Lý thuyết và bài tập về Đại số tổ hợp - Vũ Ngọc Vinh

riển Newton của 
121x x
 
  
 
Giải 
 Số hạng tổng quát 
k
k 12 k k 12 2k
k 1 12 12
1T C .x C .x
x
 

    
. 
Số hạng không chứa x tương ứng với 12  2k = 0  k = 6. 
Đáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: 12.11.10.9.8.76 0C .x 92412 1.2.3.4.5.6  
Ví dụ 2:(ĐH và CĐ, khối A, 2003). 
Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức Niutơn của 
n
1 5x3x
 
   
 , 
biết rằng  n 1 nC C 7 n 3n 4 n 3
     
Giải 
Ta có   (n 4)! (n 3)!n 1 nC C 7 n 3 7(n 3)n 4 n 3 (n 1)!.3! (n)!.3!
           
 (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)          
(n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42      
 3n = 36  n = 12 
Số hạng tổng quát 
12 k 5kk 36 3k1k 5 k 2T C . x C .x12 12k 1 3x
   
       
  
  . 
Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k 36 3k 82     11k = 88  k = 8. 
Đáp số:Hệ số của số hạng chứa x8 phải tìm là: 8C 49512  
 st&bs: Vũ Ngọc Vinh 7 
Ví dụ 3: 
Khai triển đa thức: 
 P(x) =  121 2x thành dạng :   120 1 2 12P x a a x a x ... a x     
 Tìm max  1 2 12a ,a ,..., a 
Giải 
Số hạng tổng quát   k k2x .kk kT C . C .2 x12 12k 1   . 
Xét hai hệ số liên tiếp kka C .212k  và 
k 1 k 1a C .212k 1
  . Giả sử ak < ak + 1  
k k 1k k 1C .2 C .212 12
   12! 12!
k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)!
.2
  
  
23k 8
3
  
Vậy a0 < a1 <  < a8. 
Tương tự như trên  a8 > a9 >  > a12. 
Vậy hệ số lớn nhất là: 8
8 8a C 2 12672012  
3) Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức. 
 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng  n, k  N* và n ≥ k ≥ 1 thì: k k 1n n 1kC nC

 
Giải 
 Thật vậy  n, k  N* và n ≥ k ≥ 1 ta có: 
k
n
n! n(n 1)!kC k
k!(n k)! (k 1)!(n k)!
 
  
= (n 1)!n
(k 1)!(n k)!

 
 = 11
k
nnC

 (đpcm) 
Lưu ý :(Đây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh đẳng thức 
tổ hợp khi chưa có công cụ đạo hàm và tích phân) 
Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997) 
 Tính tổng 6 7 8 9 10 1111 11 11 11 11 11S C C C C C C      
Giải 
 Do 6 5 7 411 11 11 11C C ,C C ,...  nên 
5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11S C C C C C C 2S C C C ...C C            (1) 
Áp dụng khai triển Niu tơn  
n
n k k
n
k 0
x 1 C .x

  với x = 1, n = 11 được 
  
11
11 k 0 1 2 10 11
11 11 11 11 11 11
k 0
1 1 C C C C ... C C

        (2) 
 Từ (1), (2) suy ra 11 102S 2 S 2 1024.    
Đáp số : 10S 2 1024  
 Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999) 
 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tính tổng : 
 st&bs: Vũ Ngọc Vinh 8 
 1 2 3 4 n 1 nS C 2.C 3.C 4.C ... ( 1) .n.Cn n n n n
       
Giải 
Cách 1: (Sử dụng kết quả ví dụ 1) 
Áp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 
0
2 1
n 1 n n 1 n 1
n
n
...
n
1C .Cn n 1
2.C .Cn n 1
( 1) n.C ( 1) .Cn n 1
  

 


 
  
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được 
0 1 2 3 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
n(C C C C ,, , ( 1) C )
n(1 1) 0
1 2 3 4 n 1 nS C 2.C 3.C 4.C ... ( 1) .n.Cn n n n n
 
    

      
  
      
Cách 2: (Sử dụng đạo hàm) 
Xét khai triển 
 n 0 1 2 2 n nn n n n(1 x) C xC x C ... x C      
 n 1 1 2 n 1 nn n nn.(1 x) C 2xC ... nx C
      
Chọn x =  1  n 1 1 2 n nn n nn.(1 1) C 2C ... ( 1) .nC
      
Vậy : S = 0 
 Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001) 
 Tính tổng sau : 0 1 2 3 nn n n n n
1 1 1 1
n 1
1S .C .C C C ... C1 2 3 4       
Giải 
Cách 1( Sử dụng kết quả ví dụ 1) 
Âp dụng kết quả ví dụ 1 ta có: 
k k 1
n n 1kC nC

  
k 1 k
n 1 n(k 1)C (n 1)C

    
k k 1
n n 1
1 1C C
k 1 n 1

 
Thay k = 0, 1, 2  , n ta có 
0 1 1 2 2 3 n n 1
n n 1 n n 1 n n 1 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1C C ; C C ; C C ; ... C C
1 n 1 2 n 1 3 n 1 n 1 n 1

