Luyện thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Số phức - Huỳnh Đức Khánh

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 1 
CAÙC PHEÙP TOAÙN TREÂN SOÁ PHÖÙC 
Bài 1. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 4z 20 0+ + = . 
 Tính giá trị của biểu thức 2 21 2A z z= + và 
2 2
1 2
2 2
1 2
z zB
z z
+
=
+
. 
Bài 2. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 2z 10 0+ + = . Tính giá trị của 
biểu thức 2 21 2A z z= + . 
(Chính thức.khối A năm 2009) 
Bài 3. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: ( )2z 1 i 2 z 2 3i 0− + + − = . Không 
giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
 1) 2 21 2A z z= + 2) 2 21 2 1 2B z z z z= + 
 3) 3 31 2C z z= + 4) 3 31 2 1 2D z z z z= + 
 5) 1 2
2 1
z zE
z z
= + 6) 1 2
2 1 1 2
1 2 1 2F z z
z z z z
   
= + + +   
   
. 
Bài 4. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 2z 4 0− + = . Tính giá trị của biểu 
thức 
2010 2010
1 2
1 2
z zA
z z
+
=
+
. 
Bài 5. Gọi 1 2 3 4z , z , z , z là bốn nghiệm của phương trình: 4 3 2z 2z 6z 8z 8 0− + − + = . Tính 
tổng 4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1
z z z z
+ + + . 
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn: 2z 6z 13 0− + = . Tính 6z
z i
+
+
. 
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn 
( )21 3i
z
1 i
−
=
−
. Tìm môñun của số phức z iz+ . 
(Chính thức.khối A năm 2010) 
Bài 8. Cho 1 2z , z C∈ , sao cho 1 2 1 1z z 3; z z 1+ = = = . Tính 1 2z z− . 
Bài 9. Tìm mô ñun của số phức 
2 2
4 4
x y 2xyi
z .
xy 2 i x y
− +
=
+ +
CHUYEÂN ÑEÀ. 
SOÁ PHÖÙC – LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 2 
Bài 10. Tìm số n nguyên nếu 
 1) ( ) ( )n n1 i 1 i+ = − 
 2) 
n n1 i 1 i 0
2 2
+ −   
+ =   
   
. 
Bài 11. Biểu diễn số phức z 4 3i= − dưới dạng ñại số. 
Bài 12. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn ñiều kiện 2
z
z
 là số thực và z z 2 3− = . 
Tính z . 
Bài 13. Tính giá trị biểu thức 
2 n2 2 21 i 1 i 1 i 1 iP 1 . 1 . 1 ... 1
2 2 2 2
    + + + +       
   = + + + +        
                
. 
Bài 14. Tính giá trị biểu thức 
2 n2 2 21 i 1 i 1 i 1 iP 1 . 1 . 1 ... 1
2 2 2 2
    
− − − −       
   = + + + +        
                
. 
Bài 15. Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: 2z z 1 0+ + = . Rút gọn biểu thức 
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1P z z z z
z z z z
       
= + + + + + + +       
       
. 
TÌM SOÁ PHÖÙC z THOÛA ÑIEÀU KIEÄN CHO TRÖÔÙC 
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời: z 1 1
z i
−
=
−
 và z 3i 1
z i
−
=
+
. 
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời: ( )z 2 i 10− + = và z.z 25= . 
(Chính thức.khối B năm 2009) 
Bài 3. Tìm số phức z thoả mãn z 2= và 2z là số thuần ảo. 
(Chính thức.khối D năm 2010) 
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời: z 1= và ( )22z z 1+ = . 
Bài 5. Tìm số phức z sao cho z 1= và z z 1
zz
+ = . 
Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn: 2z z= . 
Bài 7. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 2 2i 1− + = , tìm số phức z sao cho z nhỏ 
nhất. 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 3 
GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH – HEÄ PHÖÔNG TRÌNH 
TREÂN TAÄP SOÁ PHÖÙC 
Bài 1. Giải phương trình sau trên tập phức: 2 8 1 63 16 0− − + − =z ( i)z i . 
Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 2z z 6z 8 16 0z− + − − = . 
Bài 3. 1) Tìm các số thực a, b sao cho: ( )( )4 2 2 2z 4z 16z 16 z 2z 4 z az b− − − = − − + + 
∀ z ∈C. 
 2) Giải phương trình: 4 2z 4z 16z 16 0− − − = . 
Bài 4. Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 2 2
z w zw 8
z w 1
− − =

+ = −
. 
Bài 5. Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 i 1 3iz
1 i 2 i
+ − +
=
− +
. 
TÌM TAÄP HÔÏP ÑIEÅM TRONG MAËT PHAÚNG PHÖÙC 
Bài 1. Tìm số thực k, ñể bình phương của số phức k 9iz
1 i
+
=
−
 là số thực. 
Bài 2. Tìm tất cả các số phức z sao cho z ' (z 2)(z i)= − + là số thực. 
Bài 3. Tìm tất cả các số phức z sao cho 1z
z
= . 
Bài 4. Tìm tất cả các số phức z sao cho 1z z i
2
− = + . 
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thõa mãn ñiều 
 kiện: ( )z 3 4i 2− − = . 
(Chính thức.khối D năm 2009) 
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn ñiều 
kiện: ( )z i 1 i z .− = + 
(Chính thức.khối B năm 2010) 
Bài 7. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn ñiều 
kiện sau: 
 1) z k
z i
=
−
, k là 1 số thực dương. 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 4 
 2) z 5= vµ z 7i
z 1
+
+
 lµ sè thùc. 
Bài 8. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn ñiều 
kiện sau: 
 1) z 2 z 2 5− + + = . 2) z 2 z 2 3− − + > . 
 3) Re z c≥ . 4) Im z 0< . 
 6) ( ) ( )
2
3 27 32
1log 2 z i log 0.
2 z i
+ + + =
+ −
 5) z Re z 1= + . 
 7) 2z 2 i u 2 z 2 i u 1 0, u .− + − − + + > ∀ ∈ℝ 8) z 1 2 z i− ≥ − . 
 9) z i 1 z i 1 9− + + + − = 10) z i 2 z i 4+ + − = . 
Bài 9. Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức của số phức 1 3 2ω = + +( i )z 
 biết rằng số phức z thỏa mãn: 1 2− ≤z . 
Bài 10. Tìm các ñiểm biểu diễn số phức z sao cho 1z 2
z
+ = . 
CHÖÙNG MINH 
Bài 1. Chứng minh nếu 1 2 1 2z z 1, z z 1= = ≠ thì 1 2
1 2
z z
1 z z
+
+
 là số thực. 
Bài 3. Chứng minh mọi số phức z, ta ñều có 1z 1
2
+ ≥ hoặc 2z 1 1+ ≥ . 
Bài 4. Cho 1 2 3z , z , z là ba số phức thỏa 1 2 3z z z R 0= = = > . Chứng minh rằng 
2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z z z z 9R− − + − − + − − ≤ . 
Bài 5. Cho hai số phức z, ω . Chứng minh rằng: 
z ωz ω 2
z ω z ω
+
+ ≤
+
. 
Bài 6. Cho hai số phức z, ω . Chứng minh rằng: 
z ω z ω z ω
1 z ω 1 z ω 1 z 1 ω
+ +
≤ ≤ +
+ + + + + + +
. 
Bài 7. Giả sử z a bi, z 1= + ≠ ± . Chứng minh rằng z 1ω
z 1
−
=
+
 là số thuần ảo khi và chỉ khi 
2 2a b 1+ = . 
Bài 8. Chứng minh rằng 1 2z , z là những số phức liên hợp khi và chỉ khi 1 2z z+ và 1 2z .z là 
những số thực. 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 5 
Bài 9. Chứng minh rằng 
 1) Nếu n 3⋮ thì 
n n
1 i 3 1 i 3 2
2 2
   
