Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Chuyên đề: Sự tương giao

(m + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 1 và khác 2. 
Theo định lý đảo về tam thức bậc 2, điều đó xảy ra khi: 
0
(1) 0
1
2
(2) 0
af
s
f
Δ >⎧⎪ >⎪⎪⎨ >⎪⎪ ≠⎪⎩
2
2
2
2 1 0
2 0
3 ! 2
2 4 2
m m
m m
m
m m
⎧ − + >⎪⎪ − >⎨ + >⎪⎪
0− + ≠⎩
1
2
1
m
m
⎧ >⎪⎨⎪ ≠⎩
Vậy các giá trị cần tìm của m là: 1 1
2
m 1. 
Nhận xét: 
- Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nói chung là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán 
thuộc loại này. 
- Tuy nhiên trong VD trên (2) có thể viết dưới dạng: 
 (x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0 
 x = 2, x= 2m, x = m + 1. 
Vì thế ta cần có: 
2 1,2 2
1 1; 1 2
2 1
m m
m m
m m
> ≠⎧⎪ + > + ≠⎨⎪ ≠ +⎩
1
2
1
m
m
⎧ >⎪⎨⎪ ≠⎩
Đó là cách giải trực tiếp không thông qua định lý đảo về dấu tam thức bậc hai. 
VD2: Biện luận theo m số giao điểm với trục hoành của đường cong: 
 y = x3 – 3x2 + 3(1 – m )x + 3m+1. 
Bài giải: 
Ta có y’ = 3x2 – 6x + 3(1 –m ) = 3(x2 – 2x +1 –m ). 
Đường cong có cực trị PT: y’ = 3(x2 – 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
 Δ’ = 1 – (1 – m ) = m > 0 (1) 
Ta có nhận xét sau: 
x3 – 3x2 + 3(1 – m )x + 3m+1 = (x2 – 2x +1 –m )(x - 1) + 2 (-mx + 1 + m). 
Trang 3 
Hay: y = 1
3
y’ (x - 1) + 2 (-mx +1+m) (2) 
Đẳng thức (2) chứng tỏ rằng: Nếu(x1, y1) và (x2, y2) là các điểm cực trị của hàm số thì: 
 1 1
2 2
2( 1 )
2( 1 )
y mx m
y mx
= − + +⎧⎨ = − + +⎩ m
Bây giờ ta biện luận số giao điểm của đường cong với trục hoành như sau: 
1. Đường cong cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi: 
 a. Hoặc là đường cong không có cực đại, cực tiểu. 
 Δ’ ≤ 0 
 m ≤ 0 
 b. Hoặc là có cực đại, cực tiểu nhưng y1y2 > 0. Điều đó xảy ra khi: 
1 2
0
0
m
y y
>⎧⎨ >⎩
 ⇔ 2 2
1 2 1 2
0
(1 )( ) (1 ) 0
m
m x x m m x x m
>⎧⎪⎨ − + + + + >⎪⎩
(3)
(4)
Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 – m = 0, nên 
x1 + x2 = 2; x1x2 = 1 – m 
Thay vào (4) và có: 
 (3),(4) ⇔ 3
0
1 0
m
m
>⎧⎪⎨− + >⎪⎩
⇔ 0 < m < 1 
Kết hợp lại ta có: Đường cong cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi m<1 
2. Đường cong cắt trục hoành tại 2 điểm khi đường cong có cực trị và y1y2=0 Điều này xảy ra 
khi: 
1 2
0
0
m
y y
>⎧⎨ =⎩
⇔ 3
0
1 0
m
m
>⎧⎪⎨− + =⎪⎩
⇔ m=1 
3. Tương tự đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm khi m > 1. 
VD3: Cho đường cong y = x3 – 3x2 +( 2m - 2 )x + m - 3. 
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều 
kiện: x1< -1 <x2< x3 
Bài giải: 
Điều kiện cần: Giả sử m là giá trị thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi đó ta có: 
 F(x) = x3 – 3x2 +( 2m - 2 )x + m – 3= (x – x1)(x – x2)(x – x3). 
Ta giả thiết: x1 0. 
 => -m – 5 > 0 
 => m < -5 
Vậy m < -5 là điều kiện cần để thoả mãn điều kiện đề ra. 
Điều kiện đủ: giả sử m < -5. Ta có: 
 F(-1) = -m – 5 > 0 
 F(0) = m – 3 < 0 (Do m < -5). 
Vì ,nên tồn tại b<-1 ,sao cho F(b)<0 lim ( )
x
F x→−∞ = −∞
Vì: , nên tồn tại a>0 , sao cho F(a)>0. lim ( )
x
F x→+∞ = +∞
Từ tính liên tục của F(x) và do F(b) 0; F(0) 0; 
nên tồn tại x1, x2, x3 thoả mãn: x1< -1 <x2< x3 khi và chỉ khi m < -5. 
Nhận xét: Ba Vd trên cho ta các cách giải khác nhau, và đó cũng chính là các cách thường gặp 
nhất: 
 - Hạ bậc phương trình rồi dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc 2. 
 - Sử dụng với mối liên hệ với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 
 - Sử dụng các kiến thức khác. 
Đó chính là các lược đồ chung nhất để xét các bài toán về điểm cắt đối với các đường cong đa 
thức bậc ba. 
VD4: Cho đường cong y = x3 - 3 mx2 + 2m (m - 4)x + 9m2 – m . 
Tìm m để đường cong chắn trên trục hoành 2 đoạn bằng nhau. 
Bài giải 
Điều kiện cần: 
Giả sử đường cong chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau, tức là đường cong cắt trục 
hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho: BA = BC 
Giả sử x1, x2, x3 tương ứng là hoành độ của A, B, C 
Khi đó ta có: x2 - x1 = x3 - x2 
=> x3 + x1 = 2x2 
=> x1 + x2 + x3 = 3 x2 
Vì x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 
x3 - 3mx2 + 2m(m - 4)x + 9m2 - m = 0 (1) 
nên theo định lý Viet với (1), và có x1 + x2 + x3 = 3 m 
Từ đó có 3m = 3x2 => x2 = m 
Do m là nghiệm của (1), nên thay vào (1) ta có 
m3 - 3m3 + 2m2(m - 4) + 9m2 - m = 0 
 m2 - m = 0 
0
1
m
m
=⎡⎢ =⎣
Vậy điều kiện cần là: m = 0 hoặc m = 1 
Điều kiện đủ: 
-Nếu m = 0 => đường cong trở thành y = x3 
Rõ ràng y = x3 chỉ cắt trục hoành tại một điểm => loại trường hợp này 
- Nếu m = 1 => y = x3 - 3x2 - 6x + 8 
Từ y = 0 (x - 1) (x2 - 2x - 8) = 0 
Trang 4 
 x1 = 1, x2 = -2, x3 = 4 
Rõ ràng đường cong cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ x1, x2, x3 sao cho: 
 x2 - x1 = x3 - x2 , 
tức là chắn trên trục hoành 3 đoạn bằng nhau. 
Vậy m = 1 là giá trị của tham số m cần tìm. 
3. Sự tương giao của hàm phân thức. 
Các bài toán thuộc loại này thường có dạng sau: Tìm điều kiện để đường cong (C) biểu 
diễn hàm phân thức và một đường (C’) cho trước cắt nhau và hoành độ các giao điểm thỏa mãn 
một điều kiện cho trước nao đó. Hãy xét các thí dụ sau đây: 
Thí dụ 1. Chứng minh rằng đường cong y = 
2 2
1
x x
x
+
+ và đường thẳng y = -x - 3 cắt nhau tại 2 
điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x . 
Giải: Xét phương trình 
2 2
1
x x
x
+
+ = - x - 3 với điều kiện x 1≠ − 
Ù x2 + 2x = - x2 - 4x = 3 
Ù 2x2 + 6x + 3 = 0 (1) 
Rõ ràng (1) có hai nghiệm phân biệt (vì 'Δ = 3 > 0) 
Gọi M1 (x1, -x1 - 3) và M2 (x2, -x2 - 3) là hai giao điểm của hai đường trên. 
Đường thẳng qua M1M2 có hệ số góc 
k = 2 1
2 1
( 3) ( 3) 1x x
x x
− − − − − = −− . 
Vì vậy, M1M2 nằm trên đường thẳng vuông góc với y = x 
Gọi I là trung điểm M1M2, thì toạ độ (x0, y0) của I là 
x0 = 1 22
x x+ 
y0 = 1 2
2 1
( 3) ( 3) 1x x
x x
− − + − − = −− 
Do x1, x2 là hai nghiệm của (1), nên theo định lí Viet, ta có x1 + x2 = - 3 . 
Thay vào (2) ta có: x0 = y0 = 
3
2
− 
Điều đó chứng tỏ rằng I nằm trên đường thẳng y = x 
Nói cách khác, M, N đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Đó là đ.pc.m. 
Thí dụ 2. Cho y = 
2 3
1
x
x
+
+ (C) 
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2, 2
5
) sao cho (d) và (C) cắt nhau tại hai 
điểm phân biệt A và B, sao cho M là trung điểm của AB. 
Trang 5 
Giải : Vì y = 
2 3
1
x
x
+
+ là đường cong thuần tuý (ứng vưói một x chỉ có một y tương ứng), 
nên đường thẳng x = 2 không thể cắt (C) tại hai điểm phân biệt, cho nên đường thẳng cần tìm 
phải có dạng y = k(x - 2) + 2
5
 (d) 
Trước hết ta tìm k để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Muốn vậy xét phương 
trình: 
2 3
1
x
x
+
+ = k(x - 2) + 
2
5
Ù 5(1 - k)x2 + (5k - 2) + 10k + 13 = 0 (1) 
( do x=-1 không phải là nghiệm của 2 3x + ). 
