Một số đề Toán tổng hợp ôn thi Đại học

m với (O1) và (O2) thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF 
cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D. Đ−ờng thẳng CE và đ−ờng thẳng DF cắt nhau tại I. Chứng minh: 
1) IA vuông góc với CD. 
2) Tứ giác IEBF nội tiếp. 
3) Đ−ờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF. 
Câu V (1đ) 
Tìm số nguyên m để 2m m 23+ + là số hữu tỉ. 
Đề số 62 
(Đề thi của tỉnh Hải D−ơng năm học 2004 – 2005) 
Câu I (3đ) 
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*). 
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua: 
a) A(-1; 3) ; b) B( 2 ; -5 2 ) ; c) C(2 ; -1). 
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x – 1 tại điểm nằm trong góc vuông phần 
t− thứ IV. 
Câu II (3đ) 
Cho ph−ơng trình 2x2 – 9x + 6 = 0, gọi hai nghiệm của ph−ơng trình là x1 và x2. 
1) Không giải ph−ơng trình tính giá trị của các biểu thức: 
a) x1 + x2 ; x1x2 
b) 3 31 2x x+ 
c) 1 2x x+ . 
 37
2) Xác định ph−ơng trình bậc hai nhận 21 2x x− và 22 1x x− là nghiệm. 
Câu III (3đ) 
 Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đ−ờng tròn đ−ờng kính AB, BC. Gọi M và N thứ tự là 
tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đ−ờng tròn đ−ờng kính AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM với CN. 
1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp. 
2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đ−ờng tròn đ−ờng kính AB và BC. 
3) Kẻ đ−ờng kính MK của đ−ờng tròn đ−ờng kính AB. Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng. 
Câu IV (1đ) 
 Xác định a, b, c thoả mãn: 
( )
2
23
5x 2 a b c
x 3x 2 x 2 x 1 x 1
− = + +− + + − − . 
Đề số 63 
(Đề thi của tỉnh Hải D−ơng năm học 2004 – 2005) 
Câu I (3đ) 
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*). 
1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm: 
a) A(-1 ; 3) ; b) B ( )2; 1− ; c) C 1 ; 5
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2) Thay m = 0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị của hàm số y = x – 1. 
Câu II (3đ) 
 Cho hệ ph−ơng trình: 
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
− + =⎧⎨ + − =⎩ có nghiệm duy nhất là (x; y). 
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5. 
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 
2x 5y
x y
−
+ nhận giá trị nguyên. 
Câu III (3đ) 
Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP 
và  MNP PNQ= và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E. 
1) Chứng minh  PMI QNI= . 
2) Chứng minh tam giác MNE cân. 
3) Chứng minh: MN. PQ = NP. ME. 
Câu IV (1đ) 
Tính giá trị của biểu thức: 
A = 
5 3
4 2
x 3x 10x 12
x 7x 15
− − +
+ + với 2
x 1
x x 1 4
=+ + . 
Đề số 64 
(Đề thi của tỉnh Hải D−ơng năm học 2005 – 2006) 
Câu I (2đ) 
Cho biểu thức: 
N = 
( )2x y 4 xy x y y x
x y xy
− + −−+ ;(x, y > 0) 
 38
1) Rút gọn biểu thức N. 
2) Tìm x, y để N = 2. 2005 . 
Câu II (2đ) 
Cho ph−ơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 
1) Giải ph−ơng trình (1). 
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của ph−ơng trình (1). Tính B = x1
3 + x2
3. 
Câu III (2đ) 
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ hai 
chữ số cho nhau thì ta đ−ợc số mới bằng 
4
7
 số ban đầu. 
Câu IV (3đ) 
Cho nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính MN. Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đ−ờng tròn (P ≠ M, P ≠ N). Dựng hình 
bình hành MNQP. Từ P kẻ PI vuông góc với đ−ờng thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đ−ờng 
thẳng MQ tại K. 
1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đ−ờng tròn. 
2) Chứng minh: MP. PK = NK. PQ. 
3) Tìm vị trí của P trên nửa đ−ờng tròn sao cho NK.MQ lớn nhất. 
Câu V (1đ) 
Gọi x1, x2, x3, x4 là tất cả các nghiệm của ph−ơng trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1. Tính: x1x2x3x4. 
Đề số 65 
(Đề thi của tỉnh Hải D−ơng năm học 2005 – 2006) 
Câu I (2đ) 
Cho biểu thức: 
N = 
a a a a
1 1
a 1 a 1
⎛ ⎞⎛ ⎞+ −+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠
1) Rút gọn biểu thức N. 
2) Tìm giá trị của a để N = -2004. 
Câu II (2đ) 
1) Giải hệ ph−ơng trình : 
x 4y 6
4x 3y 5
+ =⎧⎨ − =⎩ . 
2) Tìm giá trị của k để các đ−ờng thẳng sau : 
 y = 
6 x
4
− ; y = 4x 5
3
−
 và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm. 
Câu III (2đ) 
Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đ−ợc tất cả 80 cây. Biết 
rằng số cây các bạn nam trồng đ−ợc và số cây các bạn nữ trồng đ−ợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đ−ợc 
nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của tổ. 
Câu IV (3đ) 
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đ−ờng tròn đi qua N và P. Từ M kẻ các tiếp tuyến 
MQ và MK với đ−ờng tròn (O). (Q và K là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của NP. 
1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đ−ờng tròn. 
2) Đ−ờng thẳng KI cắt đ−ờng tròn (O) tại F. Chứng minh QF song song với MP. 
3) Nối QK cắt MP tại J. Chứng minh : 
MI. MJ = MN. MP. 
Câu V (1đ) 
 Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của ph−ơng trình : y2 + 5y + 1 = 0. Tìm a và b sao cho ph−ơng trình : x2 + ax + b 
= 0 có hai nghiệm là : x1 = y1
2 + 3y2 và x2 = y2
2 + 3y1. 
 39
Đề số 66 
(Đề thi của tỉnh Hải D−ơng năm học 2006 – 2007) 
Bài 1 (3đ) 
1) Giải các ph−ơng trình sau: 
a) 4x + 3 = 0 
b) 2x - x2 = 0 
2) Giải hệ ph−ơng trình: 
2x y 3
5 y 4x
− =⎧⎨ + =⎩ . 
Bài 2 (2đ) 
1) Cho biểu thức: 
P = 
a 3 a 1 4 a 4
4 aa 2 a 2
+ − −− + −− + (a ≥ 0; a ≠ 4) 
a) Rút gọn P. 
b) Tính giá trị của P với a = 9. 
2) Cho ph−ơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). 
a) Xác định m để ph−ơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 
b) Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1
3 + x2
3 ≥ 0. 
Bài 3 (1đ) 
Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B 
về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận 
tốc lúc đi của ô tô. 
Bài 4 (3đ) 
Tứ giác ABCD nội tiếp đ−ờng tròn đ−ờng kính AD. Hai đ−ờng chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu 
vuông góc của E trên AD là F. Đ−ờng thẳng CF cắt đ−ờng tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và 
CF là N. Chứng minh: 
a) CEFD là tứ giác nội tiếp. 
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM. 
c) BE.DN = EN.BD. 
Bài 5 (1đ) 
Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức 
2
2x m
x 1
+
+ bằng 2. 
Đề số 67 
(Đề thi của tỉnh Hải D−ơng năm học 2006 – 2007) 
Bài 1 (3đ) 
1) Giải các ph−ơng trình sau: 
a) 5(x - 1) - 2 = 0 
b) x2 - 6 = 0 
2) Tìm toạ độ giao điểm của đ−ờng thẳng y = 3x - 4 với hai trục toạ độ. 
