Luyện thi Đại học, Cao đẳng - Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức phần 3 - Nguyễn Dương

 ) 1
2
f x x x
f x x x x x x
  
        
 Bảng biến thiên : 
x  
1
2
  
f’(x) - 0 + 
f(x) 
 1
8
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : 1( )
8
f x  x R  
Kết luận : vậy 4 4 1
8
x y  dấu đẳng thức xảy ra khi 1
2
x y  
 Bài Tập Về Nhà 
Bài tập 1: Chứng minh rằng 
a) 
2
1- cos
2!
x x , với x ≠ 0. 
b) 
3
sin
3!
xx x  , với x > 0. 
c) 
2 4
cos 1
2! 4!
x xx    , với x ≠ 0. 
d) 
3 5
sin
3! 5!
x xx x   , với x > 0. 
e) ex  1 + x ,  x R. 
f) ln x x
e
 , với x > 0 và x ≠ e. 
g) 2
ln 1
1 2
xx
x


, với x > 0 và x ≠ e. 
h) 
3sinx cosx
x
   
 
 , với x (0; )
2

  . 
Bài tập 2: Chứng minh rằng 
a) sin tan 2x x x  , với 0
2
x   . 
b) 1 2tan sin
2 3
x x x  , với 0
2
x   . 
c) (2 cos ) 3sinx x x  , với x > 0 
d) 2sin x x

 , với 0;
2
x     
. 
e) (1 ) sin 4 (1 )x x x x x     , với x (0;1) 
Bài tập 3: Chứng minh rằng: 
a) 1x xe xe  , với x > 0 
b) 21x xe x x e   , với x > 0. 
c) 2. 1
x
xx e e  , với x > 0. 
d) 1(1 )x xe x   , với x > 0. 
Bài tập 4: Chứng minh rằng 
a)  2 1ln 1 1 ln xx x    , với x > 0. 
b)  ln 1
1
xx
x
 

, với x > 0. 
 Nha Trang 8/2009 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
c)  2 21 lnx x x  , với x > 0. 
d)  
2
ln 1 cos ln 2
4
xx   với  0;x  
Bài tập 5: Chứng minh rằng: 
a)  sin tan x x , với 0;
4
x     
. 
b)  tan sin x x , với 0;
3
x     
. 
Ví dụ 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 2
1212 6 4 0x xm m
m
     . Tìm m để 
2 2
1 2A x x  đạt GTNN, GTLN 
Giải : 
 Nha Trang 8/2009 
m 
m 
m 
m 
m 
+ + 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 2
1 0x ax
a
   . Tìm m để 4 41 2P x x  đạt 
GTNN 
Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 2( 1) 0x a x a    . Tìm GTNN của 
1 2
1 1P
x x
  
Ví dụ 7: Tìm GTNN của 
2 2
2 2( ; ) 3 8
x y x yf x y
y x y x
   
      
  
, với x,y≠ 0. 
Giải: 
Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của 
2
2
sin 2sin 3
sin 3sin 4
x xP
x x
 

 
Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của 
2 2sin 1 cos2 2x xP   
Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của 
4 4 2 2
4 4 2 22
x y x y x yP
y x y x y x
     
          
    
 , với x,y≠ 0. 
Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của 2 2
1 1cos cos 4
cos cos
P x x
x x
     
 Nha Trang 8/2009 
m 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
Ví dụ 8: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2
2
4 2 1
2 2 3
y xyP
xy x
 

 
Giải: 
Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1. Suy ra P = 1. 
Nếu x  0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 . Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1  x2 + t2x2 = 1  2 2
1
1
x
t


. 
Ta có P = 
2 2 2 2
2 2 2
4 2 1 3 2 1
2 2 3 3 2 1
t x tx t t
tx x t t
   

   
. 
Xét hàm số f(t) = 
2
2
3 2 1
3 2 1
t t
t t
 
 
 , f ’(t) = 
2
2 2
12 4
(3 2 1)
t t
t t

 
 , f ’(t) = 0  t = 0 v t = 1
3
 (Loại) 
Bảng biến thiên 
t 0 +  
f ’(t) + 
f(t) 
 1 
-1 
Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0  x = 1; y = 0. 
Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1. 
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm GTNN, GTLN của 
2
2
2( 6 )
1 2 2
x
x
x yP
y y


 
. 
Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy  y - 1. Tìm GTNN của 
biểu thức 
2 3
2 39
x yP
y x
  
Ví dụ 9: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2. 
Giải: 
 Nha Trang 8/2009 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1. Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 - x2y2. 
Ví dụ 10 : Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y). Tìm GTLN của 3 3
1 1A
x y
  
Giải: 
 Nha Trang 8/2009 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của 2 22 2
1 1P x y
x y
    
Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của 
biểu thức    2 24 3 4 3 25x x xP y y y    . 
Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn  3 4 2xx y y   . Tìm GTNN của biểu thức 
   4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y      
Ví dụ 11: Cho hai số x,y (0;1) thảo mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức ( ; ) y xf x y x y  
Giải: 
Ví dụ12: Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Chứng minh rằng: 72
27
ab bc ca abc    . 
Giải: 
             1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u            
Đồ thị      1 2 1y f u a u a a     với    
22 10
2 4
ab cu bc     là một đoạn thẳng với 2 giá 
trị đầu mút      
21 710 1
2 4 27
a af a a         
 và 
        
22 3 2 7 71 1 1 1 11 2 1 2
4 4 27 4 3 3 27
f a a a a a          
Do đồ thị  y f u là một đoạn thẳng với   210; 1
4
u a    
 và   70
27
f  ;   2 71 14 27f a  nên 
  727f u  . Đẳng thức xảy ra 
1
3
a b c    
Bài tập 1: Cho 
, , 0
3
a b c
a b c


  
 Chứng minh rằng: 2 2 2 4a b c abc    
Bài tập 2: Chứng minh rằng:    2 4,a b c ab bc ca        , , 0, 2a b c . 
Ví dụ 13: Cho x,y,z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
xyzx yP
x yz y xz z xy
  
  
Giải : 
Áp dụng trình tự các bước sau. 
+) 
2( )
4
x yxy  , dấu bằng xảy ra khi x = y. 
+) Nếu cho A, B > 0, m  n > 0 và A < 2B thì 2 2A n A m
B n B m
 

 
. 
+) Nếu cho m  n > 0, . . A n A mA mn thi
A n A m
 
 
. 
 Nha Trang 8/2009 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
 
2 2 2
2
2
(2)
2
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2
( )(1 )(1 ) ( ) 1 ( )
( )( ) ( ) 22
1( )( ) 1 ( )
4
x y x y
x yz y xz x y x z x y y z
x y x y x y x y xy
x y x y x y x y xy
x yx y x y
zx yx y x y
  
     
      
 
      

   
 
 
    
 
+) 
(3)
22
. ( ) 2 (1 )
( 1)( )2
4
z xy z x y z z
z xy zx yz
 
 
  
 
 
+) 2
2 2 (1 ) ,
1 ( 1)
z zP
z z

 
 
 đặt ,0 1t z t   . Xét hàm số 
3 2 4 3 2
2 2 2 3
2
2( 1) 2( 2 6 2 1)( ) , '( )
( 1) ( 1)
1 1'( ) 0 ( ) 2( ) 8 0 2 3
( ) (2 3) ?
( ) (2 3) ?
t t t t t t tf t f t
t t
f t t t t
t t
f t f
MaxP Maxf t f
       
 
 
         
  
   
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và 2 2 2 1a b c   .Chứng minh 
2 2 2 2 2 2
3. 3
2
a b c
b c c a a b
  
  
Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ thị 
và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét sau 
Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm 0 0( ; ) A x y 
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho 
( ) f x ax b x I    hoặc ( ) f x ax b x I    . 
Ví dụ 14: Cho , , 0a b c  và 6a b c   . Cmr : 4 4 4 3 3 32( )a b c a b c     
Giải: Bđt cần chứng minh      4 3 4 3 4 32 2 2 0a a b b c c       
( ) ( ) ( ) 0f a f b f c    với 4 3( ) 2f x x x  
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi 2a b c   . 
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2x  là: y=8x-16 
Ta có: 4 3 2 2( ) (8 -16) 2 8 16 ( 2) ( 2 4) 0 f x x x x x x x x x           
( ) 8 16 ( ) ( ) ( ) 8( ) 48 0f x x f a f b f c a b c           đpcm 
Luyện thi ĐH chất Lượng cao th.s Nguyễn Dương 093 252 8949 
Bài tập 1: Cho a,b,c>0 .Cmr: 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
5( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
  
  
     
Bài tập 2: Cho a,b,c>0. Cmr : 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
     
  
     
Bài tập 3: Cho , , 0a b c  . Cmr: 1 1 1( )( ) 4( ) 3a b ca b c
a b c b c c a a b
       
  
 Nha Trang 8/2009 
nếu có thời gian thầy sẽ tiếp tục giới thiệu với các em phần nâng cao về vấn đề này , để các em có 
cái nhìn sâu về vấn đề này 
thầy tiếp tục đăng phần 4 : áp dụng để giải quyết các vấn đề phương trình , hệ phương trình , bất 
phương trình chứa tham số vào các ngày tiếp theo 
 thầy Dương 
IV - Ứng dụng của định lí Lagrăng 
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm trên khoảng (a;b) 
thì tồn tại giá trị c  (a;b) sao cho ( ) ( )'( ) f b f af c
b a



 Chú ý: Định lý Lagrăng dùng để chứng minh bất đẳng thức và dùng để chứng minh một phương 
trình có nghiệm x  (a;b). 
2) Hệ quả: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n. .Nếu pt ( ) ( ) 0nf x  có k nghiệm thì 
Pt ( 1) ( ) 0nf x  có nhiều nhất (k+1) nghiệm . 
Ví dụ 1: Cho các số thực a,b,c và số nguyên n>0 thoả mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Chứng minh rằng 
phương trình n na.sin . os .sinx+c=0x b c x c  luôn có nghiệm trên (0; )
2

Giải: Ta có: 
5
2 6 2
a c bgt
n n
   
 
 (*) 
Xét hàm số
2 n+2 3 2sin os sin sin( )
2 2 3 2
n x c x x xf x a b c c
n n

   
 
 trên [0; ]
2

 ta thấy f(x) thoả 
mãn đk đ/l Lagrang trên [0; ]
2

. Mặt khác ta lại có: 
5(0) ; ( )
2 2 2 6
b a cf f
n n

   
 
(0) ( )
2
f f   (do (*) ). Theo đ/l Lagrang thì pt f’(x) có nghiệm trên (0; )
2

hay pt: 1 n+1 2.sin . osx+cos sinx+c.sin . osx+c.sinx.cosx=0na x c x x c 
n n n nsinx.cosx(asin . os inx+c)=0 a.sin . os .sinx+c=0x b c x cs x b c x c      (vì sinx, 
cosx >0 trên (0; )
2

 ) có nghiệm trên (0; )
2

 (đpcm) 
Ví dụ 2: Cho 0<a<b. Chứng minh rằng : lnb a b b a
b a a
 
  
Giải:Bđt đã cho 
1 ln ln 1b a
b b a a

  