Lượng giác - Chương III: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

 x cos5x cos3x cos5x 0
2cos3x cos2x 2cos4x cos x 0
4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔ + + =
⇔ + + + =
⇔ + =
⇔ − + −
( )
( )
⎡ ⎤⇔ − + −⎣ ⎦
⎡⎡ ⎤+ − + − =⎣ ⎦⇔ ⎢ =⎢⎣
⎡ − − =⇔ ⎢ =⎣
±⇔ = ∨ =
2 2
2
2
4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0
2 1 cos 2x 3 cos 2x 2cos 2x 1 0
cos x 0
4 cos 2x cos 2x 1 0
cos x 0
1 17cos 2x cos x 0
8
=
( )
1 17 1 17cos2x cos cos2x cos cos x 0
8 8
x k x k x k k Z
2 2 2
+ −⇔ = = α ∨ = = β ∨ =
α β π⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∨ = + π ∈
 ( )8 8 217sin x cos x cos 2x *
16
+ = Bài 68: Giải phương trình:
Ta có: 
( )
( )
28 8 4 4 4 4
222 2 2 2 4
2
2 4
2 4
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
1 11 sin 2x sin 2x
2 8
11 sin 2x sin 2x
8
+ = + −
⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − +
Do đó: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⎛ ⎞⇔ − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ + − =
⎡ = −⎢⇔ ⇔ −⎢ =⎢
=
π⇔ = ⇔ = + ∈
2 4 2
4 2
2
2
1* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại 1 11 cos 4x1 2 2sin 2x
cos 4x 0 x 2k 1 , k Z
8
Bài 69
⎣ 2
( )35x xsin 5cos x.sin *
2 2
= : Giải phương trình: 
Nhận xét thấy: xcos 0 x k2 cos x 1
2
= ⇔ = π + π ⇔ = − 
Thay vào (*) ta được: 
π⎛ ⎞ ⎛+ π = − + π⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
5sin 5k 5.sin k
2 2
π ⎞⎟⎠ , không thỏa k∀ 
xcos
2
Do không là nghiệm của (*) nên: 
( ) ⇔ = 25x x x x* sin .cos 5 cos x.sin cos
2 2 2 2
 và xcos 0
2
≠ 
( ) 31 5sin3x sin2x cos x.sin x
2 2
⇔ + = và ≠xcos 0 
 và 
2
3 33sin x 4sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x⇔ − + = ≠xcos 0
2
2 3
xcos 0
2
3 4sin x 2cos x 5cos x sin x 0
⎧ ≠⎪⇔ ⎨⎪ − + = ∨⎩
=
3 2
xcos 0
2
x5cos x 4 cos x 2cos x 1 0 sin 0
2
⎧ ≠⎪⎪⇔ ⎨⎪ − − + = ∨⎪⎩
=
( ) ( )2
cos x 1
xcos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠ −⎧⎪⇔ ⎨ − + − = ∨ =⎪⎩
≠ −⎧⎪⎡⎪⎢ =⎪⎢⎪⇔ − +⎨⎢ = = α⎪⎢⎪⎢ − −⎪⎢ = = β⎣⎩
cos x 1
cos x 1
1 21cos x cos
10
1 cos
10
⎪⎢
1 2cos x
( )⇔ = π = ±α + π = ±β + π ∈x k2 hay x k2 hay x k2 , k Z 
 ( ) ( )2sin2x cot gx tg2x 4 cos x *+ = Bài 70: Giải phương trình:
iều kiện: và cos2x 1Đ 0 cos2x 0≠ sin x 0 cos2x≠ ⇔ ≠ ∧ ≠ 
Ta có: cos x sin2xcot gx tg2x
sin x cos2x
+ = + 
cos2x cos x sin2xsin x
sin x cos2x
cos x
sin x cos2x
+=
=
2cos x2sin x.cos x 4 cos x
sin x cos2x
⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Lúc đó: (*) 
( ) ( )
( )
( )
⇔ =
⇔ + = +
⇔ + = =
⇔ = − ∨ = ≠ ≠
2
2cos x 2 cos x
