Lý thuyết và các dạng bài tập điển hình về cực trị của hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Một số kĩ năng giải toán
1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị :
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)
2. Chú ý: 
Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác 
Không dùng quy tắc 2 trong trường hợp: Hàm số không có đạo hàm tại hoặc 
Nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại điểm xi ấy
Nếu hàm số có đạo hàm tại và đạt cực trị tại 
Bài tập
DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Tìm cực trị của các hàm số 
Tìm cực trị của các hàm số sau:
Tìm cực trị của các hàm số sau:
 Tìm cực trị các hàm số
Tìm cực trị các hàm số:
DẠNG 2. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị m có thoả mãn điều kiện đã nêu không 
Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Xác định m để hàm số 
 Tìm m để hàm số 
Tìm m để hàm số 
Tìm m để hàm số 
Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
Tìm m để hàm số 
Hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Cho hàm . Tìm m để hàm số có cực trị
DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Cho hàm số 
Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ, CT và các điểm cực trị cách đều trục hoành
Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời các điểm cực trị cách đều trục tung.
Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời các điểm cực trị cách đều đường thẳng d: 3x + 4y – 2 = 0 .
Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời mọi điểm thuộc đường thẳng đều cách đều hai điểm cực trị.
Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 
Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ĐTHS tiếp xúc với đường tròn .
Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng bằng hai lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng d.
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị đồng thời trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị thuộc trục Oy.
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị đồng thời trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị thuộc trục đường thẳng 
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS đối xứng nhau qua đường thẳng MN với 
CMR các điểm cực trị của ĐTHS luôn chạy trên hai đường thẳng cố định.
Tìm m để ĐTHS có cực trị tại A và B đồng thời A, B, I(-2; 6) thẳng hàng.
Tìm m để 2 điểm cực trị của ĐTHS cùng điểm I(1; 2) tạo thành một tam giác vuông cân tại I.
CMR đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của ĐTHS luôn tạo với đường thẳng một góc 
Tìm m để hàm số có cực trị tại sao cho 
Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Tìm m để hàm số có 3 cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Tìm m để hàm số có 3 cực trị là ba đỉnh của tam giác có một góc bằng 1200.
Tìm m để hàm số có 3 cực trị là ba đỉnh của tam giác đều.
Tìm m để hàm số có 3 cực trị là ba đỉnh của tam giác có diện tích bằng 
Tìm m để hàm số có 3 cực trị là ba đỉnh của tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 5.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 10.