Luyện thi Đại học môn Toán (tổ hợp)

số, số cách lấy 4 6 C 
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4! 
ð Số con số tìm được ở TH2 là 5.3!. 4 6 C .4! = 10800 số 
Số con số thỏa yêu cầu bài toán là 11520 + 10800 = 22320 số 
7) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật 
lý, 3 cuốn sách Hóa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em 
một cuốn và sau khi tặng sách xong, ba thể loại Toán, Lý, Hóa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có 
tất cả bao nhiêu cách tặng? 
· Công việc 1 : Lấy tùy ý 6 quyển từ 12 quyển. Số cách lấy 6 12 C = 924 
· Công việc 2 : Tìm số cách lấy vi phạm 
Ø Lấy hết 5 quyển Toán, 1 quyển Lý, Hóa. Số cách lấy 5 1 5 7 C C 
Ø Lấy hết 4 quyển Lý, 2 quyển Toán, Hóa. Số cách lấy 4 2 4 8 C C 
Ø Lấy hết 3 quyển Hóa, 3 quyển Toán, Lý. Số cách lấy 3 3 3 9 C C 
ð Số cách lấy vi phạm : 5 1 5 7 C C + 
4 2 
4 8 C C + 
3 3 
3 9 C C = 119 
Số cách lấy thỏa ycbt là 924 – 119 = 805 cách 
Sau đó phát 6 quyển cho 6 học sinh, có 6! cách phát
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy 5 
Tóm lại : Có 805.6! = 579600 cách làm thỏa ycbt 
8) Một người có 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi đen. Yêu cầu cần lấy ra 7 bi đủ 3 màu. Hỏi số cách lấy 
· Công việc 1 : Lấy tùy ý 7 bi từ 16 bi, số cách lấy 7 16 C = 11440 
· Công việc 2 : Tìm số cách lấy vi phạm 
Ø Không lấy bi xanh, lấy 7 bi từ 9 bi đỏ, đen, số cách lấy 7 9 C 
Ø Không lấy bi đỏ, lấy 7 bi từ 11 bi xanh, đen, số cách lấy 7 11 C 
Ø Không lấy bi đen, lấy 7 bi từ 12 bi xanh, đỏ, số cách lấy 7 12 C 
Trong quá trình đếm, khi lấy 7 bi xanh được đếm cả ở TH2 và TH3 ở công việc 2 nên số cách lấy vi 
phạm là 7 9 C + 
7 
11 C + 
7 
12 C - 1 = 1157 cách 
Tóm lại: Số cách lấy thỏa ycbt là 11440 – 1157 = 10283 cách 
9) Cho một đa giác đều có 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn. Tìm n biết số hình chữ nhật vẽ được là 
36. 
· Vì đa giác đều có 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn nên có n đường kính 
· Muốn có 1 hình chữ nhật ta lấy 2 đường kính từ n đường kính, số hình chữ nhật tạo được là 2 n C 
Ta có é Û Û Û ê 
ë 
2 
n 
n = 9 (nhận) n! C = 36 = 36 n(n -1) = 72 
2!(n - 2)! n = -8 (loại) 
10) Cho một đa giác đều có 20 cạnh. Hỏi 
a) Có bao nhiêu tam giác vẽ được từ các đỉnh 
Muốn có 1 tam giác ta phải lấy 3 đỉnh từ 20 đỉnh. Vậy số tam giác có được là 3 20 C = 1140 
b) Có bao nhiêu tam giác mà có 2 cạnh là cạnh của đa giác 
Lấy 1 cạnh của đa giác vẽ được 2 D thỏa yêu cầu 
Lấy 20 cạnh của đa giác vẽ được 40 D thỏa yêu cầu 
Tuy nhiên trong quá trình đếm, 1 tam giác bị đếm đến 2 lần nên số tam giác thực sự còn 20 
c) Có bao nhiêu tam giác mà chỉ có 1 cạnh là cạnh đa giác 
Lấy 1 cạnh của đa giác vẽ được 16 D thỏa yêu cầu 
Lấy 20 cạnh của đa giác vẽ được 320 D thỏa yêu cầu 
d) Có bao nhiêu tam giác mà không có cạnh nào là cạnh đa giác 
Số D có được = 1140 – ( 20 + 320) = 800 tam giác 
11) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và £ 46800 
Số đó được biểu diễn qua 5 ô : ¨¨¨¨¨ 
· TH1 : Ô thứ 1 lấy số 1, 2, 3 
Ø Ô thứ 1 có 3 cách chọn 
Ø Lấy 4 số từ 9 số, số cách lấy 4 9 C 
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, có 4! cách xếp 
ð Số con số tìm được ở TH1 là 3. 4 9 C .4! = 9072 số 
· TH2 : Ô thứ 1 lấy số 4, ô thứ 2 lấy số < 6 
Ø Ô thứ 2 có 5 cách chọn số 
Ø Lấy thêm 3 số từ 8 số, số cách lấy 3 8 C 
Ø Xếp 3 số vừa lấy vào 3 ô, số cách xếp 3! 
ð Số con số tìm được ở TH2 là 5. 3 8 C .3! = 1680 số 
· TH3 : Ô thứ 1 lấy số 4, ô thứ 2 lấy số 6, ô thứ 3 lấy số < 8
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy 6 
Ø Khi đó ô thứ 3 có 6 cách chọn số 
Ø Ô thứ 4 có 7 cách chọn số 
Ø Ô thứ 5 có 6 cách chọn số 
ð Số con số tìm được ở TH3 là 6.7.6 = 252 số 
Số con số thỏa ycbt là 9072 + 1680 + 252 = 11004 số 
12) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau mà không có mặt đồng thời số 0 và số 1 
Số đó được biểu diễn qua 7 ô : ¨¨¨¨¨¨¨ 
· Công việc 1 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau 
Ø Ô thứ 1 có 9 cách chọn 
Ø Lấy thêm 6 số từ 9 số, số cách lấy 6 9 C 
Ø Xếp 6 số vừa lấy vào 6 ô, số cách xếp 6! 
ð Số con số tìm được ở CV1 là 9. 6 9 C .6! = 544320 số 
· Công việc 2 : Tìm số con số vi phạm yêu cầu, nghĩa là số đó có mặt đồng thời số 0 và số 1 
Ø Đưa số 0 vào ô, có 6 cách đưa 
Ø Đưa số 1 vào ô, có 6 cách đưa 
Ø Lấy thêm 5 số từ 8 số, số cách lấy 5 8 C 
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5! 
ð Số con số tìm được ở CV2 là 6.6. 5 8 C .5! = 241920 
Số con số thỏa ycbt là 544320 – 241920 = 302400 số 
13) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và số 2, 2 số đó không 
đứng cạnh nhau. 
& CV1 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và 2. 
Số đó được biểu diễn qua 7 ô : ¨¨¨¨¨¨¨ 
· TH1 : Có mặt số 1, 2 và có mặt số 0 
Ø Đưa số 0 vào ô, có 6 cách đưa 
Ø Đưa số 1 vào ô, có 6 cách đưa 
Ø Đưa số 2 vào ô, có 5 cách đưa 
Ø Lấy thêm 4 số từ 7 số, số cách lấy 4 7 C 
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4! 
ð Số con số tìm được ở TH1 là 6.6.5. 4 7 C .4! = 151200 số 
· TH2 : Có mặt số 1, 2 và không có mặt số 0 
Ø Đưa số 1 vào ô, có 7 cách đưa 
Ø Đưa số 2 vào ô, có 6 cách đưa 
Ø Lấy thêm 5 số từ 7 số, số cách lấy 5 7 C 
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5! 
ð Số con số tìm được ở TH2 là 7.6. 5 7 C .5! = 105840 số 
Vậy, số con số tìm được ở CV1 là 151200 + 105840 = 257040 số 
& CV2 : Tìm số con số gồm 7 chữ số khác nhau và có mặt đồng thời số 1 và 2, chúng đứng cạnh nhau 
Vì số 1, 2 đứng cạnh nhau, ta coi đó là 1 phần tử _ gọi là a. 
Số cần tìm được biểu diễn qua 6 ô:¨¨¨¨¨¨ 
· TH1 : Có mặt số 0 
Ø Đưa số 0 vào ô, có 5 cách đưa 
Ø Đưa số a vào ô, có 5 cách đưa
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy 7 
Ø Xếp thứ tự cho 1 và 2 có 2! cách xếp 
Ø Lấy 4 số từ 7 số, số cách lấy 4 7 C 
Ø Xếp 4 số vừa lấy vào 4 ô, số cách xếp 4! 
ð Số con số tìm được ở TH1 là : 5.5.2! 4 7 C .4! = 42000 số 
· TH2 : Không có mặt số 0 
Ø Đưa số a vào ô, có 6 cách đưa 
Ø Xếp thứ tự cho 1 và 2 có 2! cách xếp 
Ø Lấy 5 số từ 7 số, số cách lấy 5 7 C 
Ø Xếp 5 số vừa lấy vào 5 ô, số cách xếp 5! 
ð Số con số tìm được ở TH2 là 6.2!. 5 7 C .5! = 30240 số 
Số con số tìm được ở CV2 là 42000 + 30240 = 72240 số 
Tóm lại, số con số thỏa ycbt là 257040 – 72240 = 184800 số 
14) Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào 1 dãy ghế có 10 chỗ. Hỏi số cách xếp biết họ ngồi theo phái? 
· Xem 5 nam như 1 phần tử, 5 nữ như 1 phần tử, xem ghế có 2 chỗ 
Số cách xếp 2 phần tử vào 2 vị trí là 2! 
· Xếp 5 nam vào 5 ghế, số cách xếp là 5! 
· Xếp 5 nữ vào 5 ghế, số cách xếp là 5! 
ð Số cách xếp : 2!5!5! = 28800 cách 
15) Một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà toán học và 10 nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập từ 
tập thể đó một phái đoàn gồm 8 người trong đó có ít nhất một nhà toán học. 
Cách 1 : Yêu cầu có ít nhất 1 nhà toán học nên ta có 2 trường hợp 
· Lấy 1 nhà toán học và 7 nhà vật lý, số cách lấy 1 7 2 10 C C = 240 cách 
· Lấy 2 nhà toán học và 6 nhà vật lý, số cách lấy 2 6 2 10 C C = 210 cách 
ð Vậy có 240 + 210 = 450 cách lập đoàn 
Cách 2 : Ta làm 2 công việc 
· Lấy tùy ý 8 người từ 12 người, số cách lấy 8 12 C = 495 cách 
· Lấy vi phạm (không lấy nhà toán học), chỉ lấy 8 nhà vật lý từ 10 người, số cách lấy 8 10 C = 45 cách 
ð Vậy có 495 – 45 = 450 cách lập đoàn 
Công thức nhị thức Niutơn 
å 
n 
n k n-k k 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n 
n n n n n n 
k=0 
(a + b) = C a b = C a + C a b + C a b + C a b + ... + C b 
Các tính chất : 
· Trong khai triển (a + b) n ta được (n+1) số hạng. 
· Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n. 
· Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b) n là k n-k k k+1 n T = C a b
LTĐH môn TOÁN (Tổ hợp) Trần Gia Huy 8 
CÁC DẠNG BÀI TẬP : 
Dạng 1 : Tìm hệ số của x n trong khai triển nhị thức Niutơn 
ỉ ư 
ç ÷ ç ÷ 
è ø 
7 
1 3 1) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của x + với x > 0 4 x 
Giải 
( ) ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø è ø è ø 
Û 
å å å 
7-k k 7 k 7-k 1 7 7 -1 7 7 7 - k k k k 3 3 3 3 12 4 
7 7 7 4 4 
k=0 k=0 k=0 
4 
7 
1 1 Ta co ù: x + = C x = C x x = C x 
x x 
7 7 Yêu cầu là số hạng không chứa x nên : - k = 0 k = 4 
3 12 
Vậy số hạng không chứa x là C = 35 
( ) é ù ê ú ë û 
8 8 2 2) Tìm he äsố của x trong khai triển thành đa thức của 1+ x 1-x 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
£ £ £ £ 
é 
ê 
ë 
å å å å å 
8 8 k 8 k 8 k k-m m m 2 3 k 2 3 k m 2 3 k m 2k+m 
8 8 k 8 k 
k=0 k=0 m=0 k=0 m=0 
8 
Ta co ù: 1+ x - x = C x - x = C C x -x = C C -1 x 
Do yêu cầu bài toán nên 2k + m = 8 (với 0 k 8 và 0 m k) 
m = 0, k = 4 
Vậy 
m = 2, k = 3 
Vậy số hạng của x là : C 4 0 0 8 3 2 2 8 8 8 4 8 3 
8 
C (-1) x + C C (-1) x = 238x 
ĐS : He äsố của x là 238 
(Đại học khối D - 2007) 
5 5 2 10 3) Tìm he äsố của x trong khai triển thành đa thức của : x(1-2x) + x (1+ 3x) 
Giải 
å å 
5 10 
5 k k k 10 m m m 
5 10 
k=0 m=0 
5 4 4 5 3 3 5 5 
5 10 
5 
Ta co ù(1 - 2x) = C (-2) x ; (1+ 3x) = C 3 x 
Do yêu cầu bài toán nên k = 4, m = 3 
Vậy số