Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

t αα+α−α=⇒

α+=
α+=
⇒

α=−
α=−
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b
sin1a 22
A 2)
6
2sin(22cos
2
12sin
2
322cos2sin3 ≤pi−α=α−α=α−α= (đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mãn : 712b5a ++ = 13
G.NTH
4
Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1
Đặt 

α=+
α=−
cosR1b
sinR1a với R ≥ 0 ⇔ 222 R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
=++−⇔

−α=
+α=
Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+−α++α⇔=++
⇔ R
13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5R113cosR12sinR5 ≤


+α=α+α=⇔=α+α
Từ đó ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (đpcm)
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| ≤α≤α
1. Phương pháp:
a) Nếu thấy |x| ≤ 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi
  
  
  
= ∈ −    = ∈
b) Nếu thấy |x| ≤ m ( 0m ≥ ) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi
x m khi
  
  
  
= ∈ −    = ∈
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p+ (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1.
Giải:
Đặt x = cosα với α ∈ [0, pi], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p
= p22pp2p2p
p
2
p
2 2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =

 α
+
α≤

 α
+
α
=

 α
+

 α
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:
2
2313
2
23 22 +≤−+≤− xxx
Giải:
Từ đk 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nên
Đặt x = cosα với 0 ≤ α ≤ pi ⇒ 21 x− = sinα. Khi đó ta có:
P=  2sin)2cos1(3sincos2cos321232 222 ++=+=−+ xxx
G.NTH
5
= 3
3
2sin232sin
2
12cos
2
32 +

 pi
+α=+


α+α 2323 +≤≤−⇒ A (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+
Giải:
Từ đk |a| ≤ 1 nên
Đặt a=cosα với α∈[0,pi] ⇒ α=−α=+α=− sina1;
2
cos2a1;
2
sin2a1 2
(1)⇔
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21 33 αα+≤

 α
−
ααα
+
⇔
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin 22 αα+≤

 α
+
αα
+
α

 α
−
α

 α
+
α
⇔ 1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin 22 ≤α=α−α=

 α
−
α

 α
+
α đúng ⇒ (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a(
Giải:
Từ đk |a| ≤ 1 nên:
Đặt a = cosα với α ∈ [0, pi] ⇒ 2a1− = sinα. Khi đó biến đổi S ta có:
S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α
= 2
4
3sin23cos3sin ≤

 pi
+α=α+α ⇒ (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nên.
Đặt a = sinα, b = sin β với α, β ∈ 

 pipi
−
2
;
2
Khi đó A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα =
= 2
3
)(sin2)cos(
2
3)sin(
2
12)cos(3)sin( ≤

 pi
−β+α=β+α−β+α=β+α−β+α
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
G.NTH
6
Giải:
Do a ∈ [1, 3] nên |a-2| ≤ 1 nên ta đặt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta có:
A = 13342624522424 323 ≤α=α−α=−α++α+−α+ coscoscos)cos()cos()cos(
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A = 22 3 3 2 [0, 2]a a a a− − + ≤ ∀ ∈
Giải:
Do a ∈ [0, 2] nên |a-1| ≤ 1 nên ta đặt a - 1 = cosα với α ∈ [0, pi]. Ta có:
A = α−α−=+α+−α−−α+ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22
= 2
3
sin2cos
2
3
sin
2
12cos3sin ≤

 pi
+α=



α−α=α−α (đpcm)
III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = 1
cos
1
tg
cos
1
2
2
2 −α
=α⇔
α
)k( pi+pi≠α
2
1) Phương pháp:
a) Nếu |x| ≥ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x2 −
thì đặt x =
αcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0
b) Nếu |x| ≥ m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx −
thì đặt x =
αcos
m với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1a a
a
− + ≤ ∀ ≥
Giải:
Do |a| ≥ 1 nên :
Đặt a =
αcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi đó:
A = 2
3
sin2cos3sincos)3tg(
a
31a2 ≤

 pi
+α=α+α=α+α=
+− (đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 ≤ A = 2
2
a
1a125 −− ≤ 9 1a∀ ≥
Giải:
G.NTH
7
Do |a| ≥ 1 nên:
Đặt a =
αcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi đó:
A = 2
2
a
1a125 −− = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= α−α+ 2sin6
2
)2cos1(5
= 


+α+=


α−α+
13
5
arccos2cos
2
13
2
52sin
13
122cos
13
5
2
13
2
5
⇒ - 4 = 91.
2
13
2
5
13
5
arccos2cos
2
13
2
5A)1(
2
13
2
5
=+≤


+α+=≤−+ (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: A =
ab
1b1a 22 −+− ≤ 1 ; 1a b∀ ≥
Giải:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên .
Đặt a =
αcos
1 ; b = βcos
1 với α∈ 

 pi
pi∪

 pi
2
3
,
2
;0 . Khi đó ta có:
A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 22
1a
a
2
≥
−
1a∀ >
Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a =
αcos
1 với α∈
α
=
αα
=
−
⇒

 pi
sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
;0
22
. Khi đó:
a+ 22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2
≥
α
=
αα
≥
α
+
α
=
−
(đpcm)
VD5: Chứng minh rằng 26xy31y41xy 22 ≤+−+− ; 1x y∀ ≥
Giải:
Bất đẳng thức ⇔ )(yy
y
xx
x 12631411
22
≤



+
−
+
−
Do |x|; |y| ≥ 1 nên Đặt x =
αcos
1 ; y= βcos
1 với α, β∈ 

 pi
2
,0 .
G.NTH
8
Khi đó: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26
Ta có: S ≤ sinα + cosα α+α=β+β+ cos5sin)cos)(sin34( 2222
≤ 2 2 2 2(1 5 )(sin cos ) 26 + + = ⇒ (đpcm)
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg2 =
α2cos
1
1. Phương pháp:
a) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tgα với α ∈ 

 pipi
−
2
,
2
b) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtgα với α ∈ 

 pipi
−
2
,
2
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S = 1
1
4
1
3
32
3
2
≤
+
−
+ )x(
x
x
x
Giải:
Đặt x = tgα với α ∈ 

 pipi
−
2
,
2
⇒
α
=+ cosx
11 2 , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 22
42
)a21(
a12a83
+
++
Giải:
Đặt a 2 = tgα với α 

 pipi
−∈
22
, thì ta có: A = 22
42
)tg1(
tg3tg43
α+
α+α+
= αα−α+α=
α+α
α+αα+α 22222
222
4224
cossin2)cos(sin3)sin(cos
sin3cossin4cos3
= 3 - 3
2
02
2
2sin3A
2
13
2
5
2
2sin 22
=−≤α−=≤−=⇒α
Với α = 0 ⇒ a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α =
4
pi
⇒ a = 2
1 thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22 ≤++
−+ ∀ a, b ∈ R
Giải:
G.NTH
9
Đặt a = tgα, b = tgβ. Khi đó )tg)(tg(
)tgtg)(tgtg(
)b)(a(
)ab)(ba(
β+α+
βα−β+α
=
++
−+
2222 11
1
11
1
= βα
βα−βα
βα
β+αβα
cos.cos
sin.sincos.cos
.
cos.cos
)sin(
.coscos 22
= [ ]
2
12
2
1 ≤β+α=β+αβ+α )(sin)cos()sin( (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: c,b,a
)a1)(c1(
|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
∀
++
−≥
++
−
+
++
−
Giải:
Đặt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi đó bất đẳng thức ⇔
⇔
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222 α+γ+
α−γ≥
γ+β+
γ−β
+
β+α+
β−α
⇔
αγ
α−γ
αγ≥
γβ
γ−βγβ+βα
β−αβα
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
cos.cos
)sin(
.coscos
⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤
|sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)|
≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: 0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >∀++≤+
Giải:
(1) ⇔ 1
d
b1
a
c1
ab
cd
d
b1
a
c1
11)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab ≤



+


+
+



+


+
⇔≤
++
+
++
Đặt tg2α=
a
c , tg2β=
b
d với α,β ∈ 

 pi
2
,0 ⇒ Biến đổi bất đẳng thức
⇔ 1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1 2222
22
22
22
≤βα+βα=
β+α+
βα
+
β+α+
⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 đúng ⇒ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔
b
d
a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1a
|1a|4a6
2
2
+
−+
G.NTH
10
Giải:
Đặt a = tg
2
α . Khi đó A =
1
2
tg
1
2
tg
.4
2
tg1
2
tg2
.3
1
2
tg
|1
2
tg|4
2
tg6
2
2
22
2
+
α
−
α
+
α
+
α
=
+
α
−
α
+
α
A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5
Với sinα = 1 ⇔ a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
|cos|
3
sin α
=
α thì MaxA = 5
V. Dạng 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác
1) Phương pháp:
a) Nếu


=+++
>
12
0
222 xyzzyx
z;y;x thì



===
pi
∈
∆∃
Ccosz;Bcosy;Acosx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
b) Nếu 

=++
>
xyzzyx
z;y;x 0 thì



===
pi
∈
∆∃
tgCz;tgBy;tgAx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
c) Nếu 

=++
>
1zxyzxy
0z,y;x thì









===
pi∈



===
pi
∈
∆∃
2
C
tgz;
2
B
tgy;
2
A
tgx
);0(C;B;A
gCcotz;gBcoty;gAcotx
)
2
;0(C;B;A
:ABC
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S = )zyx(3
z
1
y
1
x
1
++−++
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α ; y = tg
2
β ; z = tg
2
γ với α, β, γ ∈ 

 pi
2
,0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
α tg
2
β + tg
2
β tg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1
G.NTH
11
⇔ tg
2
α 

 γ
+
β
2
tg
2
tg = 1 -
2
tg β tg
2
γ
⇔
2
gcot
22
tg
2
tg
1
2
tg
2
tg1
2
tg
2
tg α
=

 γ
+
β
⇔
α
=γβ
−
γ
+
β
⇔ pi=γ+β+α⇔pi=γ+β+α⇔α−pi=γ+β⇔

 α
+
pi
=

 γ
+
β
2222222222
tgtg
S = )zyx(3
z
1
y
1
x
1
++−++ = cotg
2
α + cotg
2
β + cotg
2
γ -3 

 γ
+
β
+
α
2
tg
2
tg
2
tg
S = 

 γ
+
β
+
α
−

 γ
−
γ
+

 β
−
β
+

 α
−
α
222
2
222222
tgtgtgtggcottggcottggcot
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 

 γ
+
β
+
α
222
2 tgtgtg
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ ) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α ) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β )
Để ý rằng: cotgα + cotgβ = )cos()cos(
sin
sin.sin
sin
sin.sin
)sin(
β+α−β−α
γ
=βα
γ
=βα
β+α 2
2
2
≥ 0
2