− + − −
+ =      
   
 2) Nếu n 3/⋮ thì 
n n
1 i 3 1 i 3 1
2 2
   
− + − −
+ = −      
   
Bài 10. Cho hai số phức 1 2z , z .Chứng minh ( )2 2 2 21 2 1 2 1 2z z z z 2 z z+ + − = + . Giải thích ý 
nghĩa hình học hên thức ñã chứng minh. 
Bài 11. Cho hai số phức 1 2z , z .Chứng minh 
 1) ( ) ( )2 2 221 2 1 2 1 2 1 21 z z z z 1 z z z z .− − − = + − + 
 2) ( ) ( )221 2 1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z Re z z . + = + − −  
 3) ( )( )2 2 2 21 2 1 2 1 2z z 1 z z z 1 z 1 .+ + − = + + 
Bài 12. Cho A và B là hai ñiểm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức z1, z2 
khác không thỏa mãn 2 21 2 1 2z z z z+ = . Chứng minh rằng tam giác OAB ñều ( O là gốc 
tọa ñộ ). 
Bài 13. Xét các ñiểm A, B , C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4i
1 i−
; 
 ( )( )1 i 2 i− + ; 2 6i
3 i
+
−
. 
 1) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. 
 2) Tìm số phức biểu diễn bởi ñiểm D, sao cho ABCD là hình vuông. 
DAÏNG LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA SOÁ PHÖÙC 
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mổi số phức sau 
 1) ( )( )
10
9
1 i
3 i
+
+
 . 
 2) ( )75π πcos isin .i . 1 3i3 3 + +   . 
 3) 2010 2010
1
z
z
+ nếu 
1
z 1
z
+ = . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 6 
Bài 2. Tìm số nguyên dương n sao cho 
n
i33
i.33








−
−
 1) là một số thực. 
 2) là một số ảo. 
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 
n n
1 i 3 1 i 3 2
2 2
   
− + − −
+ =      
   
. 
Bài 4. Cho z cosφ sinφ= + . Hãy tìm n n n nz z ; z z , n +− + ∈ℤ 
Bài 5. 1) Cho z cosφ sinφ= + , chứng minh rằng n +∀ ∈ℤ ta có: 
n n
n n
1 1
z 2cosnφ ; z 2isinnφ 
z z
+ = − = 
 2) Chứng minh rằng: 4 1cos φ (cos4φ 4cos2φ 3)
8
= + + 
5 1sin φ (sin5φ 5sin3φ 10sinφ)
16
= − + 
Bài 6. Viết dưới dạng lượng giác của các số phức 
 1) ( ) [ ]1 cosφ isinφ . 1 cosφ isinφ− + + +   . 
 2) ( )1 cosφ isinφ
1 cosφ isinφ
− +
+ +
. 
Bài 7. Tìm acgument của số phức 24ω z z= − , biết arg z φ= và z 1= . 
Bài 8. Cho 2π 2πα 3 cos i sin
3 3
 
= + 
 
. Tìm các số phức β sao cho 3β α.= 
Bài 9. Xét các số phức z thỏa mãn ñiều kiện: 2z 2 i 2 1− − = 
 1) Tìm tập hợp các ñiểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện ñã cho. 
 2) Trong tất cả các số phức z thỏa ñiều kiện ñã cho, tìm số phức z có acgumen 
dương và nhỏ nhất. 
Bài 10. Tìm số phức z sao cho z i 1
z 3i
−
=
+
 và z 1+ có một acgument bằng π
6
− . 
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 
Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn z 1= . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 1P z
z
= + . 
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn z a 0= > . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 1P z
z
= + . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
 Trang 7 
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn 1z 1
z
+ = . Tìm GTNN và GTLN của z . 
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn 1z a 0
z
+ = > . Tìm GTNN và GTLN của z . 
Bài 5. Cho số phức z 0≠ thỏa mãn 3 3
1
z 2
z
+ ≤ . Tìm GTLN của biểu thức: 1P z
z
= + . 
Bài 6. Cho số phức z thỏa mãn z 1= . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 
2P z 1 z z 1= + + − + . 
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn z 1= . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 
3 2P 1 z 1 z z= + + + + . 
---------- HẾT ---------- 
GIA SƯ 
ÑÖÙC KHAÙNH 
● Luyn thi ði H
c khi A - B 
● Ôn thi chuyn cp, h
c k, tt nghip 
● Nhn dy kèm tt c các l#p 
0975.120.189 
0563.60 29 29 
Ñòa chæ: 22A PHAÏM NGOÏC THAÏCH – TP.QUY NHÔN 
Lieân heä: thaày KHAÙNH (GV TOAÙN) 0975.120.189 
hoaëc 0563.60 29 29