Một số bài toán tìm giới hạn dãy tổng

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG
A. Một số kiến thức có liên quan.
Định nghĩa 1
Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có 
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có 
Định nghĩa 2
Dãy số được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho 
Dãy số được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho 
Dãy số được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho 
Định lý 1
1) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Định lí 2
1) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới .
2) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới . 
Định lý 3
1) Nếu một dãy hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ cũng hội tụ đến a.
2) hội tụ đến a và hội tụ đến a
Định lý 4
1) Nếu và thì 
2) Nếu và thì 
B. Các bài toán.
Bài toán 1. 
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: .
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 , , vậy tăng.
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
 Giả sử thì .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý) 
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: 
Vậy .
Bài toán 2. 
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: .
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 , , vậy tăng.
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. 
 Giả sử thì .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý)
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: 
Vậy .
Bài toán 3. 
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: 
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 , , vậy tăng.
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. 
 Giả sử thì .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý)
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: .
Vậy .
Bài toán 4. 
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: .
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 Suy ra: tăng.
Tính tổng:
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
 Giả sử thì .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý)
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: 
Vậy .
Bài toán 5.
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: .
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 tăng.
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
 Giả sử thì . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý)
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: 
Vậy .
Bài toán 6.
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: .
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 tăng.
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
 1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. 
 Giả sử thì .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý)
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: 
Vậy .
Bài toán 7.
 Cho dãy số thực xác định bởi: 
 Tìm giới hạn sau: .
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Xét tính đơn điệu của : Từ hệ thức (1) ta suy ra được
 tăng.
Tính tổng:
Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:
Do là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
 Giả sử thì .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: 
 (vô lý)
2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên: 
Vì thế từ (2) ta suy ra: 
Vậy .
Bài toán 8. 
Cho dãy số thực xác định bởi: 
Tìm giới hạn sau: 
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Do đó: 
Vì nên 
Vậy .
Bài toán 9. 
Cho dãy số thực xác định bởi: 
Tìm giới hạn sau: 
Lời giải
Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: , 
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được
Do đó: 
Vì nên 
Vậy .
Bài toán 10.
Cho dãy số thực xác định bởi: 
Tìm giới hạn sau: 
Lời giải
Biến đổi ( 1)
 Vì u = 3 nên 3 = u< u<u<< u, suy ra dãy {u} tăng.
Giả sử dãy {u}bị chặn trên L: limu= L ( L > 3)
Suy ra limu= lim hay L = 
 L-3L+2 = 0L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3)
 Do đó {u} không bị chặn trên hay lim u= + hay 
Biến đổi (1) (u-1)(u-2) = 2012(u-un)
 = 2012 ( - ) (*)
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, .n, sau đó cộng vế theo vế ta được: 
 S= = 2012 ( 1- )
Vậy lim S= 2012 .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002.
[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
 Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009. 
[4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011.
[5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009.
[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010.