Một số gợi ý khi giải phương trình lượng giác - Laisac

MỘT SỐ GỢI Ý 
KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 LAISAC biên soạn. 
I.BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN. 
Thí dụ :Giải phương trình :cosx.cos2x.cos4x = 
8
1 . 
HD.Phương trình không có nghiệm πkx = ,nhân 2 vế phương trình cho sinx ,phương trình trở thành 
sin8x = sinx
2.
7
2
9 9
x m
x
x n
π
π π
⎡ =⎢⇒ = ⎢⎢ = +⎢⎣
 (m 9 17 , ; ,
2
hl n l h−≠ ≠ ∈] ). 
2.
2
13cos2coscos −=++ xxx ( Nhân hai vế cho )0(
2
sin ≠x ). 
3.
8
2cossincos.sin 33 =− xxxx ; 4. .(Sd ct nhân ba). xxxxx 4cos3sin.sin3cos.cos 333 =−
5. 3
3cos2coscos
3sin2sinsin =++
++
xxx
xxx ; 6. xxxxx 7cos2cos3cos.2cos25sin3 +=+ . (ct biến đổi ). 
II.ĐẶT ẨN SỐ PHỤ. 
Thí dụ 1.Giải phương trình: tgx+2sin2x=3. 
HD. Đăt t = tgx.Phương trình trở thành 03533
1
4 23
2 =−+−⇔=++ tttt
tt . 
Thí dụ 2..Giải phương trình : .sin.2
4
sin 3 xx =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − π 
HD.Phương trình viết lại: . xxxxxxx sin4coscos.sin3cos.sin3sin 3223 =−+−
Phương trình không có nghiệm thoả cosx = 0 ,chia hai vế phương trình cho cos3x ( ). 0≠
Thí dụ 3.Giải phương trình: xxx 2sin
2
3cossin1 33 =++ . 
HD.Phương trình tương đương xxxxxx cos.sin3)cos.sin1)(cos(sin1 =−++ . 
Đặt t = sinx + cosx 22)
4
sin(2 ≤≤−⇒+= tx π . 
Bài tập đề nghị:Giải các phương trình sau đây: 
1) 4sin
sin
1sin
sin
1 2
2 =+++ xxxx ; 2) 0452sin
2 2
2 =+++ tgxxtgx . 
3) sin2x + cos2x + tgx =2 ; 4) 2cos3x + sinx – 3sin2x.cosx = 0. 
5) sinx.sin2x +sin3x = 6cos3x ; 6) cos3x + sin3x = cosx –sinx . 
7) xx sin321sin2 −=− ; 8) xxx 2cos.2sin81)
4
3sin( +=+ π 
9) 1)
4
sin(22sin =−+ πxx ; 10) gxtgxxx cot)sin(cos22 33 +=+ . 
III. ĐẶT THỪA SỐ CHUNG . 
Thí dụ1.Giải phương trình :sin3x – cos3x = 1 – cotgx - cos2x. 
HD: ĐK 0sin ≠x .Phương trình tương đương 0)cossin
sin
1cos.sin1)(cos(sin =−−−+− xx
x
xxxx . 
Thí dụ 2.Giải phương trình : 3 3cos .cos .cos sin .sin .sin
2 2 2 2
x x x xx x 1
2
− = . 
HD: Biến tích thành tổng, đặt thừa số chung phương trình trở thành : 
cos2x.(cosx + sinx) –sinx.(cosx + sinx) = 0. 
Chú ý :Các số hạng chứa thừa số (sinx + cosx) là :cos2x, sin3x + cos3x; cos4x – sin4x 
cos3x –sin3x ;1+ tgx ;tgx –cotgx 
Bài tập đề nghị. Giải các phương trình sau: 
1) 1+ sinx + cosx+ sin2x + cos2x = 0; 2) cotgx+sinx 4
2
.1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xtgtgx . 
3) sin3x + cos3x = cos2x ; 4)cos2x(1 + cosx) + sin2x(1 + sinx ) = 2cos2x. 
5) (2sinx – 1 )(2sin2x + 1) = 3 – 4cos2x ; 6) cotgx + cotg2x = sin3x; 
7)
x
x
x
x
sin
13cos2
sin
13sin2 +−− ; 8) (1 – tgx)(1 + sin2x) =1 + tgx . 
IV.TỔNG HỢP.(Thông thường ta sử dụng các công thức hạ bậc,biến đổi). 
Thí dụ 1. Giải phương trình : 1)
4
(cossin 44 =++ πxx . 
HD : Hạ bậc dẫn đến phương trình tương đương sin2x + cos2x = 1. 
Thí dụ 2. Giải phương trình: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=− xxx 10
2
17sin8cos2sin 22 π . 
HD: Hạ bậc ,biến tổng thành tích đưa về phương trình :cos10x(cos6x+1) = 0. 
Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau : 
1) sin4x + cos4x = 
2
6cos1 x− ; 2) )
24
(cos2
2
cossin
2
sinsin1 22 xxxxx −=−+ π . 
3) )1(sin
2
1)
3
2(cos)
3
(cos 22 +=+++ xxx ππ ; 4) 2cos6x + sin4 x + cos2x = 0 ; 
5) cos2x +4sin4x= 8cos6x ; 6) cos4x + sin4x - 01
2
sin
2
cos2 66 =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xx 
7) cos4x + sin4x + 0
2
3)
4
3sin().
4
cos( =−−− ππ xx ;8) cos23x.cos2x – cos2x = 0 . 
9) ( ) 0
sin22
cossinsincos2 66 =−
−+
x
xxxx ; 10) 1 – tgx.tg2x = cos3x. 
V. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG MẪU MỰC. 
* ĐÁNH GIÁ HAI VẾ. 
Thí dụ 1.Giải phương trình: (cos4x –cos2x )2 = 5 + sin3x . 
HD: Vế trái: (cos4x –cos2x )2 = 4sin23x.sin22x 4≤ ; vế phải: 5 + sin3x . 4≥
Phương trình trở thành . 13sin
13sin
12sin.3sin 22 −=⇔
⎩⎨
⎧
=
=
x
x
xx
Bài tập đề nghị :Giải các phương trình sau: 
1) cos2x+cos22x+cos33x = 3 ; 2) sin2007x + cos2007 x = 1. 
3) xx 2sin2cos3 +=+ ; 4) )sin1(23cos23cos 22 xxx +=−+ . 
5.sin3x.sinx = 1 ; 6) )3sin2(2cossin xxx −=+ . 
*TỔNG BÌNH PHƯƠNG. 
Thí dụ 1.Giải phương trình :2+ sin2x –sin23x = 2cos3x . 
HD:Phương trình tương đương (cos3x – 1)2 +sin2x =1 1cos
0sin
13cos =⇒⎩⎨
⎧
=
=⇔ x
x
x
. 
Bài tập đề nghị:Giải các phương trình sau: 
1.2tg2x – 2 (sin2x+1)tgx + 1- sin2x = 0 ; 2) 0
3
sin.20072coscos 24 =+− xxx . 
3) xxxx 3sin.sin3sin
4
1sin 222 =+ ; 4) sin2x(sin2x – 2)+4cosx(cosx + 03)2 =+ . 
Lưu ý: Khi giải phương trình dạng phân thức,chứa hàm tag,cotg,căn thức ta nhớ đặt điều kiện và 
chọn nghiệm thích ứng.Tham khảo thêm tìm nghiệm trong đoạn ,khoảng cho trước và dạng phương 
trình có chứa tham số.