Lý thuyết Hình tọa độ trong không gian - Hình học lớp 12

LÝ THUYẾT
I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
1, Định nghĩa  Vectơ   được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với . Kí hiệu là (h.33)
Chú ý 
a) Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, đó là các vectơ khác 0 và vuông góc với mặt phẳng đó, các vectơ này cùng phương với nhau.
 b) Giả sử một điểm là một điểm thuộc mặt phẳng thì điều kiện cần và đủ để điểm   thuộc mặt phẳng   là . Như vậy  là tập hợp các điểm    sao cho . Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó.
2, Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ , nếu là hai vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên) với một mặt phẳng thì vectơ:
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Hai vectơ   gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
Vậy: Nếu   là ba điểm không thẳng hàng nằm trong mặt phẳng   thì các vectơ là một cặp vectơ chỉ phương của   và do đó   là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1, Định lí  Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương trình dạng (1) và ngược lại, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn một phương trình (1) là một mặt phẳng.
2, Định nghĩa  
Phương trình dạng
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (hay phương trình mặt phẳng ).
3, Chú ý 	
Nếu mặt phẳng   đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến thì phương trình của nó là:
               .
Nếu mặt phẳng có phương trình:                thì   là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
III. Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng
Cho mặt phẳng có phương trình:
1, Nếu , mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
2, Nếu thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tung 
Tương tự nếu trong phương trình không có chứa   (hoặc ) thì mặt phẳng tương ứng sẽ chứa hoặc song song với trục   (hoặc  ).
3, Nếu phương trình có dạng   thì mặt phẳng đó song song hoặc trùng với mặt phẳng .
4, Nếu   thì bằng cách đặt    ta đưa phương trình về dạng
Mặt phẳng đó cắt các trục   lần lượt tại các điểm
.
Bởi vậy phương trình dạng đó được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.
IV. Một số quy ước và kí hiệu
Hai bộ n số   được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số sao cho
                  hoặc
                .
Khi đó ta kí hiệu:
                  hoặc
                .
(Ta chú ý rằng nếu có một số   nào đó bằng 0 thì hiển nhiên   cũng bằng 0).
Nếu hai bộ n số   không tỉ lệ với nhau, ta viết
                .
Ví dụ Hai vectơ   cùng phương với nhau khi và chỉ khi
V. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng   có phương trình:
                (1)
                (1')
Khi đó    lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên. Ta có:
1, Hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng không cùng phương nhau, tức là:
                .
2, Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương và hai mặt phẳng đó có một điểm chung nào đó, tức là:
                .
             .
3, Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không trùng nhau. Vậy:
                .
VI. Chùm mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng   cắt nhau có phương trình:
                . 
1, Định lí  Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng trên đều có dạng:
                (1)
Ngược lại mỗi phương trình dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của   và .
2, Định nghĩa  Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước gọi là chùm mặt phẳng
VII. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ   cho đường thẳng . Ta có thể xem   là giao của hia mặt phẳng nào đó. Giả sử:
                    và   .
Khi đó điểm   thuộc   khi và chỉ khi tọa độ của nó nghiệm đúng hệ phương trình sau:
                (1).
Ngược lại, mỗi điểm có tọa độ   thỏa mãn hệ phương trình dạng (1) với điều kiện:
                (2)   đều nằm trên một đường thẳng.
Hệ phương trình (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát cua đường thẳng
VII. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng   hoàn toàn được xác định khi biết một điểm   thuộc nó và một vectơ mà đường thẳng chứa song song hoặc trùng với . Vectơ như vậy gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Điềm   nằm trên đường thẳng khi và chỉ khi vectơ   cùng phương, tức là có số   sao cho . Điều đó có nghĩa là :
                hay
Ngược lại, rõ ràng mọi điểm   thỏa mãn hệ phương trình (3) đều nằm trên một đường thẳng.
Hệ phương trình (3) với điều kiện    gọi là phương trình tham số của đường thẳng,   gọi là tham số.
VIII. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Giả sử đường thẳng   có phương trình tham số (3), trong đó đều khác 0. Bằng cách khử tham số   trong (3) ta đi đến:
                      (4)
Trong truờng hợp một trong hai số   bằng không thì ta vẫn viết phương trình (4) với quy ước : nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.
Phương trình (4) với điều kiện   được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
IX. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ   cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là:
Lấy           .
Và               lần lượt là vectơ chỉ phương của .
Ta thấy rằng hai đương thẳng trên đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ   đồng phẳng, tức là: 
1, Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và các vectơ chỉ phương của chúng không cùng phương, tức là:
2, Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi cùng phương và   không có điểm chung, tức là:
3, Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi   cùng phương, hay:
                    .
 4, Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không cùng thuộc một mặt phẳng. Vậy: .
X. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng   và mặt phẳng   lần lượt có phương trình:
Giả sử:  lần lượt có vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến: .
 .
.
XI. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ   cho một điểm   và một mặt phẳng :.
Người ta chứng minh được khoảng cách từ điểm   đến mặt phẳng là:
XII. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho là vectơ chỉ phương của .
Ta có khoảng cách từ   đến là:
XIII. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau lần lượt đi qua các điểm và có vectơ chỉ phương là .
Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng trên là:
XIV. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 
thì góc giữa hai đường thẳng trên là thỏa mãn đẳng thức sau:
                    (1).
Đặc biệt           (2)
XV. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức sau:
                    .
Đặc biệt           hoặc   .
XVI. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian cho:
Góc giữa hai mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức sau:
                    .
Đặc biệt        .
XVII. Phương trình mặt cầu
Giả sử mặt cầu   có tâm và có bán kính (h.40).
Điểm hay
                    (1)
Phương trình (1) gọi là phương trình của mặt cầu.
Đặc biệt khi , phương trình (1) trở thành:
                    .
Ngược lại, xét một phương trình dạng:
                    (2)
Có thể viết (2) dưới dạng sau:
                    (3)
Do đó (3) là phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính lần lượt là:
                    .
Phương trình (2) cũng gọi là phương trình của mặt cầu.
XVIII. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Trong không gian cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình sau:
                    .
Goi là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu lên mặt phẳng, ta có:
                    .
Ta có các trường hợp sau:
1, Nếu là một đường tròn có phương trình là:
với điều kiện:
                    .
2, Nếu              là tiếp diện của tạo 
3, Nếu            , tức là mặt phẳng không có điểm chung với mặt cầu .