Luyện thi Đại học cấp tốc - Chuyên đề: Số phức - Huỳnh Văn Lượng

 
 
  
    
0, 0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
x y
x y
  
  
   
 
Vậy các số phức cần tìm là: 0; ;z z i z i    
2. Các bài tập đề nghị có đáp số: 
Bài 1: Tính số phức sau: z = 
16 81 1 .
1 1
i i
i i
           
 ĐS: z = 2. 
Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn 2z i 2  ĐS: 2z (1 i).
2
   
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn : z (2 3i)z 1 9i    . ĐS : z = 2 – i 
Bài 4: Tìm số phức z, biết : 
22z z z  . ĐS : 1 1 1 1z 0; z i; z i
2 2 2 2
       
Bài 5: Tìm số phức z, biết : 5 i 3z 1 0
z

   . ĐS : z 1 i 3; z 2 i 3     
Bài 6: Tính số phức sau: z = (1+ i)15. ĐS: z = 128 – 128i. 
Bài 5: Tính số phức sau: 
z 1 1
z i
z 3i 1
z i
 
 

  
. ĐS: z =1+ i. 
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức 
 Lưu ý: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = –1; i4n+3 = – i; 
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) A 1 i 3 1 i 3    . ĐS: A 6 . 
b)
2 4 2008
2 3 2009 ; : 0
...
...
ÐS Pi i iP
i i i i

  
   
; c) 
5 7 9 2009
4 5 6 2010
...
...
i i i iQ
i i i i
   

  
;ĐS: 
1 1Q i.
2 2
  
Bài 2: Tính n n 1 n 2 n 3s i i i i (n )       . 
 Tìm phần thực, phần ảo của số phức 2 2010z 1 i i ... i     . HD: s 0 ; z i 
Bài 3: Tính: S = i105 + i23 + i20 – i34. ĐS: S = 2. 
---------------------------- 
Dạng 3. Dạng Lượng giác của số phức 
LTĐH cấp tốc – Chuyên đề số phức www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 41 0918.859.305-01234.444.305-0929.105.305 
 
Baøi taäp: Bieåu dieãn caùc soá phöùc sau ñaây döôùi daïng löôïng giaùc
a) z = 1 + i b) z = 1 i c) z = 3
d) z = 5 
  
 
 e) z = i f) z = 2i
g) z = 1+ i 3 h) z = 1 i 3 i) z = 1 i 3
1j) z = 1 i 3 k) z = 

i
3 i
   
   
   
  
HD : a) z = 2(cos isin ) b) z = 2(cos i sin ) c) z = 3(cos i sin )
4 4 4 4
d) z = 5(cos0 isin 0) e) z = cos i sin f) z = 2[cos isin ]
2 2 2 2
g) z = 2(co         
   
 
s i sin ) h) z = 2(cos i sin ) i) z = 2( cos isin )
3 3 3 3 3 3
4 4 2j) z = 2(cos isin ) k) z = (cos isin )
3 3 2 12 12
VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
Dạng 1: Phương trình bậc hai 
1. Bài tập mẫu: 
Bài 1: (CD10) Giải phương trình  2 1 6 3 0z i z i     trên tập hợp các số phức. 
Giải: Phương trình có biệt thức    21 4 6 3 24 10i i i         21 5i  
Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i  và 3 .z i 
Bài 2: (A09) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z   . Tính giá trị của biểu 
thức 2 21 2A z z  . 
Giải: Ta có: 2 22 4.10 36 36i      
Phương trình có hai nghiệm là: 1 1 3z i   và 2 1 3 .z i   
 2 21 1 3 10z     và    
2 2
1 1 3 10z      Vậy 
2 2
1 2 20A z z   
Bài 3: (CD09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4 3 7 2z i z i
z i
 
 

Giải:Điều kiện: 1z   , phương trình đã cho tương đương với  2 4 3 1 7 0z i z i     
    24 3 4 1 7 3 4i i i        22 i  , pt có 2 nghiệm là: 1 2z i  và 3 .z i  
2. Bài tập đề nghị có đáp số: Giải phương trình : z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. ĐS: z1 2i ; z2 1 i.   
Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai 
 Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể 
quy được về bậc hai. 
 Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử 
(để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai. 
 Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết 
cách giải. 
2.1. Phương pháp phân tích thành nhân tử. 
Bài 1: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) 
LTĐH cấp tốc – Chuyên đề số phức www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 42 0918.859.305-01234.444.305-0929.105.305 
 1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo. 
 2) Giải phương trình (1). 
ĐS: 1) (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i ; 2) z 2i;z 1 2i;z 1 2i.       
Bài 2: Giải phương trình: z3 = 18 + 26i, ĐS: z = 3 + i. 
Bài 3: 
1) Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 +az + b) 
2) Giải phương trình: z3 + 3z2 + 3z – 63 =0 
ĐS: 1) a 6;b 21  ; 2) z 3; z 3 2 3i; z 3 2 3i.       
Bài 4: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 ĐS: z 1; z 3; z 2i; z 2i.     
Bài 5: Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0.ĐS:
1 3 1 3z 1, z i, z i.
2 2 2 2
       
Bài 6: Giải phương trình 3 2z (1 2i)z (1 i)z 2i 0      , biết rằng phương trình có một nghiệm 
thuần ảo.HD: Giả sử nghiệm thuần ảo là z yi . Thay vào phương trình y 1.  
Bài 7: Giải phương trình 3 2z (5 i)z 4(i 1)z 12 12i 0       , biết rằng phương trình có một 
nghiệm thực.HD: 2(z 6)(z (1 i)z 2i 2) 0      . 
2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ. 
Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z = a + bi (a, b thực) và coi i như một 
tham số trong bài toán thực. Sau khi biến phức tạp thành đơn giản ta lại giải bài toán phức. Đây được 
coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài. 
Bài 1: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) –12 = 0 
ĐS: 
1 23i 1 23iz ;z ;z 1;z 2.
2 2
   
     
Bài 2: Giải phương trình: (z2 + 3z + 6)2 + 2z(z2 + 3z + 6) – 3z2 = 0 
ĐS: z 1 5i; z 1 5i; z 3 3; z 3 3.            
Bài 3: Giải phương trình: z4 – 2z3 – z2 – 2z + 1 = 0 
ĐS: z = 1 i 3
2
  ; z = 3 5
2
 . 
Bài 4: Giải pt: z4 – z3 + 
2z
2
 + z + 1 = 0 ĐS: z1 = 1+ i ; z2 = 
1
2
 + 
1
2
i ; z3 = 1– i ; z4 = 
1
2
 –
1
2
i. 
Bài 5: Giải phương trình: 
3
z i 1
i z
 
  
ĐS: z 0; z 3.   
VẤN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH – CỰC TRỊ 
Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức. Để 
giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên 
hợp, môđun của số phức đã được chứng minh. 
 z laø soá thöïc  z z ; z laø soá aûo  z z  
1. Bài tập mẫu: 
Bài tập 1: Cho z thỏa mãn z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 1z
z
P   . 
LTĐH cấp tốc – Chuyên đề số phức www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 43 0918.859.305-01234.444.305-0929.105.305 
Giải : Ta có   21 0 Re z 1z     ,P0. Ta có: 
P2=    22 221 1 1 1 2 . 4 Re( )z zz z z z z z z z zz zz z
               
  
 MaxP=P(z=1)=2 , MinP=P(z=i)=0 
Bài tập 2 : Cho số phức z thỏa mãn 11z
z
 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z . 
Hướng dẫn: 1=
22
2
2 2
1 1 1 1.
.
z z z zz z z z z
z zz z z z z z
                     
  4 2 23 1 ( ) 0z z z z      4 2 2 23 1 ( ) 4Re ( ) 0z z z z z        
  23 5 3 5
2 2
z    1 5 1 5
2 2
z    
Vậy 1 5ax
2
m z  , 1 5min
2
z   
2. Bài tập đề nghị có đáp số: 
Bài 1: Cho z1, z2   . CMR: E = 1 2 1 2.z z z z  HD: z   z = z 
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2  1 thì A = 1 2
1 21
z z
z z


 
Bài 3: Cho số phức 0z  thoả mãn 3 3
1 2z
z
  . Chứng minh rằng: 1 2z
z
  . HD: 1 2 1 2z z z z   
Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: 
11
2
z   hoặc 2 1 1z   HD: Chứng minh phản chứng. 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của z nếu 2 2 1z i   ĐS: min 2 2 1.z   
VẤN ĐỀ 4 : TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 
 Giả sử z = x + yi (x,yR). Khi đó, sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y 
từ đó suy ra tập hợp điểm M. 
Cần biết: 
 z = x + yi  z = 2 2x y 
 (x-a)2+(y-b)2 = R2  tập hợp các số phức là đường tròn tâm I(a; b) vaø baùn kính R 
 (x-a)2+(y-b)2 < R2 là các điểm nằm trong đường tròn (I;R) 
 (x-a)2+(y-b)2 > R2 là các điểm nằm ngoài đường tròn (I;R) 
1. Bài tập mẫu: 
LTĐH cấp tốc – Chuyên đề số phức www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 44 0918.859.305-01234.444.305-0929.105.305 
Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều 
kiện  3 4 2z i   . 
Giải: Gọi z = x + yi  ,x R y R  , ta có:    3 4 3 4z i x y i      
Từ giả thiết ta có:        2 2 2 23 4 2 3 4 4x y x y         
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2. 
Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa 
mãn:  1z i i z   
Giải: Gọi z = x + yi  ,x R y R  , ta có: 
 1z i i z        1x y i x y x y i       
      2 2 22 1x y x y x y       
  22 1 2x y    
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2 . 
2. Các bài tập đề nghị có đáp số: 
Bài 1: Tìm tập hợp số phức z thoả: 
1) z 1 i  =2; 2) 2 z 1 i   ; 3) 2 z z 2   ; 4) z 4i z 4i 10    ; 5) |z – 2| = 3; 
6) |z + i| 3; 8) 
1z 2
z
  
ĐS: 1) đường tròn có tâm tại I(1; –1) và bán kính R = 2. 2) đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. 
 3) nửa mặt phẳng bên phải trục tung. 4) Elip (E) là: 
22 yx 1
9 16
  . 
Bài 3: Tìm tập hợp số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 
1) |z + z +3| = 4 ; 2) |z + z + 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z – z +2i| ; 4) |z2 – z 2| = 4 
ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung: 1 7x ;x .
2 2
   
 2) hai đường thẳng song song với trục hoành y = 1 3
2
 . 
 3) parabol y = 
2x
4
. 4) hai nhánh Hypecbol: xy = 1 và xy = –1. 
Bài 4: Cho z1 =1+ i; z2 = –1– i. Tìm z3 sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác 
đều. 
HD: Giả sử M1(x1; y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i; M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i. Khi đó 
khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2 . 
 Vậy: M1M2 = |z1 – z2| =    2 21 2 1 2x x y y   
ĐS: có hai số phức thoả mãn là: z3 = 3 (1+ i) hoặc z3 = – 3 (1– i). 
LTĐH cấp tốc – Chuyên đề số phức www.huynhvanluong.com 
Huỳnh văn Lượng Trang 45 0918.859.305-01234.444.305-092