Lý thuyết Hình học 11 - Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

d2 
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong hình học phẳng (nếu hai đ-ờng thẳng đó đồng phẳng) 
Cách 2. 1 2 1 2u .u 0; u ; u là các vectơ chỉ ph-ơng của các đ-ờng thẳng 
Cách 3. 
1
1 2
2
d ( )
d d
( ) d
  
 
  
 Cách 4. 
1
1 2
2
d / / ( )
d d
d ( )
 
 
  
Cách 5. Sử dụng định lý ba đ-ờng vuông góc: 
II. Chứng minh đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: d  () 
Cách 1: 
1
2
1 2
1 2
d
d
d ( )
{M}
, ( )
  

  
  
    
    
 Cách 2: 
d / /
d ( )
( )
 
  
   
 Cách 3: 
d ( )
d ( )
( ) / /( )
  
  
  
Cách 4: 
( ) ( )
( ) ( )
d ( )
d ( )
d
   
    
  
  
  
 Cách 5: 
( ) ( ) d
( ) (P) d (P)
( ) (P)
    

   
  
Cách 6: (Trục đ-ờng tròn là đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó) 
B-ớc 1. Tìm một điểm S ở đỉnh cách đều các đỉnh của đa giác đáy. Tìm một điểm H ở đáy cách đều các 
đỉnh của đa giác đáy (tâm của đa giác đáy) 
B-ớc 2. Đ-ờng thẳng qua hai điểm S và H, đó là trục của đ-ờng tròn. Trục của đ-ờng tròn vuông góc 
mặt phẳng chứa đ-ờng tròn tại tâm của nó. 
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: ()  () 
Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 Cách 2: 
d ( )
( ) ( )
d ( )
  
   
  
. 
IV. Chứng minh quan hệ song song: 
1. a // b 
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song 
Cách 2. Hai VTCP cùng ph-ơng và điểm trên đ-ờng này không thuộc đ-ờng kia 
Cách 3. a b a ba (P),b (P)    
2. d // () 
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song 
Cách 2. Gọi u là VTCP của d, lấy trong () hai vectơ a và b không cùng ph-ơng. Ta chứng minh: ba vectơ 
u , a , b đồng phẳng và điểm bất kỳ trên d không thuộc () 
Cách 3. 
d ( )
d d / / ( )
( )
  

   
  
3. (P) // (Q) 
Cách 1. Dùng các ph-ơng pháp đã biết trong ch-ơng quan hệ song song Cách 2.    (P) (Q) (P) Q)(P) a,(Q) a . 
d1  () 
d2  () 
d2  () 
2d
' là hình chiếu của d2 trên () 
d1  d2  d1  2d
' . 
Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 (094 888 111 7) 
H 2 
V. Góc: Các góc cần tính đều từ 00 đến 900 
1. Tính góc giữa hai đ-ờng thẳng: a và b 
Cách 1:    1 1 2
2
a / /
a ; b ;
b / /
 
   
 
Cách 2: Góc giữa hai đ-ờng thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai VTCP 
2. Tính góc giữa đ-ờng thẳng và mặt phẳng: d và () 
B-ớc 1. Tìm hình chiếu d’ của d trên () 
B-ớc 2.    d ; d' d;( )  
 Chú ý: Có thể góc giữa d và () đ-ợc quy về góc giữa  và () với  // d, hoặc góc giữa d và () với () // () 
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng: () và () 
Cách 1:    
a ( )
( );( ) a ;b
b ( )
  
   
  
Cách 2: cos = 
S '
S
 (Với  là góc giữa hai mặt phẳng () và (), S là diện tích đa giác H trên (), 
S’ là diện tích đa giác H’ là hình chiếu của H trên ()) 
Cách 3:    
( ) ( )
K
( );( ) a ;b
a ( ), K a, a
b ( ), K b, b
     

  
   
    
    