cos 2x
cos 2x 1 2cos 2x cos 2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2cos 2x
1cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2
π⇔ = π + π ∨ = ± + π ∈
π π⇔ = + π ∨ = ± + π ∈


2x k2 2x k2 , k
3
x k x k , k
Bài 71
2 6
 ( )2 6x 8x2 cos 1 3cos *
5 5
+ = : Giải phương trình:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + + =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
212x 4x1 cos 1 3 2 cos 1
5 5
 Ta có : (*) − ⎟⎠
 ⎛ ⎞⇔ + − = ⎜ ⎟⎝ ⎠
3 24x 4x 4x2 4 cos 3cos 3 2 cos 1
5 5 5
 −
Đặt ( )4t cos x điều kiện t 1
5
= ≤ 
Ta có phương trình : 
( )( )
( )
3 2
3 2
2
4t 3t 2 6t 3
4t⇔ 6t 3t 5 0
t 1 4t 2t 5 0
1 21 1 21t 1 t t lọai
4 4
− + = −
− − + =
⇔ − − − =
− +⇔ = ∨ = ∨ =
Vậy 
( )
• = ⇔ = π
π⇔ = ∈
4x 4xcos 1 2k
5 5
5kx k
2
Z
( )
( )
4x 1 21cos cos với 0 2
5 4
4x 2
5
5 5x , Z
4 2
−• = = α < α < π
⇔ = ±α + π
α π⇔ = ± + ∈
l
l l
Bài 72 ( )3tg x tgx 1 *
4
π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ : Giải phương trình 
 t x x t
4 4
π π= − ⇔ = + Đặt
3 1 tgttg t tg t 1 1 với cos t 0 tgt 1
4 1 tgt
π +⎛ ⎞= + − = − ≠ ∧⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (*) thành : ≠
⇔ = −
3 2tgttg t
1 tgt
( )
)( )
( )
(
3 4
3 2
2
tg t tg t 2tgt
tgt tg t tg t 2 0
t 1 tg t 2tgt 2 0
tgt 0 tgt 1 nhận so đi àu kiện
t k t k , k
4
⇔ − =
⇔ − + =
+ − + =
⇔ = ∨ = −
π⇔ = π∨ = − + π ∈¢
Vậy (*) 
tgt tg⇔
e
x k hay x
4
⇔ = + π = k ,kπ π ∈¢ 
Bài 73
4 4
4sin 2x cos 2x cos 4x (*)
tg x tg x
4 4
+ =π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 : Giải phương trình 
Điều kiện 
sin x cos x 0 sin 2x 0
4 4 2
sin π π⎛⎪ ⎜ x cos x 0 sin 2x 04 4 2
⎧ ⎧π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ≠ − ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎨ π⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪+ + ≠ + ≠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩
±
Do : 
⇔
cos2x 0 sin 2x 1⇔ ≠ ⇔ ≠ 
1 tgx 1 tgxtg x tg x . 1
4 4 1 tgx 1 tgx
π π − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
Khi cos2x 0 thì :≠ 
( )
( )
( )
( )
4 4 4
2 2 4
2 4
2 4
4 2
2
2
2
* sin 2x cos 2x cos 4x
1 2sin 2x cos 2x cos 4x
11 sin 4x cos 4x
2
11 1 cos 4x cos 4x
2
2 cos 4x cos 4x 1 0
cos 4x 1
1 sin 4x 11cos 4x vô nghiệm
2
sin 4x 0
2sin 2x cos2x 0
sin 2x 0 do cos2x 0
2x k ,k x k
⇔ + =
⇔ − =
⇔ − =
⇔ − − =
⇔ − − =
⎡ =⎢⇔ ⇔⎢ = −⎢⎣
⇔ =
⇔ =
⇔ = ≠
⇔ = π ∈ ⇔ =¢
− =
, k
2
π ∈¢
 ( )4 21 248 1 cot g2x cot gx 0 *cos x sin x− − + = ( )Bài 74 :Giải phương trình:
Điều kiện : 
Ta có : 
sin 2x 0≠ 
( )2 2
cos2x cos x1 cot g2x cot gx 1 .
sin 2x sin x
sin 2x sin x cos2x cos x
sin x sin 2x
cos x 1 do cos x 0
2sin x cos x 2sin x
+ = +
+=
= = ≠
Lúc đó (*) 4 4
1 148 0
cos x sin x
⇔ − − =
4
4 4 4 4
1 1 sin x cos48
cos x sin x sin x cos x
+⇔ = + = 
4 x
4 4 4 4
4 2 2
4 2
48sin x cos x sin x cos x
3sin 2x 1 2sin x cos x
13sin 2x sin 2x 1 0
2
⇔ = +
⇔ = −
⇔ + − =
( )
( )
2
2
2sin x lọai
3
1sin x nhận do 0
2
⎡ = −⎢⇔ ⎢⎢ = ≠⎢⎣
( )
( )
2 2
cos 4x 0
2
kx k Z
8 4
⇔ =
π
π π⇔ = + ∈
Bài 75
1 11 cos 4x⇔ − =
4x kπ⇔ = +
 : Giải phương trình 
( ) ( )8 8 10 10 5sin x cos x 2 sin x cos x cos2x *4+ = + + 
Ta có : (*) 
( ) ( )8 10 8 10 5sin x 2sin x cos x 2 cos x cos2x4⇔ − + − = 
( ) ( )
( )
8 2 8 2
8 8
8 8
5sin x 1 2sin x cos x 1 2 cos x cos2x
4
5sin x.cos2x cos x cos2x cos2x
4
4 cos2x sin x cos x 5cos2x
⇔ − − − + =
⇔ − =
⇔ − =
( )
( )( )
8 8
2
2
s2x 0 hay 4 sin x x 5
cos2x 0 hay 4 1 sin 2x 5
2
cos2x 0 hay 2sin 2x 1(Vô nghiệm )
= =
= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ = − =
co cos⇔ −
4 4 4 4cos2x 0 hay 4 sin x cos x sin x cos x 5
1
⇔ = − + =
⎛ ⎞⇔
2x k ,kπ⇔ = + π ∈¢ 
2
kx ,k
4 2
π π⇔ = + ∈¢ 
( )8 84 sin x cos x 5− =Cách khác: Ta có vô nghiệm 
Vì ( )8 8sin x cos x 1, x− ≤ ∀ nên ( )8 84 sin x cos x 4 5, x− ≤ < ∀ 
Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) 
với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx 
Lúc đó 
2
2 2
2t 2t 1 ttg2x ,sin2x ,cos2x
1 t 1 t 1 t2
−= = =− + + 
Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) 
Giải phương trình 
( )− = + −+ 2
cos 2x 1cot gx 1 sin x sin 2x *
1 tgx 2
Điều kiện : −
Đặt t = tgx thì (*) thành : 
sin2x 0và tgx 1≠ ≠ 
2
22
2 2
1 t
1 1 1 t 1 2t1 t1 1 .
t 1 t 2 1 t 2 1 t
−
⎡ ⎤−+− = + − −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2
22
2 2
2t t do t 1
t 2 t 1 t
t
t 1 t 1 t
1 t 1 t 1 t t
t 1 nhận do t 11 t 0
1 t 1 t t 2t t 1 0 vô nghiệm
− ≠ −+
+
⇔ − + = −
= ≠ −⎡− =⎡⇔ ⇔ ⎢⎢ + = − − + =⎢⎣ ⎣
Vậy (*)
1 t 1 t 1 .− −⇔ = +
t 1 1+ +
2 11 t t 2t 1 −− − +⇔ = =+
 ⇔ ( )tgx 1 x k nhận do sin2x 1 0
4
π= ⇔ = + π = ≠ 
Bài 77 ( )+ =sin 2x 2tgx 3 * : Giải phương trình:
Điều kiện : 
ặt t = tgx thì (*) thành : 
cos x 0≠ 
Đ
2
2t 2t 3+ = 
1 t+
) ( )
( )
( ) ( )
(
( )
⇔ + − + =
+ − =
− − + =
− + =⎣
π⇔ = ⇔ = + π ∈
2
2
2t 2t 3 1 t 0
4t 3
1 2t t 3 0
2t t 3 0 vô nghiệm
⇔ −3 22t 3t 0
⇔ t
=⎡⇔ ⎢ 2
t 1
Vậy (*) tgx 1 x k k Z
4
Bài 78 : Giải phương trình 
( )2cot gx tgx 4sin2x *
sin2x
− + = 
sin2x 0≠ Điều kiện : 
Đặt 2
2tt tgx thì : sin2x do sin2x 0 nên t 0
1 t
= = ≠+ ≠
(*) thành : 
2
2
1 8t 1 t 1t t
t t1 t t
+− + = = ++ 
( )
( )
⇔ =+
⇔ = ≠+
⇔ = ⇔ = ± ≠
π⎛ ⎞⇔ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ = ± + π ∈ 
2
2
4 1 do t 0
1 t
t 3 t 3 nhận do t 0
Vậy (*) tgx tg
3
x k , k
3
Bài 79
2
8t 2t
1 t
 : Giải phương trình 
( ) ( ) ( )1 tgx 1 sin 2x 1 tgx *− + = + 