          
0 1 2 3 n 1 2 3 n 1
n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
1 1 1 1 (C C C ... C )
n 1 n 1
1 (2 1)
n 1
1S .C .C C C ... C1 2 3 4

   

    
 
 

      
Vậy n 11 (2 1)
n 1
S  

 
Cách 2:(Sử dụng tích phân) 
 st&bs: Vũ Ngọc Vinh 9 
Xét khai triển 
 n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n(1 x) C xC x C x C ... x C       
1 1
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
(1 x) dx (C xC x C x C ... x C )dx         
Ta có: 
1
0
1 n 1 n 1
n
0
(1 x) 2 1(1 x) dx
n 1 n 1
    
  
n 12 1
n 1
  
 0
0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1
n n n n n
1 1 1x
n 1
1 .C .x C x C x C ... x C1 2 3 4
 
  
     
 0 1 2 3 nn n n n n
1 1 1
n 1
1.C .C C C ... C1 2 3 4      
Vậy: n 11 (2 1)
n 1
S  

 
 Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: 
7 73 2
7
6 5 4 3 22 2 2 2 2 2 10 1 2 3 4 5 6.C .C C C C C C6 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7
      
Giải 
Xét khai triển 
 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 66 6 6 6 6 6 6(2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C        
1 1
6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
0 0
(2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx          
7
2 3 4 5 6 7
6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
11 (2 x)
07
1x x x x x x(2 C x 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C )
02 3 4 5 6 7
  
     
 
7 73 2
7
6 5 4 3 22 2 2 2 2 2 10 1 2 3 4 5 6.C .C C C C C C6 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7
        
Vậy 
7 73 2
7
6 5 4 3 22 2 2 2 2 2 10 1 2 3 4 5 6.C .C C C C C C6 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7
      (đpcm) 
 st&bs: Vũ Ngọc Vinh 10
PHẦN III. BÀI TÂP T Ự L UY ỆN 
1) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người khách gồm 3 nam và 2 nữ ngồi vào một hàng 8 ghế 
nếu: 
a) họ ngồi chỗ nào cũng được? 
b) họ ngồi kề nhau? 
c) 3 nam ngồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế 
trống? 
2) Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách 
 a) vào 5 ghế xếp thành một dãy. 
 b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. 
3) Mười người muốn chụp ảnh chung. Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi 
chỗ đứng lẫn nhau. Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu để 
có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau? 
4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng ba chữ số 
này bằng 8? 
5) Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi 
nếu: 
 a) họ ngồi chỗ nào cũng được. 
 b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau. 
 c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau. 
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau biết rằng tổng ba chữ số này bằng 12? 
Một phòng khách có 3 chỗ có thể đặt tranh, ảnh hoặc tượng. Chủ nhà muốn trang trí bằng 
cách xếp đặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 
pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại. Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách? 
7) Ta muốn mời 6 người ngồi vào một dãy 6 ghế . Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: 
 a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau? 
 b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau? 
 c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau đôi một? 
8) Một bàn dài có 12 ghế, mỗi bên 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách 
gồm 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: 
a) họ ngồi chỗ nào cũng được ? 
b) nam ngồi một bên, nữ ngồi một bên ? 
c) nam nữ ngồi đối diện nhau ? 
d) nam nữ ngồi xen kẽ và đối diện nhau ? 
9) Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được lấy 
từ các số đã cho, sao cho: 
 a) Số đó chẵn 
 b) Số đó chia hết cho 5 
 c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3 
10) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được 
lấy từ các chữ số đã cho sao cho các số lẻ luôn đứng liền nhau. 
11) Cho các số : 0,1,2,3,4,5,6 
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có 
mặt 3 lần, các số khác có mặt đúng 1 lần. 
 b) Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số được lấy từ các số đã cho sao cho số 3 có 
mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần. 
12) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các 
số đã cho. Sao cho: 
 a) Luôn có mặt chữ số 5. 
 b) Số đó chia hết cho 3. 
 st&bs: Vũ Ngọc Vinh 11
 c) Không bắt đầu từ chữ số 3. 
13) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số được lấy từ các số đã 
cho sao cho: 
 a) Số đầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau. 
 b) 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối giống nhau. 
14) Cho các số: 0,1,2,3,4,5,6,7 
 a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3 có mặt 2 
lần. Các số khác có mặt một lần. 
 b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có 
mặt một vài lần. 
15) Cho các số: 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho các số chẵn 
không đứng liền nhau. 
16) Một nhóm người thành lập một công ty. Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám 
đốc,một phó giám đốc và một thủ qũy. Có 10 người hội đủ điều kiện để được chọn. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn ban điều hành? 
17) Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11m. Có bao 
nhiêu cách chọn nếu: 
 a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn) 
 b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ 
B đá quả số 4? 
18) Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. 
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 
 a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau? 
 b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau? 
 c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau? 
19) Với năm số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó số 1 có mặt hai 
lần các số còn lại mỗi số có mặt đúng một lần? 
20) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau biết rằng: 
 a) các số này chia hết cho 5? 
 b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ? 
21) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau. 
 a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ? 
 b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000