Môn thi: Toán (chuyên) Khóa thi : 2003 - 2004

Môn thi : Toán (chuyên) 
Thời gian : 150 phút 
Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 2003 và 
thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2003. 
Bài 2 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình x3 - m(x + 2) + 8 = 0. 
1) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 
2) Khi phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3, chứng minh rằng : 
Bài 3 : (2,5 điểm) 
1) Giải phương trình : 
2) Giải hệ phương trình : 
Bài 4 : (3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O ; R) và dây cung A là một điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tia BH cắt AC tại E, tia CH cắt AB tại F. 
1) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH, D là trung điểm của đoạn thẳng BC. 
Chứng minh đường thẳng ID là đường trung trực của đoạn thẳng EF. 
2) Tính độ dài của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R. 
3) Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC sao cho 
Bài 5 : (1 điểm) 
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng :