Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian - Quang Thiện

x y z 
 

.
ría tương đối của 2 đường thẳng :
7 3
1 4
y z 
 , d’: 3 1 2
6 2 1
x y z  
 

.
2 3
6 3
y z 
 , d’: 7 6 5
6 4 2
x y z  
  .
ng đối của đường thẳng và mặt phẳng :
 
9 1, : 3 5 2 0
3 1
y z P x y z      
3 , ( ) : 3 3 2 5 0
4 3
y z P x y z      .
1 4 ( ) : 2 4 1 0
2 3
y z P x y z      
 TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐIỂM ,GIỮA MỘT ĐIỂM VÀ MỘT ĐƯỜNG 
P GIẢI TOÁN :
 một điểm đến một đường thẳng:
B(xB;yB;zB) .Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là :
 một điểm đến một đường thẳng :
t đường thẳng d :
Q của mp(p)qua A và vuông góc vơí (d),giao điểm H.
độ H.
ảng cách AH.
d)dưới dạng tham số (x;y;z) trong PTTS chính là toạ độ điểm M lấy tuỳ ý trên d.
2 theo tham số t đó là một hàm số bậc 2 theo t : AM2=at2+bt+c(a>0)
cách AH chính là giá trị nhỏ nhất của AM .Do đó 21 ( 4 )
2
AH b ac
a

    
ỤNG :
ABC với A(1;2;-1) ,B(0;3;4), C(2;1;-1)
2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z     
ÔN THI TNTHPT LUYỆN THI-CĐ-ĐH.CHỦ ĐỀ :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn: QUANG THIỆN
Khổ luyện thành tài Chúc các em thành công! Đt:0982097984
a/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. b/Tính độ dài của các đường cao của tam giác ABC.
Bài 2:Tìm khoảng cách từ A(1;3;5) đến đường thẳng (d):
2 1 0
3 2 3 0
x y z
x y z
   

   
Bài 3:Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng 2 1( ) :
1 2 1
x y zd    .
a/Viết phương trình của mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.
b/Tính khoảng cách từ A đến d.(ĐHBK 1995)
Bài 4(ĐH-CĐ 2002):Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thảng 
1
2 4 0
( )
2 2 4 0
x y z
x y z
   
 
   
2
1
( ) 2
1 2
x t
y t
z t
 

  
  
a/Viết phương trình mặt phẳng (p)chứa đường thẳng ∆1 và song song với ∆2 .
b/Cho điểm M(2;1;4).Tìm toạ độ điểm H thuộc ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài ngắn nhất. 
Bài 5(CĐ-ĐH KD2007): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đường 
thẳng 1 2( ) :
1 1 2
x y z 
  

.
a/Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB).
b/Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất .
VẤN ĐỀ : KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG .VỊ TRÍ CỦA 2 ĐIỂM 
Đ/V MỘT MẶT PHẲNG :
I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cho điểm M và mp(P) .Hình chiếu của M trên (P) là H .khoảng cách MH chính là khoảng cách từ M đến(P)
M(xM;yM;zM),(P):Ax+By+Cz+D=0
2Vị trí của 2 điểm đối với 1 mặt phẳng :
Cho mp(P):Ax+By+Cz+D=0
Đặt tM=AxM+ByM+CzM+D
tM.tN>0 M,N nằm cùng một phía đ/v mặt phẳng (P)
tM.tN M,N nằm khác phía đ/v mặt phẳng (P)
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: tìm khoảng cách từ:
1/Điểm A(-2;-4;;3) đến mặt phẳng (P):2x-y+2z-3=0, 2/ Điểm B(2;-1;-1) đến mặt phẳng (Q):16x-12y-
15z-4=0, 3/Điểm C(4;2;-2) đến mặt phẳng (R):12y-5z+5=0
Bài 2:(ĐH-HN 1996).Tính độ dài đường cao hạ từ đỉng D (4;-1;0) của tứ diện ABCD biết A(1;1;1),
B(-2;0;2),C(0;1;-3).
Bài 3: Cho mp (P):2x-3y+z-7=0 và các điểm M(0;2;-1),N(2;1;8),P(-1;-3;0).
a/Hai điểm nào cùng phía đ/v mp(P), b/Hai điểm nào khác phía đ/v mp (P).
VẤN ĐỀ :ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ,QUA MỘT MẶT 
PHẲNG :
I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng :
Cho điểm A và đường thẳng d .Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.
+Tìm toạ độ H hình chiếu của A trên d.
+Áp dụng công thức tính toạ độ H là trung điểm của AA’
' ' ', ,
2 2 2
A A A A A A
H H H
x x y y z zx y z    
2.Điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng :
Cho điểm A và mp(P).gọi A’ là điểm dối xứng của A qua (P)
M
2 2 2
Ax
( , ( )) M M
By Cz D
d M P
A B C
  

 
ÔN THI TNTHPT LUYỆN THI-CĐ-ĐH.CHỦ ĐỀ :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn: QUANG THIỆN
Khổ luyện thành tài Chúc các em thành công! Đt:0982097984
Bước 1:Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên mp(P)
Bước 2 :Áp dụng công thức tính toạ độ H là trung điểm của AA’
' ' ', ,
2 2 2
A A A A A A
H H H
x x y y z zx y z    
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1:a/Cho điểm A(1;2;-1)và đường thẳng d : 2 1
1 3 3
x y z 
 

.Hãy tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua d.
b/Tìm điểm A’ đối xứng của A(2;3;-1) qua mặt phẳng (P) : 2x-y-z-5=0.
Bài 2:Tìm điểm đối xứng của A(2;-1;3) qua các đường thẳng .
2 0
/( ) :
2 5 0
x y z
a d
x y z
  

   
2
/( ) : 1
1 2
x t
b d y t
z t


 
   
1 2 3/( ) :
1 2 1
x y zc d    

Bài 3: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua :
a/mp(P):2x+y-z-3=0.
b/ mp(P):
1 2
1 2 1 2
1 2
1
2 2 ( , )
1
x t t
y t t t t R
z t t
  

   

   
Bài 4(ĐH_CĐ-KD-2006)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng :
1
2 2 3( ) :
2 1 1
x y zd    

2
1 1 1( ) :
1 2 1
x y zd    

a/Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d1.
b/Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2
VẤN ĐỀ:HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU , ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG :
I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1.CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THĂNG CHÉO NHAU:
Cho đường thẳng (d) có VTCP av








tazz
tayy
taxx
30
20
10
và
 
bVTCPcã
'd









'tb'zz
'tb'yy
'tb'xx
30
20
10
*Cách 1:Đường thẳng d và d’ chéo nhau a
r
,b
r
, 'MM
uuuuur
không đồng phẳng[ a
r
,b
r
] 'MM
uuuuur
≠0
*Cách2 :Chứng minh hai đường thẳng dvà d’ chéo nhau ta thực hiện các bước sau :
+Hệ phương trình tạo bởi 2 đt vô nghiệm
+Véc tơ chỉ phương của chúng không cùng phương .
2.ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG :
+Tìm VTCP u
r
của ∆ vuông góc với d và d’ ( u
r
=[ a
r
,b
r
] )
+Viết phương trình mặt phẳng (P), chứa ∆ và d
+ Viết phương trình mặt phẳng (Q), chứa ∆ và d’
*Phương trình ∆ chính là tập hợp hai phương trình mp(P),(Q).
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: Chứng tỏ rằng 2 đường thẳng sau chéo nhau:
a /  1
1 2
: 3
2 3
x t
d y t
z t
 

 
   
 2
2
: 1
3 2
x t
d y t
z t


 
  
b/  
1
: 2
3
x t
d y t
z t
 

  
  
 
5 0
' :
2 1 0
x y z
d
x y
   

  
c/  1
3 5 0
:
2 1 0
x y
d
y z
  

  
 2
2 0
:
2 0
x y z
d
x z
  

 
d/  1
1
: 2
2
x t
d y t
z t
  


  
 2
1 2
: 7
3 4
x t
d y t
z t
 

 
  