Bài 2 (2đ) 
1) Giả sử đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -
1). 
2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph−ơng trình x
2 - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để 1 2x x 5+ = . 
3) Rút gọn biểu thức: 
P = 
x 1 x 1 2
2 x 2 2 x 2 x 1
+ −− −− + − (x ≥ 0; x ≠ 1). 
Bài 3 (1đ) 
 40
Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta đ−ợc hình 
chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu. 
Bài 4 (3đ) 
Cho điểm A ở ngoài đ−ờng tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đ−ờng tròn (B, C là tiếp điểm). M là 
điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M≠ B, M≠ C). Gọi D, E, F t−ơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các 
đ−ờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 
1) Chứng minh: 
a) MECF là tứ giác nội tiếp. 
b) MF vuông góc với HK. 
2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất. 
Bài 5 (1đ) 
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có ph−ơng trình y = x2. Hãy tìm toạ độ của 
điểm M thuộc (P) để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất. 
Đề số 68 
(Đề thi của thành phố Hải Phòng năm học 2003 – 2004) 
Câu I (2đ) 
Cho hệ ph−ơng trình: 
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =⎧⎨ + =⎩ 
1) Giải hệ (1) khi a = 2. 
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. 
Câu II (2đ) 
Cho biểu thức: 
A = 
x 2 x 1 x 1
:
2x x 1 x x 1 1 x
⎛ ⎞+ −+ +⎜ ⎟⎜ ⎟− + + −⎝ ⎠
, với x > 0 và x ≠ 1. 
1) Rút gọn biểu thức A. 
2) Chứng minh rằng: 0 < A < 2. 
Câu III (2đ) 
Cho ph−ơng trình: 
 (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 
1) Giải ph−ơng trình khi m = 1. 
2) Tìm m để ph−ơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. 
Câu IV (3đ) 
Từ điểm M ở ngoài đ−ờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và một cát tuyến MCD (MC < MD) tới 
đ−ờng tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần l−ợt là giao điểm của đ−ờng thẳng AB với các đ−ờng 
thẳng MO, MD, OI. 
1) Chứng minh rằng: R2 = OE. OM = OI. OK. 
2) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đ−ờng tròn. 
3) Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh :  DEC 2.DBC= . 
Câu V (1đ) 
Cho ba số d−ơng x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 
2 2 2
3 2
14
xy yz zx x y z
+ >+ + + + . 
Đề số 69 
(Đề thi của tỉnh Bắc Giang năm học 2003 – 2004) 
Câu I (2đ) 
 41
1) Tính : ( ) ( )2 1 . 2 1+ − 
2) Giải hệ ph−ơng trình: 
x y 1
x y 5
− =⎧⎨ + =⎩ . 
Câu II (2đ) 
Cho biểu thức: 
A = 
( )2 x 2 x 1x x 1 x x 1
:
x 1x x x x
− +⎛ ⎞− +−⎜ ⎟⎜ ⎟ −− +⎝ ⎠
. 
1) Rút gọn A. 
2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. 
Câu III (2đ) 
Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi 
với vận tốc dòng n−ớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 
8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 
Câu IV (3đ) 
Cho đ−ờng tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đ−ờng tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đ−ờng kính 
BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H. Chứng 
minh: 
1)  BMD BAC= , từ đó suy ra tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp. 
2) HK song song với CD. 
3) OK. OS = R2. 
Câu V (1đ) 
Cho hai số a, b ≠ 0 thoả mãn : 
1 1 1
a b 2
+ = . 
Chứng minh rằng ph−ơng trình ẩn x sau luôn có nghiệm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. 
Đề số 70 
(Đề thi của tỉnh Thái Bình năm học 2003 – 2004) 
Câu I (2đ) 
Cho biểu thức: 
A = 
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x
⎛ ⎞+ − − − +− +⎜ ⎟− + −⎝ ⎠
. 
1) Tìm điều kiện đối với x