Luyện thi Đại học - Tổ hợp, xác suất - Vũ Ngọc Vinh

 1 1 1 1 1C C ; C C ; C C ;... C C
1 n 1 2 n 1 3 n 1 n 1 n 1

          
0 1 2 3 n 1 2 3 n 1 n 1
n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1
1 1 1 1 1(C C C ... C ) (2 1)
n 1 n 1 n 1
1S .C .C C C ... C1 2 3 4
 
           
      
Vậy n 11 (2 1)
n 1
S  

 
Cách 2:(Sử dụng tích phân) 
Xét khai triển 
 n 0 1 2 2 3 3 n nn n n n n(1 x) C xC x C x C ... x C       
1 1
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
(1 x) dx (C xC x C x C ... x C )dx         
Ta có: 
1
0
1 n 1 n 1
n
0
(1 x) 2 1(1 x) dx
n 1 n 1
    
  
n 12 1
n 1
  
 0
0 2 1 3 2 4 3 n 1 n 1
n n n n n
1 1 1x
n 1
1 .C .x C x C x C ... x C1 2 3 4
 
  
     
 0 1 2 3 nn n n n n
1 1 1
n 1
1.C .C C C ... C1 2 3 4      . Vậy 
n 11 (2 1)
n 1
S  

 
 Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau: 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN: TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
 VŨ NGỌC VINH 
9 
7 73 2
7
6 5 4 3 22 2 2 2 2 2 10 1 2 3 4 5 6.C .C C C C C C6 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7
      
Giải 
Xét khai triển 
 6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 66 6 6 6 6 6 6(2 x) 2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C        
1 1
6 6 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
0 0
(2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx          
7
2 3 4 5 6 7
6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
11 (2 x)
07
1x x x x x x(2 C x 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C )
02 3 4 5 6 7
  
     
 
7 73 2
7
6 5 4 3 22 2 2 2 2 2 10 1 2 3 4 5 6.C .C C C C C C6 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7
        
Vậy 
7 73 2
7
6 5 4 3 22 2 2 2 2 2 10 1 2 3 4 5 6.C .C C C C C C6 6 6 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7
      (đpcm) 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN: TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
 VŨ NGỌC VINH 
10 
C . BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN 
1.Cho X = 1;2;3;4;5 . Hoûi coù bao nhieâu töï nhieân coù 5 chöõ soá; 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát 
töø X . 
2. Cho X = 1;2;3;4;5 . Hoûi coù bao nhieâu töï nhieân coù 3 chöõ soáá khaùc nhau chia heát cho 3 ñöôïc 
vieát töø X .ÑS : 24 soá . 
4- Bieát toång caùc heä soá cuûa : (x2+1 ) n laø 1024 haõy tìm heä soá cuûa x12trong khai trieån treân . 
ÑS : n=10 => hs laø 210 . 
5-Cho caùc soá: 1;2;3;4;5;6 .Ta coù theå vieát caùc soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau .Hoûi : 
 a- Coù bao nhieâu soá coù maët soá 2 ? . 
 b- Coù bao nhieâu soá coù maët 2 soá 1 vaø 6 ? 
HD : a- Chöõ soá 2 coù coù 5 vò trí vaäy coù 5. 25 120A  .5= 600 soá . 
b- Soá 1vaø 6 coù 25A , xeáp 4 soá vaøo 3 vò trí coøn laïi laø 
3
4A . Vaäy coù 
2
5A .
3
4A = 480 caùch . 
6-Cho X= 1;2;3;4;5;6 .Hoûi coù bao nhieâu soá töï nhieân 6 chöõ soá khaùc nhau vaø thoaõ: Toång ba 
chöõ soá ñaàu nhoû hôn toång ba chöõ soá sau moät ñôn vò . 
HD : n = 1 2 3 4 5 6a a a a a a 
Ta coù : a1+a2+a3=a4+a5a6- 1. Maø : 1+2+3+4+5+6 = 21 . => a1+a2+a3=10 ; a4+a5+a6=11. 
Coù caùc tröôøng hôïp : 
1;3;6 vaø 2;4;5 : Coù 3! . 3! = 36 . 
1;4;5 vaø 2;3;6 : Coù 3! . 3! = 36 . 
2;3;5 vaø 1;4;6 : Coù 3! . 3! = 36 . 
Vaäy : 36 x 3 = 108 Soá . 
7- Coù 20 h.sinh coù 10 nam vaø 10 nöõ hoûi coù bao nhieâu caùch choïn 5 HS sao cho : 
 a- Coù ñuùng 2 nam sinh . ÑS 5400 . 
b- Coù ít nhaát 2 nam vaø ít nhaát 1 nöõ . 
ÑS : 5400+5400+2100= 12900 . 
8- Coù 9 vieân bi xanh . ñoù 5 ñoû 4 vaøng . Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn : 
a- 6 bi coù 2 bi ñoû . 
b- 6 bi trong ñoù bi xanh baèng bi vaøng . 
HD: a- 2 45 13. 7150C C  
 b- 3X vaø 3Ñ : 3 39 5.C C ; 2X va2Ñ 2V : 
2 2 2
9 5 4. .C C C ; 1X ,1Ñ; 2V : 
1 1 4
9 5 4. .C C C 
ÑS : 3045 
9--( D-2006) Coù 12 HS : trong doù 5 HS lôùp A; 4 HS lôùp B vaø 3 HS lôùp C . Caàn 4 HS ñi tröïc 
sao cho 4 HS naày khoâng quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù maáy caùch choïn . 
HD : Soá caùch choïn 4 HS : 412C . 
* 1A,1b;2C : 1 1 25 4 3. .C C C =60 
* 1A,2b;1C : 1 2 15 4 3. . 90C C C  
* 2A,1b;2C : 2 1 25 4 3. . 120C C C  
ÑS : 412C - ( 60+90+120) = 495-270=225 
10- Tìm soá haïng khoâng chöùa X trong caùc khai trieån : 
12 3 18 2 15
3
1 1 1( ) ; ( ) ; ( )x x x
x x x
   
