Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Chuyên đề: Đại số tổ hợp

học sinh khá. 
Học viện Quân sự 2001 
Giải 
Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hay 2. 
 Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ 2 hay 3. 
Do đó nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là tọa độ một vectơ 3 
chiều ta có 4 trường hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5) (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3). 
Tương ứng 4 trường hợp đối với tổ 2 là : (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 2, 5). 
Ta thấy có 2 trường hợp bị trùng. Vậy chỉ có 2 trường hợp là : 
Trường hợp 1 : 
Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá và 5 trung bình là : 
 3 × 25C × 58C 
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thỏa yêu cầu bài toán. 
Trường hợp 2 : 
Số cách chọn một tổ có 1 giỏi, 3 khá và 4 trung bình là : 
 3 × 35C × 48C 
Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá và 4 trung bình thỏa yêu cầu bài toán. 
Do đó số cách chia học sinh làm 2 tổ thỏa yêu cầu bài toán là : 
 3 + 3 = 325C
5
8C
3
5C
4
8C
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5! 8! 8! 3780.
2!3! 5!3! 4!4!
Bài 90. Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. 
Người đó muốn chọn 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 
a) Mỗi loại có đúng 2 cây. b) Mỗi loại có ít nhất 1 cây. 
Trường Hàng không 2000. 
Giải 
a) Số cách chọn 2 cây xoài trong 6 cây xoài : 26C 
 Số cách chọn 2 cây mít trong 4 cây mít : 24C 
 Số cách chọn 2 cây ổi trong 2 cây ổi : 1 
 Vậy số cách chọn mà mỗi loại đúng 2 cây : = 90 cách. 26C .
2
4C
b) Chọn 1 cây ổi, 4 mít, 1 xoài : 2 × 1 × 6 = 12 cách. 
 Chọn 1 ổi, 3 mít và 2 xoài có : 2 . = 2 34C
2
6C × 4 × 15 = 120 cách. 
 Chọn 1 ổi, 2 mít và 3 xoài có : 2 = 240 cách. 24C .
3
6C
 Chọn 1 ổi, 1 mít và 4 xoài có : 2 × 4 × = 120 cách. 46C
 Chọn 2 ổi, 3 mít và 1 xoài có : 1 × 34C × 6 = 24 cách. 
 Chọn 2 ổi, 2 mít và 2 xoài có : 1 × 24C × = 90 cách. 26C
 Chọn 2 ổi, 1 mít và 3 xoài có : 1 × 4 × = 80 cách. 36C
 Vậy số cách chọn mà mỗi loại có ít nhất 1 cây là : 
 12 + 120 + 240 + 120 + 24 + 90 + 80 = 686 cách. 
Bài 91. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để 
lập 1 tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau và phải có ít nhất 2 nữ. 
Đại học Huế 2000 
Giải 
 Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam hay nữ : 645C =
45!
6!39!
 = 8145060. 
 Số cách chọn 6 học sinh toàn nam : 630C =
30!
6!24!
 = 593775. 
 Số cách chọn 5 nam và 1 nữ : 530C × 15 = 30!25!5! × 15 = 2137590. 
 Vậy có số cách chọn 6 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nữ 
 – ( + 15 ) = 5413695 cách. 645C
6
30C
5
30C
Bài 92. Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa 1 số 
chẵn các phần tử. 
Đại học Nông nghiệp khối B 2000 
Giải 
 Khi tập X có n phần tử thì số tập con của X có k phần tử là knC
 Do đó n = 10 thì : 
 Số tập con của X có 2 phần tử là 210C
 Số tập con của X có 4 phần tử là 410C
 Số tập con của X có 6 phần tử là 610C
 Số tập con của X có 8 phần tử là 810C
 Số tập con của X có 10 phần tử là . 1010C
 Vậy số tập con thỏa yêu cầu bài toán là : 
 S = + + + + 210C
4
10C
6
10C
8
10C
10
10C
 ⇔ S = 2 + 2 + 1 (do = và = ) 210C 410C 210C 810C 410C 610C
 ⇔ S = 2. 10!
2!8!
 + 2. 10!
4!6!
 + 1 = 511. 
Bài 93. Một tổ sinh viên có 20 em. Trong đó chỉ có 8 em biết nói tiếng Anh, 7 em biết 
tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em 
biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu 
cách lập nhóm. 
Đại học Sư phạm Vinh 1999 
Giải 
 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Anh : 38C
 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Pháp: 47C
 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Đức : . 25C
 Vậy số cách lập thỏa yêu cầu bài toán là : 
 × = 38C 47C × 25C 8!3!5! × 
7!
4!3!
 × 5!
2!3!
 = 1960 cách. 
Bài 94. Trong 1 hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng , các quả cầu 
đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu. 
Đại học Nông lâm khối D 2001 
Giải 
 Số cách chọn 2 quả cầu xanh, 1 đỏ, 1 vàng là : . . = 420 27C
1
5C
1
4C
 Số cách chọn 1 quả cầu xanh, 2 đỏ và 1 vàng là : . . = 280 17C
2
5C
1
4C
 Số cách chọn 1 quả cầu xanh, 1 đỏ và 2 vàng là : . . = 210 17C
1
5C
2
4C
 Vậy số cách chọn 4 quả cầu đủ 3 màu là : 
 420 + 280 + 210 = 910. 
Bài 95. Một hộp chứa 6 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi có mấy cách lấy ra 4 bi : 
a) màu tùy ý ? b) gồm 2 bi trắng và 2 bi đen ? 
Giải 
a) Lấy ra 4 bi màu tùy ý từ 11 bi là tổ hợp chập 4 của 11 phần tử. 
