Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I, Các công thức về chia hết đáng chú ý:
Nếu và thì .
Nếu và thì 
II, Các tính chất tiêu biểu của số chính phương.
Số chính phương có tận cùng là .
Số chính phương chia hết cho thì chia hết 
Tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số nguyên đó bằng 0.
Nếu 2 số nguyên có UCLN là 1 và có tích là 1 số chính phương thì mỗi số đó đều chính phương.
Số chính phương chia 3 dư 0,1. Số chính phương lẻ chia 4 hay 8 đều dư 1.
III, Các phương pháp giải PTNN:
1, Đưa về PT ước số:
VD 1: Giải PTNN sau: .
Lời giải: . Vậy . Thay vào tìm .
Lưu ý, nếu ta đưa được về dạng thì để rút bớt các TH, người ta thường đưa về khi đó với nhận xét: và cùng tính chẵn lẻ, ... ta sẽ rút bớt TH xảy ra.
2,Tách giá trị nguyên :
VD 2: Giải PTNN: .
Lời giải: 
Nên y nguyên khi . Thay vào tìm .
3,Sử dụng biệt thức Delta ().
VD 3:Giải PTNN : .
Lời giải: .
PT có nghiệm khi 
Phương pháp 1 Phân tích 
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình
...
*Phân tích thành tổng các bình phương, lập phương :
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình
....
Phương pháp 2 Nhận xét về ẩn số
1,Nếu các ẩn x,y,z,t... có vai trò như nhau thì ta có thể giả sử
hoặc ngược lại.
2, Nếu các ẩn có cấu trúc giống nhau như lũy thừa cùng bậc, các số nguyên liên tiếp thì ta sẽ khử ẩn để đưa về dạng quen thuộc hoặc PT ít ẩn hơn
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên các phương trình :
a,x+y+z=xyz
b, 5(xy+yz+xz)=4xyz
Phương pháp 3 "Kẹp" giữa 2 số bình phương, lập phương, các tích các số nguyên liên tiếp
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình sau:
Ta thấy ...
Phương pháp 4 Sử dụng phép chia hết và phép chia có dư
(còn nữa)
Bài tập (Phương pháp 4) : Tìm x,y Z
a, =304197519751995
b, =
c, =1995
d, (x,y Z+)
e, (x,y Z+)
g, (x,y Z+)
Phương pháp 5 Phương pháp xuống thang :
Ví dụ : Tìm x,y,z Z thỏa mãn
Ta thấy chỉ có x=y=z=0 thỏa mãn 
*Với phương pháp này thường cho ta bộ nghiệm bằng 0
Phương pháp 6 Phương pháp thế
Ví dụ như bài toán cho dữ kiện a+b+c=0 thì ta có thể viết a=-(b+c) ; b=-(a+c) ; c-(a+b) rồi áp dụng vào bài toán
Phương Pháp 7 : Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số có 1 số bằng 0.
Vd : ( )
=> hoặc là hoặc là 
Bài tập áp dụng :
1/ () 
2/ ()
Nên . Thay vào tìm .
Trong nhiều TH ta lại ko xét mà ta xét : PT có nghiệm nguyên khi là số chính phương.Rồi đưa về PT ước số.
VD 4: Giải PTNN:.
Lời giải: 
Xét : . Phương trình có nghiệm nguyên khi là số chính phương.Hay: 
. Đây ;là PT ước số, ta dễ tìm đựoc GT của rồi tìm .
4,Đưa về tổng các bình phương.
VD 4: Giải PTNN : .
Lời giải: 
Xét các TH rồi tìm ra x,y.
5,Sử dụng tính chất về chẵn lẻ, chia hết.
VD 5: Giải PTNN : .
Lời giải : .
lẻ, nên . Thay vào:
chẵn nên . Lại thay vào:
( vô lí vì VT là số chẵn, VP là số lẻ).
Vậy PT vô nghiệm nguyên.
6,Sử dụng dạng phân tích của liên phân số: .
VD 6: Giải PTNN: .
Lời giải: 
Vì đây là dạng phân tích duy nhất của nên 
Phương pháp 8 : Sử dụng tính chẵn lẻ: (Phương pháp này ko chắc ko cần VD )
Phương pháp 9 : Dùng cách viết dưới dạng liên phân số
VD :Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
= 
(x+y)+=5+ 
(x+y)+=5+
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên
Bài tập : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
a, =z
b, 
c, 
-Vận dụng tính chất của tập số nguyên 
-Vận dụng tính chất số nguyên tố, số vô tỉ để tìm nghiệm
Sử dụng 1 số mệnh đề sau
Với mọi số nguyên a thì +1 có ước số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên)
Cho P là số nguyên tố dạng 4k+3(k là số nguyên dương). a, b là số nguyên. Khi đó nếu +chia hết cho P thì a và b chia hết cho P