Một số bài Toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Phạm Kim Chung

nx 6x xs 6sinx 0, x 06− ⇒ − ) 
Do đó dãy 
n{x } giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử : nlimx a 0(a )= ≥ , ta có pt : 3 3a 6a 6sina a 6a 6sina= − ⇔ = − . Xét hàm số : 3g(t) t 6sint 6t= + − , ta có : 2g'(t) 3t 6cost 6, g''(t) 6t 6sint 0, t 0 g'(t) g(0) 0 g(t) g(0) 0≥ ∀ ≥ ⇒ ≥= = ≥− ⇒+ − == . Do đó pt có nghiệm duy 
nhất a 0= . 
22. Cho dãy (xn) được xác định bởi: x1 = 5; xn + 1 2nx = - 2 ∀ n = 1, 2,  . Tìm n 1n
1 2 n
xlim
x .x ...x
+
→+∞
23. Cho dãy 
1 n
n
1 2
n+ n
x = 3(x
x = 9x +11x + 3; n 1, 
:
N
)
n .


≥ ∈
 . Tìm n 1
n
n
xlim x→+∞ + 
HD : Chứng minh dãy ( )nx tăng và không bị chặn : Dễ thấy 
nx 0, n> ∀ , xét : 2n n 2
n
2
n n
n 1 n
n
n n
n
8x 11x 3
x x 9x +11x + 3 x 0,
9x +11x + 3
x 0x+ + +− = > ∀= + >− 
Giả sử ( )
n
2
n
a 1
lim x a a 0 a 9a 1a 3 3
a 81→+∞ +
= −
∃ = > ⇒ = ⇒
 = −

+

( Không thỏa mãn ) 
nn
lim x
→+∞
⇒ = +∞ 
Do đó : 
n n
n 1 2
n n n
x 11 3lim lim 9 3x x x→+∞ →+ +∞= + + = 
MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
21 
21 
24. Cho dãy số 
n(u ) xác định bởi công thức 1 2 2
n+1 n n
u = 2008
u = u - 4013u + 2007 ; n 1, n N.


≥ ∈
 a) Chứng minh: 
nu n + 2007; n 1, n N≥ ∀ ≥ ∈ . b) Dãy số (x n
n
1 2 n
1 1 1
x = + + ... + ; n 1, n N.
u - 2006 u - 2006 u - 2006
≥ ∈
) được xác định như sau: Tìm 
nlimx ? 
25. ( Đề thi HSG Tỉnh Trà Vinh-2009)Cho dãy số (
nU ) xác định bởi: 1 33
n 1 3 n
U 1 4
U log U 1 , n 13+
=


= + + ∀ ≥
Tìm 
n
n
limU
→+∞
26. Cho dãy số ( )n
n
0x
n n
n 1 x
x 1
): 2 l(x x 1
ln2 1
n2 1x 2+
=
+
−

−
=

 . Chứng minh dãy (xn
HD : Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới . 
) có giới hạn và tìm giới hạn đó . 
27. Cho phương trình : n n 1x x .... x 1 0−+ + + − = . Chứng tỏ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy 
nhất dương 
nx và tìm nxlim x→+∞ . 
28. Cho dãy số 
n{u } xác định bởi 1n n
n 2n
1
C n
u
u .4−
 =
=



 . . Tìm 
nlimu 
29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho phương trình: x1 x n 02008 − + = (1). Chứng minh rằng: với mỗi n 
∈ N* phương trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x n. Xét dãy (xn), tìm lim (xn + 1 - xn
Đáp án : 
). 
Với n ∈ N* x1 x n2008 − +, xét f (x) = ; x ∈ R. f/ xln20082008(x) = - - 1 < 0 ∀x ∈ R. 
=> f(x) nghịch biến trên R (1). 
Ta có: 
n
n 1
1
f(n) 02008 1
f(n 1) 1 02008 +

= >

 + = − <

=> f(x) =0 có nghiệm x n ∈ (n; n + 1) (2). Từ (1) và (2) => đpcm. 
Ta có: xn 
nx12008- n = > 0 => xn > n. 
=> 0 < xn 
n
12008- n < . 
Mặt khác: lim
n
1 02008 = => lim(xn - n) = 0. 
Khi đó lim (xn - 1 - xn) = lim{[xn + 1- (n + 1)] - (xn - n) + 1} = 1 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ . 
30. Cho dãy số ( ) 1n n 1
n
n 1
224uu : 9u
u , n 2
5u 13−−
=
−
+


