Luyện tập toán tổ hợp

Phần 1.tổ hợp 
I.Tóm tắt lý thuyết
Trong bài viết này ta quy ước n,k là các số tự nhiên với 
Cho một tập hợp A gồm n phần tử .
*Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị .Số hoán vị của n phần tử là Pn=n!.
*K phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là .
*K phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là .
 *Công thức khai triến nhị thức NiuTơn . 
 *Các công thức thườngdùng :
 * 	(1)
 * 	(2)	
 * 	(3)
 * 	(4)
Sử dụng (2) ,ta chứng minh được hai công thức 
 II. một số dạng toán thường gặp 
 1. Bài toán tính tổng 
 	 * Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức 
 	 với n >1.
 	Lời giải . Với k< n ,áp dụng công thức (2) và lưu ý ta có 
 	Vậy 
 	 Nếu k=n thì .
 	 Lưu ý . Nhiều bạn đã mắc sai lầm khi viết 
 	 (!)
 	 Phải xét 2 trường hợp đối với k như trong lời giải trên .
 	 *. Thí dụ 2. Tính tổng 
 	 Lời giải . áp dụng công thức (1),ta có 
Do đó 
 Ta dược Xem công thức (4) .Vậy S=
3.Phương trình tổ hợp
Phương trình tổ hợp là phương trình có chứa ẩn số trong công thức tổ hợp ,chỉnh hợp,hoán vị.
*Thí dụ 6.Giải phương trình 
Lời giải : ĐK: phương trình đã cho biến đổi thành 
	(x-12)(2x2+11x+147) = 0
	PT có nghiệm x = 12.
Lưu ý.Khi giải phương trình tổ hợp ta làm như sau:
	-Đặt điều kiện cho ẩn số 
-Sử dụng các công thức về hoán vị,chỉnh hợp ,tổ hợp để biến đổi ,rút gọn và giải phương trình.
	-Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán và kết luận.
4. Tính hệ số của đa thức
* Thí dụ 8. Tính số hạng không chứa x, khi khai triển P(x) = biết rằng n thoả mãn 
Lời giải. áp dụng công thức (2), ta có
	= = 
	Giả thiết tương đương với 
	Khi đó P(x) = =
	Số hạng không chứa x tương ứng với .
	Số hạng phải tìm là 
Lưu ý. Tính hệ số của số hạng (là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của p(x) = ( f (x))n, ta làm như sau:
Viết P(x) = ; số hạng chứa tương ứng với g(k) = ; giải PT ta tìm được k.
Nếu hệ số phải tìm là ; nếu hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa , hệ số phải tìm bằng 0.
*Thí dụ 9.Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức
	P(x) = (2x + 1)13 = 
Lời giải. Ta có P(x) = (2x + 1)13 = 
Vậy 
Xét BPT ( với ẩn số n):
Do đó BĐT đúng với và dấu đẳng thức không xảy ra.
Ta được và 
Vậy max( = 
Lưu ý. Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển thành một đa thức, ta làm như sau:
Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT với ẩn số n; hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT trên.
Bài tập phần tổ hợp :
Bài I.	
1)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
2)Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
3)Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2008 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?
4)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?
5)Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn ,mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau?
6)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tông các chữ số hàng chục ,hàng trăm ,hàng nghìn bằng 8 ?
7)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1,5?
8)Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đồng thời ba điều kiện sau : gồm đúng 4 chữ số đôi một khác nhau ; là số chẵn ;nhỏ hơn 2158 ?
9).Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số kác nhau và chữ số 2 đứngcạnh chữ số 3 ?
10).Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau ?
11)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
12)Từ 9 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau.
Bài II.	
1) Một lớp học có 33 học sinh ,trong đó có 7 nữ .Cần chia lớp học thành 3 tổ ,tổ I có 10 học sinh,tổ II có 11 học sinh,tổ III có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
2) Trong một môn học ,thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó , 10câu hỏi trung bình ,15 câu hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau ,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,trung bình ,dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
3) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A. 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.?
4) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.?
5)Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4.Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài III. 1.Chứng minh với k,n thoả mãn các điều kiện ta có 
	a) 
	b) 
4) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6A - PnA = 12.
5) Giải bất phương trình : 
6) Giải hệ phương trình : 
7)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của với x > 0.
8)Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển bằng 36.Tìm số hạng thứ 7.
9)Trong khai triển ,hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ,biết 
10)Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24 ,tính tổng các hệ số của các số hạng chứa xk với k > 0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phương.
11)Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của 
12)Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của : x( 1 - 2x )5 + x2( 1 + 3x)10
13)Tìm hệ số của số hạng x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của .
 Biết rằng 
15)Tìm số tự nhiên n thoả mãn : 
16) Cho khai triển nhị thức 	
Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n,tìm n và x.
 17)Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n.
Bài IV.	
1) Trên các cạnh AB, BC, CD , DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1,2,3 và n điểm phân biệt khác A ,B, C, D . Tìm n biết rằng số tam giác có ba đỉnh lấy từ n+6 điểm đã cho là 439
2)Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4).Biết rằng ,số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A .Tìm sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất .
3)Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 .Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt ,trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n 2).Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho .Tìm n.
4)Tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất.
5)Cho tập A gồm n phần tử , n 7.Tìm n,biết rằng số tập hợp con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A.
6)Cho tập A gồm n phần tử , n > 4.Tìm n, biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ.
7)Biết rằng 	(2 +x )100 = a0 +a1x+a2x2 + ...+a100x100 .Chứng minh rằng , a2 <a3 . 
với giá trị nào của k thì ak < ak+1 ?
8)Giả sử (1 +2x)n = a0+a1x+anxn .Biết rằng a0 +a1+a2 ++an = 729.Tìm n và số lớn nhất trong các số a0,a1,a2,,an.
9)Giả sử n kà số nguyên dương và (1+x)n=a0+a1x++anxn. Biết răng tồn tại số k nguyên dương (1) sao cho hãy tính n.
10)Cho đa giác đều A1A2A2n (n 2, n nguyên ) nội tiếp đường tròn (0).Biết răng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2,,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2,A2n, tìm n.
	Hết Phần 1..