 Vậy có : = 411C
11!
4!7!
 = 8.9.10.11
2.3.4
 = 3.10.11 = 330 cách. 
b) Lấy ra 2 bi trắng trong 6 bi trắng là tổ hợp chập 2 của 6 phần tử. 
 Lấy ra 2 bi đen trong 5 bi đen là tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. 
 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 
 . = 26C
2
5C
6!
2!4!
. 5!
2!3!
 = 15.10 = 150 cách. 
Bài 96. Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 
 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 
 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. 
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số. 
b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu ? 3 quả cầu khác màu và khác số. 
Đại học Dân lập Thăng Long 1999 
Giải 
a) Số cách lấy 3 quả cầu cùng xanh : = • 36C 6!3!3! = 20 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng đỏ : = 35C
5!
3!2!
 = 10 
Số cách lấy 3 quả cầu cùng vàng : = 34C
4!
3!
 = 4 
Vậy số cách lấy 3 quả cầu cùng màu : + + = 34. 36C
3
5C
3
4C
• Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 1 : 1 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 2 : 1 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 3 : 1 
 Số cách lấy 3 quả cầu cùng số 4 : 1 
Vậy số cách lấy 3 quả cầu cùng số : 4. 
b) Số cách lấy 1 quả cầu xanh : 6 •
 Số cách lấy 1 quả cầu đỏ : 5 
 Số cách lấy 1 quả cầu vàng : 4 
Vậy số cách lấy 3 quả cầu khác màu : 6 × 5 × 4 = 120. 
• Chọn bất kì 1 quả cầu vàng Vi (i = 1,4 ) có 4 cách 
 sau đó chọn 1 quả cầu đỏ Đj (j = 1,5 và j ≠ i) có 4 cách 
 chọn 1 quả cầu xanh Xk (k = 1,6 và k ≠ j, i) có 4 cách 
 Do đó chọn 3 bi khác màu và khác số có 
 4 × 4 × 4 = 64 cách. 
Bài 97. Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu 
cách chọn ra : 
a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ, 
b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. 
Đại học Cần Thơ 2000 
Giải 
a) Số cách chọn 2 bi đỏ : 25C
 Số cách chọn 4 bi xanh hay vàng : 413C
 Vậy số cách chọn 6 bi có đúng 2 bi đỏ 
 . = 25C
4
13C
5!
2!3!
. 13!
4!9!
 = 5 4
2
× × 13 12 11 10
4 3 2
× × ×
× × = 7150. 
b) Số cách chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 4 bi vàng : 9 × 5 × 1 = 45. 
 Số cách chọn 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng : 
 . . = 29C
2
5C
2
4C
9!
2!7!
. 5!
2!3!
. 4!
2!2!
= 2160. 
 Số cách chọn 3 bi xanh và 3 bi đỏ : 
 . = 39C
3
5C
9!
3!6!
. 5!
3!2!
 = 840. 
 Vậy số cách chọn 6 bi mà số bi xanh bằng bi đỏ : 
 45 + 2160 + 840 = 3045. 
Bài 98. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa 
xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bông hoa gồm 7 bông. 
Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó : 
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ. 
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ 
Đại học Quốc gia TP. HCM khối D 2000 
Giải 
a) Số cách chọn 1 bông hồng đỏ : 4 
 Số cách chọn 6 bông còn lại (vàng hay trắng) : 68C
 Vậy số cách chọn đúng 1 bông đỏ : 4 = 112. 68C
b) Số cách chọn 3 bông vàng, 3 bông đỏ, 1 bông trắng : 
 × 35C 34C × 3 = 120 
 Số cách chọn 4 bông vàng và 3 bông đỏ : 
 = 20 45C × 34C
 Số cách chọn 3 bông vàng và 4 bông đỏ : 
 × = 10 35C 44C
 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 
 120 + 20 + 10 = 150 cách. 
Bài 99. Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 1 hộc có 7 ô 
trống. 
a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau. 
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh 
xếp cạnh nhau. 
Học viện Quân Y 2000 
Giải 
a) Xếp 3 bi đỏ khác nhau vào hộc có 7 ô trống có : cách. 37A
 Còn 4 ô trống xếp 3 bi xanh giống nhau vào có cách. 34C
 Vậy có : . = 37A
3
4C
7!
4!
 × 4!
3!1!
 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 cách. 
b) Số cách xếp 3 bi đỏ đứng cạnh nhau : 3! 
 Số cách xếp 3 bi xanh đứng cạnh nhau : 1 
 Số cách xếp 2 loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ 1 trống : 2! 
 Số cách xếp 2 loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ 4 trống : 2! 
 Số cách xếp 2 loại bi đỏ, xanh vào để ô thứ 7 trống : 2! 
 × × × 0 0 0 × × × 0 0 0 × × × 0 0 0 
 Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 
 3! (2 + 2 + 2) = 36 cách. 
Cách khác 
Bước 1 :Số cách xếp 3 bi đỏ đứng cạnh nhau : 3! 
 Số cách xếp 3 bi xanh đứng cạnh nhau : 1 
Bước 2: Xem như xếp hai vật khác nhau vào 3 ô trống ta có: 23A 3!= . 
Vậy có 3!.3! =36 cách. 
Bài 100. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn 4 bi từ hộp. Hỏi 
có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu. 
Đ ại học Huế 1999 
Giải 
 Số cách chọn 4 bi bất kì trong 15 bi trên là : 
 = 415C
15!
4!11!
 = 15 14 13 12
24
× × × = 1365. 
 Số cách chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng