Lý thuyết và một số bài tập về khối đa diện

nh vuông cạnh a, các cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.	ĐS. 
.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ; . Cạnh bên SB bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.	ĐS. 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = .Tính thể tích khối chóp S.ABCD	ĐS. 
. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = AC = a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD	ĐS. 
.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD.
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 	 ĐS. 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, . Cho biết góc giữa (SCD) và (SAD) có số đo là . Tính thể tích khối chóp.	ĐS: 
 Cho hình chóp S.ABCD có , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là .
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD.
ĐS: 
Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 *) H là trung điểm của AB. Chứng minh SH (ABCD) ?
 *) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ? 
*) Tìm h = SH qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB. đều 
mà Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có tam giác SAB đều nên SA = suy ra 
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 *) Xác định góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chiếucủa AD trên (BCD) ?
 *) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
*) Tìm diện tích B của BCD bằng công thức nào ? 
*) Tìm h = AH qua tam giác nào bởi công thức gì ?
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC) (BCD) AH .
 Ta có AHHDAH = AD.tan60o =
& HD = AD.cot60o =
BC = 2HD = suy ra
 V = 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cóBC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
 b. Tính thể tích khối chóp SABC.
Phân tích đề bài để dựng hình :
*) Dựng tam giác ABC và SAC dựa vào (SAC)(ABC) ? . 
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 *) Xác định góc[(SAB),(ABC)] = ? và góc[(SBC),(ABC)] = ? 
 *) So sánh tam giác SHI và SHJ cho gì ? Suy ra AH là gì của tam giác ABC ?
 *) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
 *) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? 
 *) Tìm h = SH qua các tam giác nào bởi tích chất gì ?
Lời giải:
 a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC). 
 Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SIAB, SJBC, theo giả thiết 
 Ta có: nên BH là đường phân giác của ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) HI = HJ = SH =VSABC=
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC. 	 Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs: 	
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. 	Đs: 
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC.	Đs: 
Bài 5:Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. 	Đs: 
Bài 6 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông .Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 
 	1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD . 	Đs: 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD	Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. 	Đs: 
Bài 9:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD. 	Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a,SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD . 	Đs: 
Dạng 3: Khối chóp đều 
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .
? Dựng tam giác đều ABC , từ tâm O dựng SO (ABC) . Tại sao ? 
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 *) So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC bởi tích chất nào ?
 *) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? 
*) Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
Lời giải:
 Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
 Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên 
 AO = 
.Vậy 
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 
	1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
	2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
? Dựng hình thoi ABCD và từ câu hỏi 1, dựng SO (ABCD) . Tại sao ?
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
 *) Hình thoi ABCD có nội tiếp trong đường tròn không? Suy ra gì từ giả thiết?
 *) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
 *) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ? 
*) Tìm h = SO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
Lời giải:
 Dựng SO (ABCD)
 Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = ODABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
 Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S 
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
? Dựng tam giác đều ABC ,từ tâm O dựng DO (ABC) . Tại sao ? 
Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? 
*) Tìm h = DO qua tam giác nào bởi định lí gì ?
*) Mặt phẳng (DCO)(ABC) ? Dựng MHOC suy ra điều gì ?Tính MH ?
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
 , 
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích hình chóp.
 	Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
	1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . 	Đs: SH = 
	2) Tính thể tích hình chóp SABC. 	Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. 	Đs: 
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . 
 Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. 
Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và . 
	1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. 	Đs: 
	2) Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. 
Tính thể tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chóp . 	 Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
Tính thề tích hình chóp. 	Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng .	Đs: AB = 3a 
 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. 
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 450.
 1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . 
 2) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. 
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a.
Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
Tính thể tích hình chóp. 
 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp theo a. 	ĐS. 
 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC	
	ĐS. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng .Tính thể tích khối chóp S.ABCD	ĐS. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và đáy là . Tính thể tích khối chóp theo a ?	ĐS. 
Cho hình chóp S.ABCD đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tichhs khối chóp đã cho.	ĐS: 
 Dạng 4: