAIC=1v
ÞAIC+AHC=2vÞ AICH nội tiếp.
 I
 A
F
E
M
 K
 B H C
Hình 26
 2/C/m AI=AK:
Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực của KHÞAH=AKÞ AI=AK(=AH)
 3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:
DoEỴABvà ABlà trung trực của KHÞEK=EH;EA chung;AH=AKÞDAKE=DAHEÞAKE=EHA màDAKI cân ở A(theo c/m trên AK=AI) ÞAKI=AIK.ÞEHA=AIEÞ hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AEÞA;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (C) 
Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’) Þ (C) và (C’) trùng nhau vì có chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng)
4/C/m:CE;BF là đường cao của DABC.
Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có AIC=1vÞAC là đường kính.ÞAEC=1v
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của DABC.Chứng minh tương tự ta có BF là đường cao
5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của DHFE.
ÞEHM=MHF
ÞHA là pg
 EBHM ntÞ MHE=MBE(cùng chắn cungEM)
BEFC ntÞ FBE=ECF (Cùng chắn cung EF)
HMFC ntÞFCM=FMH(cùng chắn cung MF)
 C/m tương tự có EC là phân giác của DFHEÞđpcm. 
Bài 27:
 Cho DABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC.
C/m: BAC=2BKC
C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này.
Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng.
1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC)
BMC=MKC+MCK(góc ngoài DMKC)
Mà MK=MC(gt)ÞDMKC cân ở MÞMKC=MCK
ÞBMC=2BKC.
ÞBAC=2BKC.
2/C/mBCKD nội tiếp:
Ta có BAC=ADC+ACD(góc ngoài DADC) mà 
C/m DI=BI.
 D
 A
 I K
 M
 B C
Hình 27
AD=AC(gt)ÞDADC cân ở AÞADC=ACDÞBAC=2BDC
Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)ÞBDC=BKC ÞBCKD nội tiếp.
ưXác định tâm:Do AB=AC=ADÞA là trung điểm BDÞ trung tuyến CA=BDÞDBCD vuông ở C
.Do BCKD nội tiếp ÞDKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vÞBKD=1vÞDBKD vuông ở K có trung tuyến KAÞKA=BD ÞAD=AB=AC=AK ÞA là tâm đường tròn
3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;IỴ(O) ÞBI là đường kính ÞB;O;I thẳng hàng.
4/C/mBI=DI:
ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AI^DB,có A là trung điểmÞAI là đường trung trực của BDÞDIBD cân ở IÞID=BI
ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)DADC cân ở DÞACI=ADIÞBDC=ACDÞIDB=IBDÞDBID cân ở IÞđpcm. 
Bài 28:
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N.
C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
C/m NA.NB=NI.NC
DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.C/m:EF//AB.
C/m :IA2=IM.ID.
1/C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
Sđ IMB=sđcung(IB+AD)
Sđ NCD=Sđ cungDI
Mà cung IB=IAÞIMB=NCD
ÞIMB=NCD.
Ta lại có IMN+DMN=2v
ÞNCD+DMN=2vÞMNCD nộitiếp.
2/Xét 2DNBC và NAI có:
 E F
 I B
M N
 A 
— O
 D C
Hình 28
IAB=ICB(cùng chắn cung BI)
INA=BNC(đ đ)ÞDNAI∽DNCBÞđpcm.
3/C/m EF//AB:
Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF
Þhai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EFÞEDCF nội tiếp
Þ EFD=ECD(cùng chắn