Chú ý 1: Để tìm điểm K ta th-ờng thực hiện nh- sau 
  Tìm đ-ờng thẳng bất kỳ d   
  d  () = {A} ; d  () = {B}. Kẻ AK   tại K    (K ; d)    BK 
 Vậy    ( );( ) AK;BK   
Chú ý 2: Nếu hai mặt phẳng chứa hai tam giác cân mà giao tuyến chứa cạnh đáy chung của hai tam 
giác cân thì chọn K làm trung điểm của cạnh đáy đó. 
VI. Tỡm thieỏt dieọn: 
1. Tỡm thieỏt dieọn qua moọt ủieồm vaứ vuoõng goực vụựi moọt ủửụứng thaỳng 
Phửụng phaựp: Tỡm 2 ủửụứng thaỳng caột nhau hoặc chéo nhau cuứng vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng ủaừ cho, 
khi ủoự maởt phaỳng caột seừ song song (hoaởc chửựa) 2 ủửụứng thaỳng aỏy. 
2. Tỡm thieỏt dieọn qua một đường thẳng và vuụng gúc với mặt phẳng 
 Cho mặt phẳng () và đường thẳng d khụng vuụng gúc (). Mặt phẳng () chứa d và vuụng gúc (). 
Phương phỏp 1: Chuyển từ bài toỏn tỡm thiết diện vuụng gúc với mặt phẳng   thành bài toỏn tỡm 
thiết diện song song với một đường thẳng, mà đường thẳng đú vuụng gúc sẵn với mặt phẳng   đó cho trong 
giả thiết tỡm thiết diện; sau đú ỏp dụng định lý giao tuyến song song và phương phỏp tỡm thiết diện suy ra yờu 
cầu bài toỏn. 
Phương phỏp 2: Từ một điểm trờn d, tỡm đường thẳng  vuụng gúc với (); thỡ () là mặt phẳng xỏc 
định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và . 
VII. Hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt. Hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ đều, hình hộp đứng, 
hình hộp chữ nhật, hình lập ph-ơng, hình chóp đều, hình chóp cụt đều. 
Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 (094 888 111 7) 
H 3 
VIII. Vectơ trong không gian: 
1. ẹũnh nghúa vaứ caực pheựp toaựn 
  ẹũnh nghúa, tớnh chaỏt và caực pheựp toaựn veà vectụ trong khoõng gian ủửụùc xaõy dửùng hoaứn toaứn tửụng tửù 
nhử trong maởt phaỳng. 
  Lửu yự: 
 + Qui taộc ba ủieồm: Cho ba ủieồm A, B, C baỏt kyứ, ta coự:  AB BC AC 
 + Qui taộc hỡnh bỡnh haứnh: Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD, ta coự:  AB AD AC 
 + Qui taộc hỡnh hoọp: Cho hỡnh hoọp ABCD.ABCD, ta coự:   AB AD AA' AC' 
 + Heõù thửực trung ủieồm ủoaùn thaỳng: Cho I laứ trung ủieồm cuỷa ủoaùn thaỳng AB, K tuyứ yự. Ta coự: 
 IA IB 0 ;  KA KB 2KI 
 + Heọ thửực troùng taõm tam giaực: Cho G laứ troùng taõm cuỷa tam giaực ABC, K tuyứ yự. Ta coự: 
      GA GB GC 0; KA KB KC 3KG 
 + Heọ thửực troùng taõm tửự dieọn: Cho G laứ troùng taõm cuỷa tửự dieọn ABCD, K tuyứ yự. Ta coự: 
        GA GB GC GD 0; KA KB KC KD 4KG 
 + ẹieàu kieọn hai vectụ cuứng phửụng:     a vaứ b cuứng phửụng (a 0) !k : b kaR . 
 + ẹieồm M chia ủoaùn thaỳng AB theo tổ soỏ k (k  1), H tuyứ yự. Ta coự: 

 

HA kHB
MA kMB; HM
1 k
. 
2. Sửù ủoàng phaỳng cuỷa ba vectụ 
  Ba vectụ ủửụùc goùi laứ ủoàng phaỳng neỏu caực giaự cuỷa chuựng cuứng song song vụựi moọt maởt phaỳng. 
  ẹieàu kieọn ủeồ ba vectụ ủoàng phaỳng: Cho ba vectụ a,b,c , trong ủoự a vaứ b khoõng cuứng phửụng. Khi 
ủoự: a,b,c ủoàng phaỳng  ! m, n  R:  c ma nb 
  Cho ba vectụ , ,a b c khoõng ủoàng phaỳng, x tuyứ yự. Khi ủoự: ! m, n, p  R:   x ma nb pc . 
3. Tớch voõ hửụựng cuỷa hai vectụ 
  Goực giửừa hai vectụ trong khoõng gian:      0 0AB u, AC v (u,v) BAC (0 BAC 180 ) 
  Tớch voõ hửụựng cuỷa hai vectụ trong khoõng gian: 
 + Cho u,v 0 . Khi ủoự: u.v u . v .cos(u,v) 
 + u v u.v 0   
 + Vụựi  u 0 hoaởc v 0 . Qui ửụực: u.v 0 . 
4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 
Để chứng minh ba điểm A, B, C phõn biệt thẳng hàng ta cú thể làm như sau: ta chứng minh hai vectơ AB, AC 
cựng phương, nghĩa là AB kAC , hoặc mọi điểm M ta chứng minh MC mMA nMB  với m n 1  . 
5. Chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng 
Để chứng minh bốn điểm thuộc một mặt phẳng ta cú thể làm như sau: 
 Chứng minh: AB,AC,AD đồng phẳng tức là AB mAC nAD  hoặc pAB mAC nAD 0   với 
2 2 2p m n 0   . 
 Hoặc chọn một điểm M nào đú rồi chứng minh MD xMA yMB zMC   với x y z 1   . 
Nguyễn Quốc Hoàn 0913 661 886 (094 888 111 7) 
H 4 
IX. Khoảng cỏch: 
1. Tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng: d(M , ()) 
Phương phỏp: 
Bước 1: Xỏc định đoạn vuụng gúc MH với   , bằng cỏch tỡm một mặt phẳng   qua M và       theo giao tuyến 
d, hạ 
  M,
MH d d MH

