Một số bài toán luyện thi Cao đẳng, Đại học về hàm số

 27/ .
 28/ .
 29/ 
 .
 30/ 
 .
BÀI TẬP :
 Tìm các nguyên hàm sau:
 .
 .
 II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ:
 1/ .
 2/ .
 3/ 
 .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
BÀI TẬP:
 Tìm các nguyên hàm sau:
.
III. Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức:
 1/ .
 2/ .
 3/ .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ 
 10/ .
 11/ .
 12/ .
 13/ .
14
 .
BÀI TẬP:
 Tìm các nguyên hàm sau:
	.
IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít:
 1/ .
 2/ .
 3/ .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ .
 10/ .
 11/ .
V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần:
 1/ Các nguyên hàm dạng: , ví dụ: .
 2/ Các nguyên hàm dạng: , ví dụ: 
 3/ .
 4/ .
 5/ 
 .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ .
 10/ .
 11/ .
 12/ .
	BÀI TẬP:
 Tìm các nguyên hàm sau:
.
VI. Một số tích phân đặc biệt:
 1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn thì: .
 a/ .
 b/ .	
 2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn thì: .
 Áp dụng: 
.
 3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn thì: .	
Áp dụng:
.
 4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn thì: 
Áp dụng:
 a/ .
 b/ .
 c/ .
 5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì: .
 Áp dụng: 
 .
 VII.Một số bài toán lẻ: .
---------------- o0o ---------------
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LÔGARÍT 
I.Phương trình, bất phương trình mũ :
1/ Đưa về cùng một cơ số hoặc hai cơ số:
2/ Đặt ẩn phụ:
( chia 2 vế cho ); ;
.
 3/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
.
18/ 
 4/ Một số dạng khác:
BPT vô nghiệm vì x = 0 KTM (*).
II. Phương trình, bất phương trình lôgarít:
 1/ Đưa về 1 cơ số:
 2/ Đặt ẩn phụ:
 3/ Phương pháp mũ hóa, lôgarít hóa:
;
 4/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
f(x) đồng biến khi x > 0. Tương tự cũng đồng biến khi x > 0. Suy ra pt có nghiệm dn x = 2.
 5/ Một số Phương trình, bất phương trình khác:
III. Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít:
Gợi ý một số bài:
Bài 5: 
Bài 6: 
Bài 14: (1) có nghiệm ( 1; 4 ). Hàm số vế trái của (2) dương trên khoảng ( 1; 4 ) nên hệ có nghiệm là 
 khoảng ( 1; 4 ).
------------------ // ------------------
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:
.
g(x)&h(x) đồng biến trên f(x) đồng 
biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7.
. Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là .
II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ:
III.Biện luận PT và BPT vô tỉ:
 Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm:
 có nghiệm 
 là hs đồng biến trên đoạn
19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: 
20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất: 
PT có nghiệm duy nhất với mọi a )
21/ Xác định theo m số nghiệm của PT: 
KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm.
22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn .
23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: 
24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: 
nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và 
25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn: 
- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì 
a = 1-a 
- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.
26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 
27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: 
28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 
29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x: 
30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 
31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 
32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm: 
-------------------- // --------------------
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:
II.Hệ phương trình đối xứng loại 2:
III.Hệ phương trình đẳng cấp:
IV.Hệ phương trình vô tỉ:
( bp (1) )
V. Giải HPT bằng pp đánh giá:
VI. Một số HPT khác:
VII. Biện luận hệ phương trình:
 1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: 
Giải: Đặt S = x + y; P = xy . Để (1) có nghiệm thì . Để (1) có nghiệm ta chỉ cần đk: ( do từ pt thứ hai của hệ ).
 2/ Giải và bl hpt: 
Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: 
 a/ 
 b/ 
Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm 
 +/ : hpt có nghiệm: ;
 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 
Giải: Đặt (3). Vì với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra:
(4).
 +/ m = 1: t = 1/2 hpt có nghiệm.
 +/ (4) có .
 Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi . 
 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 	
Giải: hpt đã cho tđ với: hpt có nghiệm khi .
 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất: 
Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: thì nó cũng có nghiệm do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì 
. Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì .
 b/ đk đủ: hpt tđ với . Do pt 
 có vì
 do a > 25/4 .
 Với x = y thì hpt trở thành . Do nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất.
 6/ Giải và biện luận hpt: 
Giải: trừ các vế của hai pt ta được: 
 a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)
 b/ : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0).
MỘT SỐ BÀI TẬP: 
 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 
 2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 
 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: có nghiệm duy nhất ( m > 16 )
 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 
 5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 
 6/ Cho HPT: . Biện luận số nghiệm của HPT theo m. Khi HPT có hai nghiệm
hãy tìm GT của m để GTBT đạt GTLN ( m = 1/2 )
--------------------- // --------------------
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá.
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: ta luôn có:
 ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .
BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ta luôn có:
; dấu bằng xảy ra khi và chỉ
Khi: . BĐT: ; dấu bằng xảy ra khi 
BĐT: ; trong đó là các số dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau.
Bài 1: Cho . Chứng minh: 
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 1’: Cho . Chứng minh: .
Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ; tương tự ta cũng có: 
. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2.
Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
a = b = c =1/3.
Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ; tương tự ta cũng có:
 cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: .
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức trong đó x,y là các số dương.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
Vậy GTNN của P bằng khi y = 2x.
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: . Hãy tìm GTLN của biểu thức 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: 
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: .
Bài 8: a,b,c là các số dương. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự
ta cũng có: . Cộng các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu thì ta được BĐT: 
Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng có:
. Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng có:
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
.
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy khi x = y = ½.
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
.
Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: Chứng minh: .
Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: .
Giải: Do nên theo BĐT (I) ta có: 
. Tương tự ta cũng có: ; 
Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: . 
Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. ( Do ).
Vậy khi .
Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: .
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 
. Tương tự ta cũng có:
; .Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau:
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Chứng minh:
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi .
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: với a,b,c là các số dương.
Bài 24: Cho . Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta được:
 từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi
Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: . Chứng minh:
 .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta
được: từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu 
bằng xảy ra khi bx = ay.
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: ; x là số thực bất kì. Chứng minh:
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (III) ta có: 
 (*). Áp dụng BĐT (II) c