Luyện thi Đại học cấp tốc - Chuyên đề: Tích phân - Huỳnh Văn Lượng

dx Đặt: x=a.tant ,với ;2 2t
      
  
BT:: Tính tích phân: 1. 
1
2
0
1
1
dx
x  ; 2. 
3
2
1
1
3
dx
x ; 3. 
1
2
0 1
x dx
x  ; 4. 
3 2
2
1 3
x dx
x ; 
d) Dạng 4:  
2
2 2 , 0
a
a
x a dx a  hoặc  
2
2 2
3
2
1 , 0
a
a
dx a
x a


 
Cách giải: Đặt: 
sin
ax
t
 (hoặc ta đặt x2 làm nhân tử chung và đưa x2 ra ngoài, rồi đặt at
x
 thì các tích 
phân này trở lại dạng 1 và dạng 2). 
Tính:1. 

2
3
2
2 1xx
dx
(ĐS: )
12
 ;2.
1
2
1
3
2
4 1
dx
x x 
(ĐS:
8 )
3
 3.
2 2 2
2
4x dx
x

 ;4.
2 2 2
2
2
4x dx
x

 ; 
LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 39 0918.859.305-01234.444.305 
 2) Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phân từng phân 
BT: 1/Tính: 1.  
2
0
2 1 cosx xdx

 ; 2. 
2
2
0
(2cos 1)x x dx

 ; 3. 
2
4
0
( os x)sinx c xdx

 4. 
2
2
0
( osx)sinx c xdx

 
 2/ Tính: 1. 
1
2
0
(1 3 ) xx e dx ; 2. 
1
2
0
( 2 ) xx x e dx 3. 
1
2
0
(2 1)3 xx dx ; 6. 
1
2 2 1
0
(4 2 1) xx x e dx  
 3/ Tính: 1. 
1
ln
e
e
xdx ; 2. 
3
2
2
ln( )x x dx ; 3. 
2
2
1
ln( )x x x dx ; 5.
3
2
(2 1) ln( 1)x x dx  
 4/ Tính: 1) 
2
5
1
ln xdx
x 2) 
2
2
0
x cos xdx

 3) 
2
0
sin xdx

 4) 
3
2
0
x sin xdx
cos x


 5)
2
0
s inxxe dx

 
III. TÍCH PHÂN CHỨA HÀM HỮU TỈ: 
Dạng: ( )
( )
b
a
P x dx
Q x Với P(x), Q(x) là các hàm đa thức, khi đó ta có các trường hợp sau: 
+ Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) 
+ Nếu bậc P(x) <bậc Q(x) thì phân tích 
( )
( )
P x
Q x
 thành các phân thức đơn giản theo 1 trong 3 quy tắc sau: 
QT1:     
1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ...
( ) ...
n
n n
AA AP x P x
Q x x a x a x a x a x a x a
    
      
QT2: 
  
31 2 4
2
( ) ( ) ..
( ) ( ) ( )n n
AA A AP x P x
Q x x a x c x c x cx a x c
     
    
QT3: 
  
3 31 2 2
2 2 2 22
( ) ( )
( ) ( )
A x BA A x BP x P x
Q x x a x px q x px qx a x px q

   
      
Lưu ý tích phân dạng tổng quát sau:  2 0
dxI a
ax bx c


 
  . Xét 
2 4b ac   . 
Böôùc 1: Ñaët 
 haøm)nguyeân
 haøm)(ñaïo 
( )(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu





- Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa lnx thì đặt 





laïi coøn phaàndv
xu ln
- Nếu biểu thức sau dấu tích phân chứa {sinx, cosx, ex} thì đặt 





dxexxdv
u
x },cos,{sin
dv ngoaøi laïi coøn phaàn
Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : 
b b
b
a
a a
udv uv vdu   
LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 40 0918.859.305-01234.444.305 
 +)Nếu 0  thì 
2
2
dxI
ba x
a



  
 
 tính được I. 
 +)Nếu 0  thì 
  1 2
1 dxI
a x x x x



  (trong đó 1 2;2 2
b bx x
a a
     
  ) 
 +) Nếu 0  thì đưa tích phân I về dạng 2 2
0
1a dx
x a ---> Đặt: x=a.tant 
BT: Tính các tích phân sau: 1.
3
2
2 1
dx
x  ; 2.
3 3
2
1
3 2
( 1)
x x dx
x x
 
