Luyện thi Đại học Cao đẳng - Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian - Quang Thiện

ÔN THI TNTHPT LUYỆN THI-CĐ-ĐH.CHỦ ĐỀ :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
.Biên soạn: QUANG THIỆN
CHUYÊN ĐỀ III:PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
A/CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1/Cho mặt cầu tâm I(a;b;c),bán kính R:
M(x;y;z) thuộc mặt cầu (I,R)IM=R(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2.(1)
Dạng tổng quát: x2 +y2 +z2 -2ax-2by-2cz+d=0 (2).(d=a2 +b2 +c2 –R2)
2/Giao của mặt cầu và mặt phẳng :
Trong không gian cho phẳng (P) và mặt cầu (S) co phương trình :
(P):Ax+By+Cz+D=0, (S):(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2 .Gọi H là hình chiếu của tâm I của (S) trên mặt
phẳng (P) thì IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):
2 2 2
Aa
( , ( ))
Bb Cc D
IH d I P
A B C
  
 
 
+Nếu IH>R thì mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung .
+Nếu IH=R thì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tại H ,H gọi là tiếp điểm ,mp(P) gọi là mặt phẳng tiếp diện
+Nếu IH<R thì giao của mặt cầu và mạet phẳng là một đường tròn tâm H có bán kính 2 2r R IH 
Vậy hệ phương trình :
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) 0
Ax By Cz D
x a y b z c
   

     
với điều kiện
2 2 2
Aa Bb Cc D
R
A B C
  

 
là phương
trình của một đường tròn.
VẤN ĐỀ I:LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU :
I/PHƯƠNG PHÁP:
Cách1: Xác định tâm I(a;b;c) và bán kính R của mặt cầu .Khi đó phương trình là :(x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R2.
Cách 2:Viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng : x2 +y2 +z2-2ax-2by-2cz+d=0,Tìm hệ số a,b,c,d thay vào(1)
II/BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a/(S) có tâm là I(1;2;3) và bán kính R=5 b/(S) có tâm I(-1;2;3) và đi qua điểm M(1;0;1).
c/Có đường kính là AB với A(6;2;-5),B(-4;0;7). d/Có tâm I(3;-5;-2) và tiếp xúc với mp(P):2x-y-3z+11=0
Bài 2: Trong không gian cho tứ diện ABCD biết A(1;1;1),B(1;2;1),C(1;1;2),D(2;2;1).
a/ Hãy lập phương trình của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, b/Tìm tâm và bán kính .
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ dộ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mạt phẳng (P):
x+y+z-2=0.Viết phương trìnhy mặt cầu đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mp(P).
Bài 4(CĐKTĐỐI NGOẠI-05): Trong không gian cho điểm M(0;1;-3),N(2;3;1).
a/Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với MN.
b/Viết phương trình tổng quát của mặt cầu (S) đi qua điểm M,N và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Bài 5(ĐHQG.TP.HCM96): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) sao cho (S) cát đường thẳng 
5 4 3 20 0
( ) :
3 4 8 0
x y z
d
x y z
   

   
tại hai điểm A,B thoả AB=40
Bài 6(TNPT02): Trong không gian cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 và đường thẳng 1( ) :
1 1 1
x y zd  

1/Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mp(P) với các mặt phẳng toạ độ .Tính thể
tích khối tứ diện ABCD biết A,B,C là giao điểm tương ứng của (P) với các trúc Ox,Oy,Oz ,D là giao điểm của
(d)với mặt phẳng Oxy.
2/Viết phương trình mặt cầu (S) đi qau 4 điểm A,B,C,D .Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn là giao
tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
Bài 7(TNPT 03-04): Trong không gian cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2),D(4;-1;2) .
1/Chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng .
2/Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy .Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm
A’,B,C,D.
3/Víêt phương trình tiếp diện (P) của (S) tại A’.
Bài 8(CĐ-ĐH-KD2004): Trong không gian cho 3 điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z-2=0
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Bài 9:Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 3 ñieåm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) .
ÔN THI TNTHPT LUYỆN THI-CĐ-ĐH.CHỦ ĐỀ :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
.Biên soạn: QUANG THIỆN
a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua goác toïa ñoä O vaø vuoâng goùc vôùi BC.Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa AC vôùi
maët phaúng (P).
b) Chöùng minh tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng. Vieát phöông trình maët caàu ngoïai tieáp töù dieän OABC.
VẤN ĐỀ 2:MẶT CẦU VÀ ĐƯƠNG THĂNG:
I/PHƯƠNG PHÁP:
Cho mặt cầu (S) tâm I và bán kính R, H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng (d).
*/(d) cát (S)IH<R
*(d) tiếp xúc (S) IH=R.
*(d) không có điểm chung với (S) IH>R.
II/BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:Cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2-2x-4y+6z-2=0.Xét vị trí tương đối của (S) đối với các đường thẳng (d)
khi : a/(d):(x=1-2t;y=2+t;z=3+t) , b/(d)(x=1-t;y=2-t;z=4); c/(d)(x=1+2t;y=2-2t;z=3)
Bài 2: Tìm vị trí tương đối của :
a/Đường thẳng 1 2( ) :
2 1 1
x y zd   

với mặt cầu (S):x2 +y2 +z2-2x+4z+1=0.
b/Đường thẳng 
2 1 0
( ) :
2 3 0
x y z
d
x z
   

  
với mặt cầu (S):(x-1)2 +(y-2)2 +z2 =16.
VẤN ĐỀ 2:MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG :
I/PHƯƠNG PHÁP: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).Gọi Ilà tâm .R là bán kính của (S) ,H là hình
chiếu của I lên mặt phẳng (P).
*IH>R mặt phẳng (P) và (S) không có điểm chung .
*IH=R mặt phẳng (P) và (S) có một điểm chung H,mp(p)gọi là mặt phẳng tiếp diện ,H là tiếp điểm
*IH<R mặt phẳng (P) và (S) có một đường tròn chung tâm H bán kính 2 2r R IH 
II/BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho mặt phẳng (P):2x+2y+z+1=0 và mặt cầu (S) có phương trình :x2 +y2 +z2-12x+4y-6z+24=0.
a/Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).
b/Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Bài 2(ĐHTL-HÀNỘI2000): Cho mặt cầu (S) :x2 +y2 +z2=4 và mặt phẳng (P):x+z=2.
a/CMR (P) cắt (S) .Xac định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn giao tuyến (C) của (P) và (S).
b/Viết phương trình đường cong (C1) là hình chiếu vuông góc của (C) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bài 3(ĐHQG.TP.HCM94): Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
8 11 8 30 0
( ) :
2 0
x y z
d
x y z
   

  
và tiếp
xúc với mặt cầu x2 +y2 +z2+2x-6y+4z-15=0.
Bài 4(HVQY-95): Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) x2 +y2 +z2-10x+2y+26z-113=0
và song song với hai đương thẳng 5 1 13( ) :
2 3 2
x y zd    

và (d’);(x=-7+3t;y=-1-2t;z=8).
Bài 5(TNPT04-05): Trong không gian cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2-2x+2y+4z-3=0 và đường thẳng
2 2 0
( ) :
2 0
x y
d
x z
  

 
1( ') :
1 1 1
x y zd   
 
1/Chứng minh d và d’ chéo nhau .
2/Viết phương trình tiếp diện cảu mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với 2 đường thẳng d và d’.
Bài 6(TNPT 06)Trong không gian cho ba điểm A(1;0;-1),B(1;2;1),C(0;2;0),Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
1/Viết phương trình đường thẳng OG.
2/Viết phươngtrình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O.A,B,C.
3/Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 7(ĐH-CĐ-KB2007): Trong không gian cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2-2x+4y+2z-3=0 và mặt phẳng
(P):2x-y+2z-14=0.
1/Viết phương trình mặt phẳng chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2/Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất