Luyện thi Đại học môn Toán - Ôn tập hình học giải tích phẳng

ÔN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Phương trình của đường thẳng. 
1.1. Dạng tổng quát. Δ: Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0 
- Đường thẳng qua điểm M(x0;y0) và có vector pháp tuyến , có phương trình Δ: A(x − x0) + B(y − y0) = 0
1.2. Dạng tham số. 
- Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x0;y0) và có vector chỉ phương 
có pt tham số Δ: , t là tham số 
1.3. Dạng chính tắc. 
- Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x0;y0), và có vector chỉ phương với có pt Δ : 
Chú ý: Nếu Δ có vector pháp tuyến là khi đó một vector chỉ phương là hoặc 
1.4. Phương trình đoạn chắn. 
Đường thẳng Δ chắn trên Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) (ab ≠ 0), có phương trình: 
1.5. Đường thẳng theo hệ số góc. 
- Nếu Δ qua M(x0,y0), hệ số góc k thì Δ: y − y0 = k(x − x0).
1.6. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm M(x0;y0), khi đó :
Chú ý : Cho hai đường thẳng Δ1: A1x + B1y + C1 = 0 Δ2: A2x + B2y + C2 = 0. Khi đó, phương trình đường phân giác góc giữa Δ1 và Δ2 là 
2. Phương trình đường tròn. 
Dạng 1. Đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình là (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 
Nếu I ≡ O, thì (C): x2 + y2 = R2. 
Dạng 2. Cho đường cong (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, với a2 + b2 − c > 0. 
Khi đó (C) là đường tròn tâm I(a;b), bán kính 
Chú ý: Đường thẳng tiếp xúc (tiếp tuyến) với đường tròn (I;R) khi và chỉ khi d(I;) = R
3. Phương trình đường elip:
 3.1 Định nghĩa: Cho hai điểm F1, F2 cố định sao cho F1F2 = 2c, c > 0 Khi đó: M (E)MF1 + MF2 = 2a (a > c). 
 3.2 Phương trình chính tắc của elip: , , 
Các yếu tố: 
Trục lớn, trục nhỏ: Ox,Oy
Độ dài trục lớn, trục nhỏ : 2a, 2b
Tiêu điểm F1( -c; 0) ; F2( c; 0) . Tiêu cự: F1F2 = 2c
Các đỉnh A1(- a;0); A2(a;0); B1(0; -b); B2(0; b)
Tâm sai ; Phương trình đường chuẩn: 
Bán kính qua tiêu điểm: và với M(x;y) thuộc (E)
 3.3 Sự tiếp xúc:
Tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) (E) là Δ: 
Đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi a2A2 + b2B2 = C2 
Bài tập:
Bài 1. Phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x − 2y + 6 = 0 và 4x + 7y − 21 = 0. 
Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O. 
Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;3), hai đường trung tuyến lần lượt là d1: y − 1 = 0 và d2: x − 2y + 1 = 0. 
Tìm tọa độ đỉnh B và C. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm BC: x − 2y − 4 = 0 và BG: 7x − 4y − 8 = 0. 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 
Bài 4. Cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0. 
Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC. 
Bài 5. Cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2;3). 
Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0). 
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4), C(6;0) và các điểm M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông. 
Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q. 
Bài 7. Cho đường thẳng Δ: x − y + 2 = 0 và hai điểm A(1;−2), B(2;1). 
Tìm điểm M Δ sao cho 
1. MA + MB nhỏ nhất. 
2. |MA − MB| lớn nhất. 
Bài 8. Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết tâm I(1;6) và các điểm M(3;0), N(6;6), P(5;9), Q(−5;4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. 
Bài 9. Cho hai điểm A(−2;2), B(1;3) và đường thẳng d: 2x + 3y − 4 = 0. 
Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho |MA − MB| lớn nhất 
Bài 10. Cho điểm A(−1;3) và đường thẳng Δ: x − 2y + 2 = 0. 
Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD, biết rằng B, C nằm trên Δ và C có các tọa độ dương. 
Bài 11. Cho A(10;5), B(15;−5), D(−20;0) là ba đỉnh của một hình thang cân ABCD. 
Tìm tọa độ đỉnh C biết AB // CD. 
Bài 12. Cho các điểm I(1;1), M(−2;2) và N(2;−2). 
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, M nằm trên cạnh AB và N nằm trên cạnh CD. 
Bài 13. Cho hai đường thẳng d1: x − y = 0 và d2: 2x + y − 1 = 0. 
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A d1, C d2 và B, D Ox. 
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết A(−1;4) và trung điểm của BC là M(3;1). 
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. 
Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A biết AB: 2x − y + 3 = 0, BC: x + y − 1 = 0. 
Viết phương trình cạnh AC biết nó qua gốc tọa độ O. 
Bài 16. Cho hình vuông ABCD biết AB: 3x + 5y − 29 = 0 và tâm I(6;0). 
Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại của hình vuông ABCD. 
Bài 17. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx − 2my + 3m2 − 4 = 0 (1) 
1. Định m để (1) là phương trình một đường tròn. 
2. Tính bán kính của đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với đường thẳng Δ: 2x − y = 0. 
Bài 18. Cho A(2;0) và B(0;1). Chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA2 − MB2 = MO2 là một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy. 
Bài 19. Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau 
a/ Tâm I d: x + y − 3 = 0, tiếp xúc trục hoành và có bán kính R = 1. 
b/ (C) qua hai điểm A(2;1), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y − 2 = 0. 
c/ (C) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0 tại điểm A(1;−4) và qua điểm B(5;2). 
d/ Tâm I d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc đồng thời với d1: 3x + 4y + 5 = 0, d2: 4x − 3y − 5 = 0. 
e/ Tâm I(2;−4) và cắt đường thẳng d: 3x + 4y − 5 = 0 tạo thành dây cung có độ dài bằng 8. 
f/ Tiếp xúc với đường thẳng 3x − 4y − 31 = 0 tại điểm A(1;−7) và có bán kính R = 5. 
g/ Qua A(4;2) và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x − 3y − 2 = 0, d2: x − 3y + 18 = 0. 
h/ Tâm I(2;−1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C/): (x − 5)2 + (y − 3)2 = 9. 
Bài 20. Cho điểm A(1;−1), đường thẳng d: x + 2y − 15 = 0 và đường tròn (C): (x + 1)2 + (y − 3)2 = 5. 
a/ Viết phương trình đường tròn (C1) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm A. 
b/ Viết phương trình đường tròn (C2) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. 
Bài 21. Cho đường tròn (C): (x − 2)2 + (y + 1)2 = 4. Tìm trên trục tung Oy điểm M sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. 
Bài 22. Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x − 4y − 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn (C) 
a/ Δ vuông góc với đường thẳng d: 8x + 6y − 9 = 0. 
b/ Δ song song với đường thẳng d: 3x + 4y − 2 = 0. 
c/ Δ đi qua điểm A(3;5). 
Bài 23. Cho A(1;1), B(4;−3) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0. 
1. Tìm điểm C d sao cho d(C, AB) = 6. 
2. Viết phương trình đường tròn (T) qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. 
Bài 24. Cho đường thẳng d: x − y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x − 4y = 0. Tìm M d sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B thỏa góc AMB bằng 600
Bài 25. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x = 0. Từ M(5;1) kẻ hai tiếp tuyến MT1 và MT2 đến (C). 
Viết phương trình đường thẳng T1T2. 
Bài 26. Cho hai đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2 − 2(m + 1)x + 4my − 5 = 0. 
1. Định m để (Cm) tiếp xúc với (C). 
2. Chứng minh rằng các đường tròn của họ (Cm) tiếp xúc với (C) cắt nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn ấy. 
Bài 27. Cho đường thẳng Δ: x + 1 = 0 và Δ/: x − 1 = 0 cắt Ox lần lượt tại A và B. Gọi M và N là hai điểm di động trên Δ và Δ/ có tung độ là m và n sao cho mn = 4. 
1. Viết phương trình đường thẳng AN và BM. 
2. Chứng minh giao điểm I của AN và BM thuộc một đường tròn cố định.
Bài 28: Cho (E): 9x2 + 25y2 = 225. 
1. Xác định tiêu điểm, tâm sai và khoảng cách giữa hai đường chuẩn. 
2. Tìm điểm M (E) sao cho 
3. Cho A(x0;y0) (E). Chứng minh rằng 
Bài 29: Lập phương trình của (E) biết 	
1. Hai đỉnh trên một trục có tọa độ (0;−2), (0;2) và một tiêu điểm F(1;0). 
2. (E) qua hai điểm M(1;−2) và 
Bài 30: Cho điểm C(2;0) và (E): Xác định tọa độ hai điểm A, B (E) sao cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 
a/ Tam giác ABC đều. 
b/ CA = CB và tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 
c/ Tam giác ABC vuông cân tai C. 
d/ Tam giác ABC vuông tại C và có diện tích lớn nhất.