Lý thuyết Giới hạn dãy số

 GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Dãy số có giới hạn 0. (định nghĩa xem SGK)
 * Chú ý : · lim(un) = 0 Û lim(÷un ç) = 0 
 · Dãy (un) không đổi với un = 0 có giới hạn 0 
 * Từ định nghĩa, ta có: lim = 0; lim = 0; lim = 0; (k Ỵ Z+) 
 * Một số định lý về dãy có giới hạn 0. 
 Định lý 1: Cho 2 dãy (un) và (vn). Nếu ÷unç£ vn "nỴ N* và limvn = 0 
 thì limun = 0 
 Định lý 2: Nếu ÷qç£ 1 Þ limqn = 0 
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:
 a. Định nghĩa: · Dãy (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(un – L) = 0. 
Ta viết: lim(un) = L hoặc limun = L hoặc = L hoặc un ® L (khi n ® + ¥). 
 Ta có: limun = L Û lim(un – L) = 0. Đặc biệt: limC = C. 
 · Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy có giới hạn hữu hạn. 
 b. Một số định lí về giơi hạn 
 Định lí 1: limun = L. Khi đó: 
 · lim÷un ç= ÷Lç = ÷limunç. · lim = = . 
 · un ³ 0 "n Ỵ N* Þ L ³ 0 và = = . 
 Định lí 2: limun = L, limvn = M, C = hằng số. Khi đó, ta có: 
 · lim(un + vn) = L + M · lim(un - vn) = L - M 
 · lim(un.vn) = L. M; lim(C.un) = C.L · lim = (M ¹ 0)
 3. Dãy số có giới hạn vô cực. (Định nghĩa: Xem SGK) 
a. Từ định nghĩa, ta có: 
 · limnk = + ¥, k Ỵ Z+ ; = + ¥ ; = + ¥. 
 · limun = - ¥ Û lim(-un) = + ¥ 
 Các dãy số có giới hạn + ¥ hay - ¥ được gọi chung là các dãy có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. 
 · Định lý: Þ 
b. Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực.
 · Chú ý: Các định lý (đã biết trong phần giới hạn hữu hạn) không áp dụng được cho các dãy số có giới hạn vô cực. 
 · Khi tìm các giới hạn vô cực, ta sử dụng các qui tắc sau: 
 Quy tắc 1: Nếu limun = ± ¥ và limvn = ± ¥ thì lim(unvn) được cho bởi bảng sau: 
limun
limvn
lim(unvn)
+ ¥
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
 Quy tắc 2: Nếu limun = ± ¥ và limvn = L ¹ 0 thì lim(unvn) được cho bởi bảng sau: 
limun
Dấu của L
lim(unvn)
+ ¥
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
 Quy tắc 3: Nếu limun = L ¹ 0, limvn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim được cho bởi bảng sau: 
Dấu của L
Dấu củavn
lim(un/vn)
+ ¥
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
+ ¥
- ¥
- ¥
+ ¥
· Giới hạn đặc biệt * Nếu un = C, C là hằng số Þ limun = C.
 * q > 1 Þ limqn = + ¥ ; ÷qç< 1 Þ limqn = 0
 * = 0; limnk = + ¥ (k Ỵ N*) 
4. Tổng của CSN lùi vô hạn 
 · CSN vô hạn (un) có công bội q mà ÷qç < 1 gọi là CSN lùi vô hạn. 
 · Tổng của CSN (lùi vô hạn): S = u1 + u2 + u3 +  = .