   Bước 2: 
MH được tớnh bằng cỏc định lý của hỡnh học sơ cấp 
Lưu ý: 
 Khoảng cỏch d(M ()) cũn được gọi là độ dài đoạn vuụng gúc trong định lý ba đường vuụng gúc 
 Sau này ta cũng cú thể tỡm MH bằng cụng thức tớnh diện tớch hay thể tớch của vật thể 
Hoặc ta cũng cú thể làm theo cỏch sau: 
Bước 1: Tỡm đường thẳng  a   
Bước 2: Tỡm đường thẳng b qua M và song song với đường thẳng a và gọi H là giao điểm của đường thẳng b và mặt 
phẳng   . Khi đú đoạn thẳng MH là đoạn thẳng cần tỡm. 
2. Khoaỷng caựch giửừa ủửụứng thaỳng vaứ maởt phaỳng song song, giửừa hai maởt phaỳng song song:  / /  ,
   / /  
Phương phỏp: d( , ()) , d(() , ()) 
Bước 1: Lấy một điểm M tựy ý trờn  hay trờn () Bước 2: Hạ  MH   MH là khoảng cỏch cần tỡm. 
Lưu ý: Ta cũng cú thể tớnh MH bằng cụng thức tớnh thể tớch. 
3. Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng: d(M , ()) 
Phương phỏp: 
Cách 1. Bước 1: Từ điểm M, hạ đường vuụng gúc MH tới đường thẳng  
 Bước 2: Độ dài  MH d M,  là khoảng cỏch cần tỡm 
Cách 2. Tỡm mặt phẳng   qua M và vuụng gúc với đường thẳng  tại H. Suy ra:  MH d M,  
Cách 3. Sử dụng định lý ba đường vuụng gúc 
Cách 4. Đụi lỳc để tớnh khoảng cỏch  d M, ta cũn dựng cụng thức tớnh diện tớch hỡnh phẳng. 
4. Khoảng cỏch hai đường thẳng song song: d(d , ()) , d //  
5. Khoảng cỏch hai đường thẳng chộo nhau: a và b chộo nhau 
 ẹửụứng thaỳng  caột caỷ a, b vaứ cuứng vuoõng goực vụựi a, b ủửụùc goùi laứ ủửụứng vuoõng goực chung cuỷa a, b 
Neỏu  caột a, b taùi I, J thỡ IJ ủửụùc goùi laứ ủoaùn vuoõng goực chung cuỷa a, b 
Phương phỏp: 
Cách 1. Sử dụng định nghĩa: 
 Chọn A a,B b  sao cho AB a;AB b 
 Tớnh độ dài đoạn AB. Suy ra  d a,b AB 
Cách 2. Sửỷ duùng maởt phaỳng song song 
 Tỡm maởt phaỳng (P) chửựa b vaứ song song vụựi a  Choùn M  a, veừ MH  (P) taùi H 
 Tửứ H veừ ủửụứng thaỳng a // a, caột b taùi B  Tửứ B veừ ủửụứng thaỳng song song MH, caột a taùi A 
 AB laứ ủoaùn vuoõng goực chung cuỷa a vaứ b Chuự yự: d(a,b) = AB = MH = d(a,(P)) 
Cách 3. Sửỷ duùng maởt phaỳng vuoõng goực 
 Tỡm maởt phaỳng (P)  a taùi O  Tỡm hỡnh chieỏu b cuỷa b treõn (P) 
 Keỷ OH  b taùi H  Tửứ H, keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi a, caột b taùi B 
 Tửứ B, keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi OH, caột a taùi A  AB laứ ủoaùn vuoõng goực chung cuỷa a vaứ b 
Chuự yự: d(a,b) = AB = OH 
Cách 4. Khoaỷng caựch giửừa hai ủửụứng thaỳng cheựo nhau baống khoaỷng caựch giửừa hai maởt phaỳng song song laàn lửụùt chửựa 
hai ủửụứng thaỳng ủoự. 
Cách 5. Trường hợp a b 
Bước 1: Tỡm maởt phaỳng (P) chửựa b vaứ vuoõng goực vụựi a taùi A. 
Bước 2: Veừ AB  b taùi B 
Bước 3: AB laứ ủoaùn vuoõng goực chung cuỷa a vaứ b 
Lưu ý: Hỡnh chiếu trong định lý 3 đường vuụng gúc là đường vuụng gúc chung. 
Chú ý: Có những bài t