ÔN THI TNTHPT LUYỆN THI-CĐ-ĐH.CHỦ ĐỀ :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn: QUANG THIỆN
Khổ luyện thành tài Chúc các em thành công! Đt:0982097984
Bài 2: Chứng minh 2 đường thẳng sau chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của 2 
đường thẳng đó .
a/  1
1 2
: 2 2
x t
d y t
z t
 

 
  
 2
2
: 5 3
4
x t
d y t
z


 
 
b/ 2 1( ) :
3 2 2
x y zd   

, 1 1( ') :
1 2 4
x y zd   
c/  1
1
: 2 2
3
x t
d y t
z t
 

 
 
 2
1
: 3 2
1
x t
d y t
z
 

 
 
d/  1
1 2
: 2 2
x t
d y t
z t
 

 
  
 2
2
: 5 3
4
x t
d y t
z
 

  
 
Bài 3: Trong không gian cho hai đường thẳng : 1
1 2( ) :
2 1 1
x y zd   

 2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
  

 
 
1/Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
2/Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2.
VẤN ĐỀ :TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU:
I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1/Cách 1: Cho đường thẳng ∆ qua M0 và có VTCP u
r
và ∆’ qua M0’ có VTCP 'u
ur
'
0 0, ' .
( , ')
, '
u u M M
d
u u
 
 
  
 
 
uuuuuurr ur
r ur
2/Cách 2:
*/Lập phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và song song với d2 : d(d1,d2)=d(M,(p)),Md2
*/Lập phương trình mặt phẳng (P)qua d1 và song song với d2 và mặt phẳng (Q)qua d2 và song song với 
d1: d(d1,d2)=d((P),(Q)).
(+)Góc giữa 2 đt: 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a a +a
os( d,d')=
b b b
c
a a a b b b
 
   
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1:Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình :
a/ 1 7 3( ) :
2 1 4
x y zd     , 1 2 2( ') :
1 1 1
x y zd    

.b/
1
2z
3
1y
2
1x:d1




 ,
2
z
5
2y
1
2x:d2





Chứng tỏ rằng d và d’ chéo nhau và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
Bài 2:Trong không gian oxyz cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’ .Biết 
A’(0;0;0),B’(a;0;0),D’(0;a;0),A(0;0;a) ,(trong đó a>0). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,B’C’.
a/Viết phương trình mặt phẳng (p)đi qua M và song aong với đường thẳng AN,BD’.
b/Tính thể tích tứ diện ANBD’.
c/Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AN và BD’.
Bài 3:Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng :
2 1 0
( ) :
4 0
x z
d
x y
  

   
3 2 0
( ') :
3 3 6 0
x y
d
y z
  

  
Bài 4: Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình :
1
( ) :
x t
d y t
z t
 


 
2 '
( ') : 1 '( , ' )
'
x t
d y t t t R
z t


  
 
a/Chứng minh rằng hai đường thẳng chéo nhau .
ÔN THI TNTHPT LUYỆN THI-CĐ-ĐH.CHỦ ĐỀ :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn: QUANG THIỆN
Khổ luyện thành tài Chúc các em thành công! Đt:0982097984
b/Viết phương trình các mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau và lần lượt đi qua d,d’.
c/Tính khoảng cách giữa d và d’.
Bài 5:Cho hai phương trình (d),(d’)có pt
0
( ) :
4 0
x y
d
x y z
 

   
3 1 0
( ') :
2 0
x y
d
y z
  

  
a/Chứng tỏ rằng 2 đường thẳng chéo nhau .
b/Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó .
c/Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;3;1) và cắt cả 2 đường thẳng .
Bài 6(ĐH-CĐ-KB 2006)Trong không gian cho điểm A(0;1;2) và 2 đường thẳng :
1 1( ) :
2 1 1
x y zd   

 
1
' : 1 2
2
x t
d y t
z t
 

  
  
a/Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với d và d’.
b/Tìm toạ độ các điểm M thuộc d và N thuộc d’ sao cho A,M,N thẳng hàng .
Bài 7(ĐH-CĐ-KA 2006):Trong không gian cho hình lập phương ABCD.