Một số bài tập Giá trị lớn nhát_giá trị nhỏ nhất

MỘT SỐ BÀI TẬP
 GIÁ TRỊ LỚN NHÁT_GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Bài toán 1: Cho hai số thực thay đổi và thoả mãn điều kiện:
 . Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Đặt x=ty .Từ suy ra :.
 Do đó: ; .
 Lúc đó: . Đặt . Biến đổi thành PT bậc hai của t. Từ điều kiện để PT bậc hai đó có nghiệm ta tìm được tập giá trị của m và suy ra .
 Nhận xét: Với bài toán dạng “Cho các số thực x,y thoả mãn f(x,y)=g(x,y).Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A=p(x,y).Trong đó f(x,y) và g(x,y) đều là các biểu thức đẳng cấp đối với x,y ”, có thể giải bài toán bằng cách sau:
 + Với y=0 , ta thử trực tiếp .
 + Nếu , đặt x=ty .Thay vào giả thiết f(x,y)=g(x,y) , ta sẽ tính được x,y theo t . Biểu diễn A theo t . Từ đó tìm được tập giá trị của A .
 Bài toán 2 : Cho hai số thực thay đổi và thoả mãn điều kiện:
 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Giải: Đặt x=ty. Lúc đó đẳng thức điều kiện trở thành : .
Biểu thức 
 (Dùng phương pháp tam thức bậc hai )
 **Ta giải bài toán 1 bằng cách khác như sau:
 Cách 2: Đặt S=x+y , P=x.y. Điều kiện đối với S , P là .
 Dễ thấy: nên x+y và xy cùng dấu . Sử dụng giả thiết trên, ta có: (1)
 Mặt khác, từ giả thiết ta suy ra: (2)
 Từ (1) và (2), ta tính được 
 Giải bất phương trình , ta tìm được . Từ đó maxA=16 khi 
 ** Nhận xét: Nếu gặp bài toán dạng “ Cho x,y thoả mãn f(x,y)=0 .Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A=g(x,y)”. Ta thường đưa về:
 Tìm A để hệ PT: có nghiệm. Ta tìm được tập giá trị của A, từ đó suy ra GTLN, GTNN của A.
 Bài toán 3: Cho . Tìm GTLN, GTNN của .
 Giải : 
Xét hệ phương trình: . Ta tìm để hệ có nghiệm:
 Hệ phương trình 
 Vậy và là nghiệm của phương trình: (1)
 Do và , nên để hệ phương trình trên có nghiệm thì (1) phải có nghiệm thoả .
 Vậy .
Bài toán 4: Cho x ,y là những số dương thay đỗi và thoả mãn điều kiện: x+y=1 . Tìm GTNN của : .
 Giải: Ta có: .
 Đặt , với . Lúc đó, biểu thức P trở thành: ()
 ( Dùng đạo hàm )
Nhận xét: Bài toán 4 còn có nhiều cách giải khác , cách giải như trên là cùng phối hợp bất đẳng thức và đạo hàm. Phương pháp được tiến hành qua 2 bước như sau:
 Bước 1: Tìm điều kiện cho ẩn phụ đã đặt.
 Bước 2: Đưa biểu thức cần tìm GTLN, GTNN về thành hàm một ẩn. Sau đó dùng đạo hàm. Chúng ta cùng xét thêm một số bài toán sau:
Bài toán 5: Cho x, y thoả và x+y=1. Tìm GTNN, GTLN của: 
Giải:
 Bước 1: Ta có : .
 Bước 2:
 Đặt ,với . Lúc đó : () Dùng đạo hàm 
 Chúng ta mở rộng bài toán đối với trường hợp 3 biến:
Bài toán 6: 
Cho x, y, z là những số dương thay đỗi và thoả mãn điều kiện : 
Tìm GTNN của biểu thức : 
Giải : 
 Bước 1: Ta có : .
 Bước 2: .
 Đặt , Với . Lúc đó : () Dùng đạo hàm .
Bài toán 7: Cho . Tìm GTNN của: .
Giải : 
 Cách 1: Vì nên ta đặt ()
 Đặt 
 Do .Do đó : .
Lúc đó: ,với Dùng đạo hàm .
Nhận xét: Cách giải giải 1 dựa vào trực quan lượng giác, chúng ta sẽ xét cách 2 với những tư duy trực quan cao hơn.
 Cách 2: 
 Ta có: 
 Tương tự các bài toán trên , từ đây ta suy ra tập giá trị của f(x,y).
 Kết luận: .
 Nhận xét:Thực chất cách 2 dựa trên tính chất sau: “Nếu ta có:
, ”
 Bài toán 8: (Đại học Khối A 2003)
Cho là ba số dương và: . CMR:
Hướng dẫn: 
Đặt 
Lúc đó ta có: 
Với . 
Xét , với . . Kết luận.
Bài tập tương tự:
1)(ĐH 2004-D) Với hai số : . 
Tìm GTLN của biểu thức: 
2)(Đề dự bị ĐH 2004) Cho hai số : . 
Tìm GTNN của biểu thức: