Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán năm 2010 - Tổng hợp hàm số - Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . Email: phukhanh1009@gmail.com 
Cho hàm số            3 22 1 2 2 1y x m x m x với m là tham số thực. 
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số  1 khi  2m . 
2.Tìm các giá trị của m để hàm số  1 có cực đại , cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số  1 có 
hoành độ dương. 
Trích đề thi Cao Đẳng năm 2009. 
Bổ sung: 
3. Gọi  t là tiếp tuyến của đồ thị  C của hàm số và  0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm của  t và 
 C . 
 .a Viết phương trình tiếp tuyến  t tại điểm M mà tiếp tuyến tại đó : 
1 .a Song song với đường thẳng   9 5 0x y ; 
2 .a Vuông góc với đường thẳng   45 48 0x y ; 
3 .a Tạo với đường thẳng   3 4 0x y một góc 045 ; 
4 .a Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho  


2
18
OB
dt AOB
, O là gốc tọa độ. 
.b Tìm tọa độ điểm N để  t cắt  C tại hai điểm N khácM . 
4.Gọi I là điểm có hoành độ nghiệm đúng phương trình '' 0y . 
 .a Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI

và viết phương trình 
đường cong  C đối với hệ IXY . Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong  C ; 
.b Chứng minh rằng tiếp tuyến  d tại điểm I có hệ số góc nhỏ nhất , viết phương trình tiếp 
tuyến  d ; 
 .c Xét vị trí tương đối cuả đường cong  C và tiếp tuyến  d (tức là xác định khoảng trên đó 
 C nằm phía trên hoặc phía tiếp tuyến  d ). 
5.Gọi ,E F lần lượt là điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị của hàm số : 
 .a Viết phương trình đường thẳng nối hai cực trị EF . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng 
EF và  d ; 
.b Tìm tham số thực a để hai cực trị ,E F nằm về hai phía khác nhau của đường tròn 
        
2 2
2:G x a y a a ; 
 .c Giả sử EF luôn cắt đường tròn  G tại hai điểm phân biệt ', 'E F . Tìm tham số thực a để 
diện tích tam giác ' ' 'E I F có diện tích lớn nhất, 'I là tâm đường tròn  G và ' ' 4E F  . 
6.Tìm m để đồ thị của hàm số  1 : 
 .a Nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2 ; 
.b Đồng biến trên khoảng  2; ; 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . Email: phukhanh1009@gmail.com 
 .c Đạt cực tiểu tại điểm 2x  ; 
.d Để điểm  0;2 là điểm cực đại của đồ thị hàm số. 
7. Khi đồ thị của hàm số  1 có cực đại  1 1;C x y , cực tiểu  2 2;D x y .Tìm m để đồ thị của hàm 
số có: 
 .a Cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Ox ; 
.b Cực đại, cực tiểu và 2 điểm đó nằm về hai phía với trục Oy ; 
 .c Cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy ; 
.d Cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu; 
.e Cực đại tại  3;0x   ; 
.f Cực đại tại  0;1x  và có cực tiểu x ở ngoài khoảng đó; 
 .g Cực đại , cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn hệ thức : 
 
     
 
 
 2 2
1 2
1 2
1 1
6x x
x x
; 
   2
1 2
3x x ; 
     21 1 2. 5 12x x x ; 
    2
1 2 1
1x x mx ; 
    
1 2
2 2 7x x ; 
          21 2 2 16 5y y m m x x . 
.h Cực đại , cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn hệ thức : 
  1 2. 1x x ; 
  
1 2
2
.
3
x x ; 
   
1 2
4
0 .
3
x x ; 
   
1 2
2
3
x x ; 
   1 2 1 2.x x x x ; 
    
1 2 1 2
2
.
3
x x x x . 
.i Cực đại , cực tiểu tại các điểm có hoành độ 1 2,x x thỏa mãn hệ thức : 
      2 1 8y x y x ; 
      2 1 2y x y x ; 
      2 1 1y x y x ; 
      2 1 2y x y x . 
.j Tam giác CDK có diện tích bằng 1(đvdt), với  0;2K ; 
 .k Tam giác CDL đều với  1;2L ; 
.l Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng :   :d y x ; 
.m Cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng   : 2 3 0d x y  nhỏ 
hơn 11 ; 
.n Có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  II và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ 
 IV của mặt phẳng tọa độ.