Luận văn Phương trình au=f trong không gian Banach

 và quy ước .
Bổ đề 2.1.2:
 Chuỗi (2.1) hội tụ đều trên các tập con compact của và là liên tục trên .
Chứng minh: 
 Sự hội tụ với là hiển nhiên.
 Ta có các bất đẳng thức dưới đây: 
 (2.2)
 (2.3)
 Với đủ lớn phụ thuộc vào 
 (2.2) là hiển nhiên theo khai triển Taylor
 (2.3) chứng minh nhờ công thức Stirling: 	 với 
 Thật vậy, giả sử 
 Vì nên ta có . 
 Do đó mà với . Từ đó được điều phải chứng minh.
 Với , , Xét tập hợp sau: 
	 (2.4)
 Các tập hợp phủ . Trước tiên chúng ta ước lượng đều trên .
 Nếu ta định nghĩa dãy bới :
 Tiếp theo chọn các đa chỉ số trong (2.1) và như ở (2.3). Ký hiệu là tập các thỏa mãn . Sử dụng (2.2) ,(2.3) và . Ta có ước lượng sau đây:
 (2.5)
Mệnh đề 2.1.3:
 Nếu là tập mở trong không gian Banach và các và chuỗi bị chặn trên thì chuỗi này hội tụ trên các tập compact.
Chứng minh: Với mỗi số phức bất kỳ với các tổng bị chặn đều trên vì thế theo ước lượng Cauchy 1 biến ta suy ra được là bị chặn đều địa phương trên . Biên bị chặn phụ thuộc vào bị chặn đều địa phương theo và đều theo là đồng liên tục địa phương
 hội tụ đều trên các tập compact.
Hệ quả 2.1.4:
 Với mọi , tồn tại hằng số sao cho nếu và thì 
 	 (2.6)
Chứng minh: 
 Cả 2 vế đều là 1 khi . Trường hợp ngược lại ta đặt và lấy từ đó ta có . Từ đó suy ra với đủ lớn. Từ đó suy ra (2.6) với đủ lớn. 
 Trong trường hợp là dãy hữu hạn. Ta đặt với 
 thì tất cả vẫn như trên, đặc biệt (2.6) với độc lập với 
 ký hiệu cho hình xuyến vô hạn chiều, một nhóm tô pô compact , và ký hiệu là độ đo Haar trên mà .
 Xét tác động của trên :
 với 
 Cho trước và , khai triển lũy thừa đơn của nó là :
 với (2.7)
 tịnh tiến dưới là : .
 Hạn chế trên mặt phẳng hữu hạn chiều ta được có dạng đơn là với và sẽ có dạng chuỗi lũy thừa sau:
 	 (2.8)
 Rõ ràng hạn chế của chuỗi này trên mặt phẳng tọa độ ở trên là chuỗi Taylor của và khi 
Định lý 2.1.5:
 a) Nếu là hàm chỉnh hình bị chặn trên , thì 
 (2.9) 
 và chuỗi (2.8) hội tụ tới 
 b) Ngược lại, nếu một dãy thỏa mãn (2.9) thì chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên các tập con compact của tới . Hơn thế nữa, có một hằng số sao cho:
 (2.10)
Chứng minh: 
 b) Chuỗi bị chặn bởi chuỗi trong bổ đề 2.1.2 do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên các tập compact của , tổng của nó chỉnh hình theo mệnh đề 2.1.3 và (2.10) được thỏa mãn với . Tính toán với tích phân trong (2.7) với ta được .
 a) Cho . Từ (2.7) 	
Đặt với ta có .
Do b) chuỗi (2.8) hội tụ đến một hàm chỉnh hình trên và đó phải chính là từ .