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN: TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
 VŨ NGỌC VINH 
11 
11- Cho hsoá cuûa soá haïng thöù ba trong : 
 ( x- 1
3
 )n laø 3 . Tìm soá haïng ñöùng giöõa . 
12-Tìm caùc soá haïng laø soá nguyeân trong khai trieån : 93( 3 2) 
ÑS : k=3 : 4536; K= 9 : 8 
13- Cho khai trieån : 
3
2.
n
xx x
x
 
   
. Bieát :Heä soá cuûa soá haïng thứ 3 laø 36 Tìm soá haïng thöù 7 . 
14- Cho ( 3
3
x
x
 ) 12 . Tìm heä soá soá chöùa x4. 
15- Giaûi bptrình : 3 22 9nn nA C n
  . HD : ÑK n>= 3; Bpt  2 4 3; 4n n n      
16- Trong khai trieån: 1
n
x
x
   
coù heä soá cuûa soá haïng thö ùba lôùn hôn heä soá cuûa soá haïng thứ hai 
laø 35 . Tính soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån treân . ÑS k= 5 ; 510 252C  
17- Cho ña thöùc : P(x) = (1+x)9+(1+x)10+.+ ( 1+x)14 khai trieån ruùt goïn ña thöùc : 
 P(x) = a0+a1x +a2x2+.+ a14x14. Haõy tìm : a9 = ? ÑS : 3003 . 
18- Tính giaù trò : 
0 1 2 6 0 1 2 2 5 5
1 6 6 6 6 2 5 5 5 5* ... ; * 2 2 ... 2S C C C C S C C C C        
ÑS : S1 = 26 = 64. ; S2 = 35 = 243 . 
1 2 2 3 3
3* 1 2 2 2 ... ( 1) 2
n n n
n n nS C C C C       
Khai trieån ; (1-x)n 
Choïn : x = 2 => S3 = (-1) n . 
19-CMR : 
1 2 3 12 3 ... .2n nn n n nC C C nC n
   
HD 0 1 2 2 3 3(1 ) ...n n nn n n n nx C C x C x C x C x      
Laáy ñhaøm hai veá ta coù : choïn x = 1 .=> ñpcm. 
20- CMñ thöùc : 
2
2 3 1 1
0 1 22 2 2 3 1....
2 3 1 1
n n
n
n n n nC C C Cn n
      
 
HD: 
Xeùt : 
2
0
(1 )nI x dx  =
1
2
0
(1 )
1
nx
n


=
13 1
1
n
n
 

 (1 ) 
Maø
0 1 2 2 3 1 2
0
1 1 1( . . . )
2 3 1
n n
n n n nI C x C x C x C xn
    

2 3 1
0 1 22 2 22 ...
2 3 1
n
n
n n n nI C C C Cn

    

 (2) 
Töø (1) vaø (2) : ñpcm . 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN: TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
 VŨ NGỌC VINH 
12 
21- Tính : 
1
0
(1 )nI x dx  vaø tính 
 Toång S = 0 1 21 1 1....
2 3 1
n
n n n nC C C Cn
   

HD : 
1
0
(1 )nI x dx  = 
1 1
1
0
(1 ) 2 1
1 1
n nx
n n
  
 
11 2 1
0 1 0 1
0 0
( ... ) ...
2 1
n
n n
n n n n n n
x xI C Cx C dx C x C C
n
          
  0 1 21 1 1....
2 3 1
n
n n n nC C C Cn
   

=> S = 
12 1
1
n
n
 

22 - CMR
1 2 2 1 11 4 4 ... 4 4 5n n n nn n nC C C
      
HD : Khai trieån : ( 1+x ) n thay x= 4 => ñpcm. 
23-CMR:
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C   
HD: Khai trieån : ( 3x-1)16 choïn x = 1 .=>ñpcm. 
24-- Tìm x ; y thuoäc N* : 
1 1
1
6 5 2
y y y
x x xC C C
 
   
ĐS: X=8 ; y = 3 
25- CmR : 
1 2 3 12 3 ... 2n nn n n nC C C nC n
   
HD: Xeùt : (1+x) n khai trieån 
- Laáy ñaïo haøm 2 veá . Choïn x = 1 =>ñpcm . 
26-Trong khai trieån : 
28
3 15
n
x x x
 