− = ≥

 . Tìm 
nlimu ?= 
Giải : 
MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
22 
22 
31. Cho dãy số ( ) 1n 2
n n 1
122 uu : u u 1 , n 2−

=
= − ∀ ≥



 . Tìm n
n
ulim
n→+∞
HD : Tìm được : n 1
n
2
u cos 3−= π và chú ý : xn nu u10 lim 0n n n→+∞≤ ≤ ⇒ = 
32. Cho dãy số ( )
1
n 2
n 1
n
u
u :
2 2 1 u
u 2
12
, n 2−




− −
=
= ∀ ≥


 . Tìm n
nn
lim 2 .u
→+∞
HD : Tìm được 
n n 1
u sin 2 .6−π= suy ra : n nn n
n
n
sin
3.2
lim 2 .u lim 3 3
3.2
→+∞ →+∞
π
π π
= =
π
33. Cho dãy số ( )
1
n 1n
n 2
n 1
u
u :
u 1 1
3
u
, n
u
2−
−



 + +
=
∀ ≥

=
 . Tìm n
nn
lim 2 .u
→+∞
HD : Tìm được 
n n 1
u tan
3.2 −
π
= 
34. Cho dãy số ( )
1
n
n 1
n
n 1
23
u
, n 2
2(2n 1
u :
u
)u 1
u
−
−
=
= ∀


≥
−

+



 . Tìm inn i 1lim u→+∞ =∑ 
35. Cho dãy số : 
12
n 2 n n 1
12
u 2u N *
u
u
u , n+ +
=
=
= + ∈





 . Tìm n 1
n
n
ulim
u→+∞
+ 
HD : Tìm được ( ) ( )nn n2u 1 14 2 2=  + − −   . Suy ra : 
( ) ( )
( ) ( )
( )
n 1
n 1
n 1
n 1
x nn n
n
1
22 2 212 11 1 1u 4lim
u 2 1 1 11 14 1 11
2 122 2 2 22
+
+
→+∞ +
+
+
  − −     + − −  +      = = =
    −+ − −    −      + +−   
+

36. Cho dãy số ( )
1
n n 1
n
n 1
u
u :
u 1 3
3
3 u
, n 2
u
−
−




−
+
= ∀ ≥

=

 . Tính n
n
ulim
n→+∞
HD : 
n
n
u tan 3π= 
37. Cho dãy số 
n(u )xác định như sau : nu 2 2 2 .... 2= + + + + ( n dấu căn ) . Tính 1 nnn 2u .u ...ulim 2→+∞ 
HD : Đặt : 
n
n
n n 1
u
x x cos2 2 +π= ⇒ = và chú ý : 1 2 n 1 2 nn n
n 1
sinu .u ...u 1 2x ...x2 2 si. 2x n +
π
= =
π
MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
23 
23 
38. Cho dãy số 
1
n 2
n 1 n n n
1b 2
): 1 1b b(b b (n 1)2 4+