Điều kiện : 
Đặt = tgx thì (*) thành : 
cos x 0≠ 
( ) 21 t⎜ ⎟+⎝ ⎠
2t⎛1 t 1 1 t⎞− + = + 
( ) ( )
2
21 t 1 t1 t
− = ++
( ) ( ) 2 2
2
t 1
t 1 t 1
1 t 1 t 1 t1
1 t
t 1 t 0
+⇔
= −⎡ = −⎡+ ⎢⎢ 1 t⎢⇔ ⇔− − = += ⎣⎢ +⎣
⇔ = − ∨ =
= −⎡ π⇔Do đó (*) ⇔ = − + π = π ∈⎢ =⎣ 
tgx 1
x k hay x k , k
tgx 0 4
Bài 80 ( ) : Cho phương trình ( )1 0 *+ = cos2x 2m 1 cos x m− + +
 3m
2
= a/ Giải phương trình khi
3,
2 2
π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 
( )22 cos x 2m 1 cos x m 0− + + = Ta có (*) 
[ ]( )
( )
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩ 2
t cos x t 1
2t 2m 1 t m 0
[ ]( )⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ = ∨ =⎪⎩
t cos x t 1
1t t m
2
a/ =Khi m , phư
2
3 ơng trình thành 
b/ 
( )
( )
)
[ ]
( ) )
π π⎛ ⎞∈ = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∉ −
⎞⇔ ∈ −⎡⎣⎝ ⎠
1 3 loại
3Khi x , thì cos x t [ 1, 0
2 2
1Do t 1, 0 nên
2
m 1, 0
2 2
Bài 81
= ∨ =cos x cos x
2 2
π⇔ = ± + π ∈x k2 k Z
3
π π⎛⎜ ⎟3* có nghiệm trên ,
 : Cho phương trình 
( ) ( ) ( )x * 2cos x 1 cos2x mcos x msin+ − =
 a/ Giải (*) khi m= -2 
20, π⎡ b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên 
3
⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
( ) (( ) )
( ) ( )
) (
2 2
2
2
Ta có (*) cos x 1 2cos x 1 mcos x m 1 cos x
cos x 1 2cos x 1 mcos x m 1 cos x 0
1 2cos x 1
⇔ + − − = −
⎡ ⎤⇔
( )cos x m 0
+ − − − − =⎣ ⎦
+ −
i m = -2 thì (*) thành : 
⇔ − =
a/ Kh
( ) ( )
( )
+ + =
⇔
⇔ = π + π ∈
π⎡ ⎤ ⎡∈ = ∈⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
2cos x 1 2 cos x 1 0
cosx = -1
x k2 k Z
2 1b / Khi x 0, thì cos x t ,1
3 2
⎤− ⎥⎦
Nhận xét rằng với mỗi t trên 1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ta chỉ tìm được duy nhất một x trên 
20, π⎡ ⎤⎢ ⎥ 3⎣ ⎦
ùng hai ghiệm trên 1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ Yêu cầu bài toán 
22t 1 m 0⇔ − − = có đu n
Xét ( ) ( )2y 2t 1 P và y m d= − = 
Ta có y’ = 4t 
20,
3
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên 
1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên 
 11 m
2
− < ≤ ⇔
Bài 82 : Cho phương trình ( ) ( )2 21 a tg− x 1 3a 0 1
cos x
− + + = 
1a
2
= a/ Giải (1) khi 
0,
2
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên 
Điều kiện : cos x 0 x k
2
π≠ ⇔ ≠ + π 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
24a cos x 2cos x 1 a 0⇔ − + − =
2
1 1 a sin x 2cos x 1 3a cos x 0
1 a 1 cos x 2cos x 1 3a cos x 0
a 4 cos x 1 2cos x 1 0
2cos x 1 a 2cos x 1 1 0
⇔ − − + + =
⇔ − − − + + =
⇔ − − − =
⇔ − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
a/ Khi 1a
2
= thì (1) thành : ( ) 12cos x 1 cos x 0
2
⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )
( )
1cos x cos nhậndo cos x 0
2 3
x k2 k Z
3
π⇔ = = ≠
π⇔ = ± + π ∈
b/ K