 ; 3. 
1 7
4 2
0 ( 1)
x dx
x  ; 4. 
2
5
1 ( 2)
dx
x x  ; 
 5.
2
2
1 ( 2)
dx
x x  ; 6. 
 2
3
1
2 1
( 2)
x dx
x x

 7.
 1
2
0
1
( 1)( 2)
x dx
x x

  ; 8.
 2
2
1
1
( 2)
x dx
x x

 ; 
III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 
Dạng 1: sin x.cos
b
m n
a
xdx xảy ra các trường hợp sau : 
1. Nếu m lẻ, n chẵn thì đặt: t= cosx 
2. Nếu m chẵn, n lẻ thì đặt: t= sinx 
3. Nếu m chẵn, n chẵn thì đặt: t= tanx 
4. Nếu m chẵn, n chẵn và dương thì áp dụng công thức hạ bậc 
5. Nếu m lẻ, n lẻ và dương thì áp dụng công thức hạ bậc và biến đổi tích thành tổng 
Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác: 
Loại 1: 
cos
dxI
asinx b x c

  
Đặt 
2
2tan
2 1
x dtt dx
t
  

; 
2
2sin
1
tx
t


 và 
2
2
1cos
1
tx
t



Ví dụ: a)
4 cos 3 sin 5
dx
x x  ;Đặt: 2
2tan
2 1
x dtt dx
t
  

 b) 2
2 2
2 2
2
1
1 2cos 3sin 3 3 23 3
1 1
 
    
 
  
dt
dx dtt
t tx x t t
t t
 tan 11 2ln ln
2 tan 2
2
x
t
xt

 
 
.Loại 2: Tính 
sin cos
sin cos
m x n x pI dx
a x b x c
 

  . Ta cần tìm A, B, C sao cho: 
   sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x         
LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 41 0918.859.305-01234.444.305 
Ví dụ minh họa: Tính: cos 2sin
4cos 3sin
x xI dx
x x


 . 
Ta tìm A, B từ hệ thức:    cos 2sin 4cos 3sin 4sin 3cos ,      x x A x x B x x x để từ đó thế vào và tính I 
Loại 3: Tính 
2 2sin sin cos cos
dxI
a x b x x c x d

   Chia tử và mẫu cho cos
2x, sau đó đặt t = tanx 
BT: 1.
3
0
1
cos
dx
x

 ;2.
2
3
6
1
sin
dx
x


 ;3. 
2
0
1
4 2cos
dx
x

 ;4.
3
5
0
tan xdx

 ;5. 
2
0
1
sin cos
dx
x x

 ;6. 
2
0
1
1 sin
dx
x

 ; 
Loại 3: I = a sin cos
s inx cos
x b xdx
c d x

 ----> Xét: 
asin cos cos sinx
sinx cos sinx cos
x b x c x dA B
c d x c d x
       
BT: Tính:1. 
2
0
2 inx-3cos
sinx cos
s xdx
x

 ; 2. 
2
3
2 inx+3cos
sinx-2cos 2
s x dx
x

 
 ; 3. 
4
0
2 inx+cos
sinx-cos
s xdx
x

 ; 4. 
4
0
3 inx-cos
2sinx+cos
s x dx
x

 
Loại 4: 
2
0
sin
sin os
n
n n
xI dx
x c x


 -> đặt : 2x t

  thì 
2
0
sin
sin os
n
n n
xI dx
x c x



2
0
os
sin os
n
n n
c x dx
x c x


 =J 
Từ đó: I+J=2I=
2 4
I   . BT: 1.
2
0
os
sin os
c x dx
x c x

 ;2
62
6 6
0
os
sin os
c x dx
x c x

 ;3. 
20112
2011 2011
0
sin
sin os
x dx
x c x

 
Chú ý: Một số dạng tích phân đặc biệt, vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Lượng để được hỗ trợ miễn phí 
--------------------- 
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
I. Tính diện tích: 
 1. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: 
    
b
a
dxxgxfS )()( 
 2. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: 
    