=

   + ≥   
+

=

 . Chứng minh dãy hội tụ và tìm 
nn
lim b
→+∞
HD : Chứng minh : 
n n n 1
1
b .cot2 2 +π= 
MATHVN.COM
Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
24 
24 
PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
1. Cho hình chóp tam giác đều có thể tích là 1. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp. 
2. Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữa AB và CD bằng α . Khoảng cách giữa AB và CD bằng d. Tính thể tích 
khối tứ diện ABCD theo a,b,d và α . 
3. Trong các tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và thể tích bằng 36. Hãy xác định tứ diện sao 
cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. 
4. Cho hình hộp ABCD.A 1B1C1D 1 . Các điểm M, N di động trên các cạnh AD và BB1 1MA NBMD NB= sao cho . Gọi I, J lần 
lượt là trung điểm các cạnh AB, C1D 1
5. Gọi O là tâm của một hình tứ diện đều . Từ một điểm M bất kì trên một mặt của tứ diện , ta hạ các đường vuông góc tới ba mặt còn lại. Giả sử K, L và N là chân các đường vuông góc nói trên. Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm tam giác KLN. 
 . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng IJ. 
6. Cho hình chóp S.ABC . Từ điểm O nằm trong tam giác ABC ta v ẽ các đường thẳng lần lượ t song song với các cạnh 
SA, SB, SC tương ứng cắt các mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại các điểm D,E,F . 
a) Chứng minh rằng : OD DE DF 1
SA SB SC
+ + = 
b) Tìm vị trí của điểm O trong tam giác ABC để thể tích của hình chóp ODEF đạt giá trị lớn nhất. 
7. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D 1 . Hãy xác định M thuộc đường chéo AC1 và điểm N thuộc đường chéo B1D 1 của mặt 
phẳng A1B1C1D 1 sao cho MN song song với A 1
8. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC . Trên các AS v à CN ta chọn các 
điểm P, Q sao cho PQ // BM . Tính độ dài PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1. 
D. 
9. Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu  0ODC 90= thì các mặt phẳng (OBD) và (OAD) 
vuông góc với nhau . 
10. Trong hình chóp tam giác đều S.ABC (đỉnh S ) độ dài các cạnh đáy bằng 6 . Độ dài đường cao SH = 15 . Qua B vẽ mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng này cắt SH tại O . Các điểm P, Q tương ứng thuộc các cạnh AS và BC sao 
cho PQ tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính bằng 
25 . Hãy tính độ dài bé nhất của đoạn PQ. 
11. Cho hình lập phương ABCD.A 1B1C1D 1 cạnh bằng a . Đường thẳng (d) đi qua D 1 và tâm O của mặt phẳng BCC 1B1 . 
Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng (d) ; M thuộc mặt phẳng (BCC1B1
12. Cho tứ diện ABPM thoả mãn các điều kiện : ) ; N thuộc mặt đáy (ABCD) . Tính giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN .   0 2AM BP; MAB ABP 90 ; 2AM.BP AB⊥ = = = . Chứng minh rằng mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với PM. 
13. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho điểm O cố địn h và một số thực a không đổi . Một hình chóp 
S.ABC thay đổi thỏa mãn : OA OB OC a; SA OA;SB OB;SC OC= = = ⊥ ⊥ ⊥ ;   0 0 0ASB 90 BSC 60 CSA; ; 120= = = . Chứng 
minh rằng : 
a. ABC∆ vuông . 
b. Khoảng cách SO không thay đổi . 
Giải : 
 a) Đặt : SO = x . 
Ta có : Các tam giác OAS, OBS, OCS vuông nên : 2 2SA SB SC ax= = −= . 
Do đó : 2 2 2 2 2AB S SB a )A 2(x= =+ − ; 2 2 2 0 2 2SC 2SA.SCAC SA os120 3(x. a )c= −=+ − ; 2 2 2 0 2 2SB SC 2SB.SBC os6C.c a )0 (x= + −=− 2 2 2AB BCAC =⇒ + hay tam giác ABC vuông tại B. 
b) Gọi M là trung điểm AC , do các tam giác SAC, OAC là các tam giác cân nên : 
SM AC
AC (SOM) AC OS
OM AC
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
 Tương tự, gọi N là trung điểm AB, ta CM được : AB SO⊥ Suy ra : SO (ABC)⊥ . Do đó mọi điểm nằm trên đường thẳng SO đều cách đều A, B, C . Suy ra SO đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp M của tam giác ABC . Trong các tam giác vuông ABC và SBO ta có hệ 
MATHVN.COM
Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  
25 
25 
 thức : 2 2 2
2 2 2
1 1 1
BM AB BC1
BM
1 1
OB BS

= + ⇒
 =

+
2 2 2 21 1OB BS1 1AB BC⇒ + = + 2 22 2 2 2 2 2 21 1 1 1 33a x a22(x x a 2x) axa a⇒ + = + =⇒ ⇒ =− − − 
14. ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a ; 
BC 2a= . Cạnh bên SA v uông góc với đáy và SA=b . Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD . 
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BMN) 
b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM . 
Tính theo a, b khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) . 
Lời giải : 
 Đặt AS x;AB y;AD z x.y y.z z.x 0;| x | b;| y | a;| z | a 2= = = ⇒ = = = = = =
  
            
Ta có : AC AD AB y z= + = +
  
  và 1BN AN AB z y2= − = −     
Do đó : 
22 2 2(ay a 0 A1 2)AC. C BNN z2 2B − = − = ⇒ ⊥=  
Lại do : 
1
MN SA MN AC2= ⇒ ⊥  
Hay : AC (BMN) AC BM⊥ ⇒ ⊥ 
 Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d) BM⊥ 
Mà do (d) v à AC đồng phẳng (d)/ /(AC)⇒ Gọi O (AC) (BD)= ∩ 
Trong mặt phẳn g (SDB) : SO cắt BM tại