 
 
. Haõy tìm soá haïng khoâng chöùa x . Bieát 
1 2 79n n nn n nC C C
    
HD:K=5 => 512 792C  
27-- Tính tích phaân : 
1
2 3
0
1
0 1 2
(1 )
1 1 1 1 2 1: ...
3 6 9 3 3 3( 1)
n
n
n
n n n n
I x x dx
CMR C C C C
n n

 
    
 

Giaûi : 
-Ñoåi bieán soá : u= 1+x3 ta coù :
12 1
3( 1)
n
I
n
 

- Maët khaùc ta coù : 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN: TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
 VŨ NGỌC VINH 
13 
- 
3 0 2 3 3 6 3(1 ) ...n n nn n n nx C C x C x C x     
Nhaân hai veá cho x2 . Laáy tphaân hai veá . 
Tìm nghueân haøm theá caä töø 0->1 Ta ñöôïc veá traùi . 
28-( A-2002) Cho khai trieån : 
1
322 2
nxx  
 
 
. Bieát : 
1 15n nC C vaø soá haïng thöù tö baèng 20. 
Haõy tìm n vaø x ? 
ÑS : n = 7 vaø x= 4 . 
29-( D-2002) Tìm n soá nguyeân döông : 
0 1 32 4 ... 2 243n nn n n nC C C C    
ÑS : Xeùt (1+x ) n vaø choïn x= 2 => n= 5. 
30-CMR: 
17 0 16 1 2 15 2 17 17 17
17 17 17 173 4.3 4 .3 ... 4 . 7C C C C    
- Xeùt : ( 3x+4) n chonï x = 3 .=> ñpcm. 
31- ( A- 2003 ) Tìm hsoá cuûa x8 trong khai trieån 
5
3
1 nx
x
   
Bieát : 14 3 7( 3)
n n
n nC C n

    
HD : K= 4 => 412 495C  . 
32- ( B-2003 ) Cho n ng döông tính Toång : 
2 3 1
0 1 22 1 2 1 2 1..
2 3 1
n
n
n n n nS C C C Cn
      

Xeùt : (1+x) n Khai trieån tính tp hai veá ta coù : 
1 13 2
1
N n
s
n
 

33-(A-2004) Tìm heä soá cuûa x 8 tromg khai trieån : 
[1+x2( 1-x)]8 
Hd : Soá haïng chöùa x 8 soá haïng thứ 4 vaø thöù 5: 
3 6 3 4 8 4
8 8
3 4
8 8
(1 ) ; (1 )
: 3 238.
C x x C x x
DS C C
 
 
25- (D- 2004) Tìm soá haïng khoâng chöùa x : 
7
3
4
1x
x
   
 Vôùi x > 0 . ÑS : k= 4 => 35 . 
34- ( B- 2004) 
Thaáy giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau : Coù 5 caâu khoù ;10 caâu tb ; 15 caâu deã . Hoûi töø 30 caâu hoõi 
treân laäp ñöôïc bao nhieâu ñeà kt sao cho moãi ñeà coù 5 caâu hoûi khaùc nhau trong ñoù moãi ñeà nhaát 
thieát phaûi coù 3 loaïi caâu hoûi : khoù ; tb ; deã vaø caâu deã khoâng ít hôn hai . 
Giaûi : Coù ba THôïp : 
- 2deã + 1TB + 2 khoù : 10500. 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHẦN: TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
 VŨ NGỌC VINH 
14 
- 2d + 2 TB + 1 kh : 23625 . 
- 3d + 1TB + 1 kh : 22750 
 Toång : 56.875 . 
35- ( A- 2005 ) Tìm soá nguyeân döông n sao cho : 
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005.
n n
n n n n nC C C C n C

          
HD : 
Xeùt : ( 1-x) 2n+1 Khai trieån, laáy ñaïo haøm hai veá 
 Choïn x = 2 ñöôïc : ( 2n+1) = 2005  n = 1002 36-( D.2005) Tính giaù trò bieåu thöùc : 
4 4
1 3
( 1)!
n nA AM
n
 

 . Bieát raèng : 
2 2 2 2
1 2 3 42 2 149n n n nC C C C      
HD :Giaûi pt : n= 5 n=-9 L 
 M= ¾ 
37- ( CÑ- 05) Cho ( 1-x)n +x(1+x) n-1=Px 
 Khai trieån Px= a0+a1x+a2x2+.+ anxn . 
Bieát : a0+a1+a2++an = 512 . Tìm a 3=? 
HD : Töø ñeà baøi : Cho x=1 thì: 
 2n-1= a0+a1+a2++an = 512=29n=10 
 ( 1-x)10 +x(1+x) 9=> a 3= 2 39 10 84C C   
38- Coù18 HS : trong ñoù coù 7 HS k12 ; 6 HS kh11 ; 5 HS k10 . Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn 8 
HS döï traïi heø sao cho moãi khoái coù 1 HS 
HD : 
Soá caùch choïn 8 HS : 818C 
Vaäy : ÑS 8 8 8 818 13 12 11( ) 41811C C C C Ca