b
a
dyygyfS )()( 











bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a b
)(:)( 1 xfyC 
)(:)( 2 xgyC 
ax  bx 
O











by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)( 1 yfxC 
)(:)( 2 ygxC 
ay 
by 
O
LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 42 0918.859.305-01234.444.305 
II. Tính thể tích: 
1. Quay quanh Ox 
    dxxfV
b
a
2
)(  
2. Quay quanh Oy 
    dyyfV
b
a
2
)(  
Bài tập Tính thể tích 1. y=-x2+4x và trục Ox : a.Quanh Ox. (ĐS : )
15
512 ; b. Quanh Oy. (ĐS : )
3
128 
2. y=(x-2)2 và y=4. a. Quanh Ox (ĐS : )
5
256 ; b. Quanh Oy (ĐS : )
3
128 
3. y=x2+1 ,Ox ,Oy và x=2. a. Quanh Ox (ĐS : )
15
206 ; b. Quanh Oy (ĐS : 12 ) 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường sau: 
1. 2
ln , 0, 1, 2xD y y x x
x
       
 
 ; 4. ln , 0, 1,
2
xD y y x x e
x
 
     
 
2. 
2 3 1, 0, 0, 1
1
x xD y y x x
x
  
     
 
 ;5. 2 3sin os , 0, 0,
2
D y xc x y x x       
 
-------------------- 
TỔNG HỢP CÁC BÀI TÍCH PHÂN 
TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013 
Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
 2 2 3y x x   . 3y x  ĐS : 109
6
S  
Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
2
4
4
xy   và 
2
4 2
xy  ĐS : 42
3
S   
Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân : 
2 3
2
5 4
dxI
x x


 ĐS : 
1 5ln
4 3
I  
Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân : 
24
0
1 2sin
1 sin 2
xI dx
x



 ĐS : 
1 ln 2
2
I  
Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân : 
a b0y
)(:)( xfyC ax 
bx 
x
y
O
b
a
x
y
0x
O
)(:)( yfxC 
by 
ay 











bx
ax
yOx
xfyC
H
:
:
0:
)(:)(
:)(
2
1











by
ay
xOy
yfxC
H
:
:
0:
)(:)(
:)(
2
1
1
LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 43 0918.859.305-01234.444.305 
2
2
0
I x x dx 
ĐS : 1I  
Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân : 
2
1 1 1
xI
x

  
ĐS : 
11 4 ln 2
3
I   
Bài 7 (ĐH B2004) : Tính tích phân : 
 0
1 3ln ln .
e x xI dx
x

 
ĐS : 116
135
I  
Bài 8 (ĐH D2004) : Tính tích phân : 
3
2
2
ln( ) .I x x dx 
ĐS : 3ln 3 2I   
Bài 9 (ĐH A2005) : Tính tích phân : 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x xI dx
x


 
 
ĐS : 34
27
I  
Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân : 
2
0
sin 2 cos .
1 cos
x xI dx
x


 
ĐS : 2 ln 2 1I   
Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân : 
2
sinx
0
( cos )cos .I e x xdx

 
ĐS : 1
4
I e    
Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân : 
2
2 2
0
sin 2
os 4sin
xI dx
c x x




ĐS : 2
3
I  
Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân : 
ln 5
ln3
.
2 3x x
dxI
e e

  
ĐS : 3ln
2
I  
Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân : 
1
2
0
( 2) .xI x e dx 
ĐS : 
25 3
4
eI  
Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 ( 1)y e x  , (1 )xy e x  . ĐS : 1
2
eS   
Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . lny x x , 0y  , x e . Tính thể 
 tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS : 
3(5 2)
27
eV   
Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân : 
 3 2
1
ln
e
I x xdx  . ĐS : 
45 1
32
eI  
Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân : 
46
0
tan
os2
xI dx
c x

  . ĐS : 
1 10ln(2 3)
2 9 3
I    
LTĐH _ Chuyên đề Tích phân www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 44 0918.859.305-01234.444.305 
Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân : 
4
0
sin( )
4
sin2 2(1 s inx cos )
x dx
I dx
x x
 


   . ĐS : 
4 3 2
4
I  
Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : 
2
3
1
ln xI dx
x
  ĐS : 
3 2ln 2
16
I  
Bài 21 (