Để (1) có hai nghiệm phân biệt ta cần có 
(5k - 2)2 + - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2) 
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và hai giao điểm của (C) với (d) là: I(x1, k(x1 - 
2) + 2
5
) và J(x2, k(x2 - 2) + 
2
5
Rõ ràng M, I, J cùng nằm trên (d), do đó M là trung điểm của IJ nếu như 
2xM = xI + xJ 
Ù 4 = x1 + x2 
Ù 4 = 5 2
5( 1)
k
k
−
− 
Ù 20k - 20 = 5k - 2 
Ù k = 6
5
 (3) 
Thay (3) vào (2) thấy đúng. Vậy k = 6
5
là giá trị duy nhất của tham số m thoả mãn yêu 
cầu đề ra. 
Thí dụ 3: Cho y = 
2 1
1
x x
x
+ −
− (C) 
Tìm m để (C) cắt y = -x + m tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B 
thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (C). 
Giải : Để y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt, điều kiện là phương trình: 
2 1
1
x x
x
+ −
− = -x + m có hai nghiệm phân biệt ≠ 1. Vì x = 1 không phải là nghiệm của x
2 + 
x - 1, nên điều đó xảy ra khi phương trình 
x2 + x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghiệm phân biệt. Ta có thể viết lại (1) dưới dạng 
sau : 
f(x) = 2x2 - mx + m - 1 = 0 (2) . 
(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ = m2 - 8m + 8 > 0 
Trang 6 
Ù m 4 + 2 2 (3) 
Với điều kiện (3) ta có: 
af(1) = 2 > 0 . Vậy 1 ∉ [ ]1 2,x x , ở đây x1, x2 là hai nghiệm của (2). Điều này chứng tỏ 
rằng cả hai giao điểm A, B giữa (C) và y = -x + m nằm về cùng một phía của đường thẳng x = 1, 
tức là A, B thuộc cùng một nhánh của đồ thị của (C) => đpcm. 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài tập 1: Cho y = 
2 8x mx
x m
+ −
− (Cm) 
Tìm m để Cm cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến với (Cm) 
tại A và B vuông góc với nhau. 
Giải : Đường cong (Cm) và trục hoành Ox cắt nhau tại hai điểm phân biệt (mà ta sẽ gọi là 
A, B) khi và chỉ khi hệ sau 
2 8x mx
x m
+ −
− = 0 
x m ≠
 có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ 
 f(x) = x2 + mx - 8 = 0 
f((m) 0 ≠
có hai nghiệm phân biệt , tức là: 
Δ = m2 + 32 > 0 . (1) 
Từ (1) suy ra với mọi m, Cm và Ox luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 
tương ứng là hoành độ của A và B thì x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 + mx - 
8 = 0 . (2) 
Ta có y’ = 
2 2
2
2 8
( )
x mx m
x m
− + −
− = 1 + 
2
2
8 2
( )
m
x m
−
− . 
Tiếp tuyến với (Cm) tại A, B tương ứng có hệ số góc là 
k1= 1 + 
2
2
1
8 2
( )
m
x m
−
− 
k2 = 1 + 
2
2
2
8 2
( )
m
x m
−
− . 
Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, ta cần có 
k1, k2 = - 1 1 + (8 - 2m2) ⇔ 2 2
1 2
1 1
( ) ( )x m x m
⎡ ⎤+⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
 + 
2 2
2 2
1 2
(8 2 )
( ) ( )
m
x m x m
−
− − 
⇔ 1 + (8 - 2m2) [ ]
2 2
1 1 1 2
2
1 2
1 ( ) 2 2
( )( )
x x m x x m
x m x m
+ − + +
− −
+ 
2 2
2
1 2
(8 2 )
( )( )
m
x m x m
−
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
 . 
Trang 7 
Trang 8 
Áp dụng định lý Viet với (2), ta có 
x1 + x2 = - m; x1x2 = - 8, suy ra 
2
1x + 
2
2x = (x1+ x2)
2 - 2x1x2 = m2 + 16 , 
(x1 - m) (x2 - m) = x1x2 - m (x1 + x2) + m2 = - 8 + 2m2 . 
Thay lại vào trên và có 
k1k2 = - 1 1 + (8 - 2m2) ⇔
2 2
2 2
16 4
(2 8)
m m
m
+ +
− + 
2 2
2
(8 2 )
(2 8)
m
m
−
− 2 = -1 
⇔ 3 - 
2
2
5 1
2 8
m
m
+
−
6 = 0 m = ⇔ ± 40 . 
Vậy có hai giá trị cần tìm của tham số m là m = ± 2 10 . 
Bài tập 2: (Đại học, Cao đẳng khối D năm 2003) 
Tìm m để đường thẳng y = mx + 2 - 2m cắt đường cong y = 
2 2 4
2
x x
x
− +
− tại hai điểm phân 
biệt.