 Bây giờ nếu và là hàm chỉnh hình trên . Theo Ryan với một dãy bất kỳ sao cho :
 	 và (2.11)
Hàm bị chặn và chỉnh hình với . Theo [Ry] kết hợp với định lý 2.1.5 ta có định lý dưới đây:
Định lý 2.1.6: 
 a) Chuỗi lũy thừa của bất kỳ , hội tụ tới , tuyệt đối, đều trên các tập con compact của . Khi đó các hạng tử thỏa mãn 
 	 (2.12)
với bất kỳ thỏa mãn (2.11)
 b) Ngược lại, nếu (2.12) được thỏa mãn với bất kỳ dãy như trong (2.11) thì là chuỗi lũy thừa của một hàm chỉnh hình trên .
 Chứng minh: Định lý được chứng minh trong [Ry] với trường hợp .
§2. Bổ đề chìa khóa
Định nghĩa 2.2.1:
 Chuỗi Fourier của một hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ là 
Ở đó các hạng tử được cho bởi công thức :
 với 
Dạng biểu diễn khác của chuỗi Fourier của hàm là :
Ở đó các hạng tử được cho bởi công thức:
Định lý 2.2.2: (Định lý của Fejér)
 Cho hàm là 1 hàm liên tục với . Thì chuỗi Fourier của hàm hội tụ về trong ở đó là không gian mê tríc các hàm liên tục từ vào với khoảng cách sinh bởi chuẩn sup.
Định nghĩa 2.2.3: 
 Ta gọi dãy hàm xác định bởi 2 điều kiện tương đương dưới đây là hạch Fejer :
 Hoặc 
 Với là hạch Dirichlet, 
Bổ đề 2.2.4:
Chứng minh:
 Ta có 
 .	
Chứng minh 2 điều kiện tương đương ở định nghĩa 2.2.3:
 Theo công thức Moivre ta có 
 Từ dạng 2 của hạch Fejer ta có: 
 . 
Bổ đề 2.2.5:
 Hạch Fejer có các tính chất dưới đây:
 i) 	
 ii) 
 iii) Với cố định thì ta có .
Chứng minh: 
 i) 
 Ta sử dụng dạng 2 của hạch Fejer 
Tính tích phân của ta có:
Khi thì . Nhưng khi thì .
Vì thế ta có: 
ii) Điều này được suy ra từ dạng 1 của hạch Fejer
iii) Với mỗi cố định, sử dụng hạch Fejer dạng 1 ta có với 
 Do đó hội tụ đều về 0 khi . Do đó ta có thể lấy giới hạn qua dấu tích phân và được điều phải chứng minh. 	
Chứng minh định lý Fejer:
 Ký hiệu lần lượt là dãy tổng riêng và tổng Cesaro thứ của chuỗi Fourier:
Ta có : 
Dùng phép đổi biến số và sử dụng tính tuần hoàn với chu kỳ của hàm ta được : .
Sử dụng điều này ta tính tổng Cesaro 
Theo tính chất i) của bổ đề 2.2.5 ta có thể viết : 
Theo bất đẳng giá trị tuyệt đối của tích phân và tính chất ii) của bổ đề 2.2.5 ta có:
Vì các hàm liên tục trên là liên tục đều. Vì thế, lấy cho trước, tồn tại sao cho . Bây giờ chúng ta tách tích phân trên thành 2 tích phân ta có
Sử dụng tính liên tục đều của và tính chất i), ii) của bổ đề 2.2.5 ta được tích phân đầu tiên bị chặn bởi 
Đặt thì tích phân thứ 2 bị chặn bởi:
Do tính chất iii) của bổ đề 2.2.5 suy ra tồn tại số sao cho 
 .
 Từ đó ta có , .
Đó là điều phải chứng minh. 
 Chúng ta dùng chuẩn để ký hiệu cho chuẩn trong và xem xét dạng – (0,1) - đóng trên hình cầu , . Cho trước . Chúng ta sẽ đi xây dựng một lời giải chuẩn tắc của phương trình cái mà nhỏ nhất theo nghĩa dưới đây. Sự xây dựng này lấy cơ sở từ chuỗi Fourier sinh ra bởi tác động như ở §2, chương 1. Vì thế đặt 
 , 	 (2.13) 
 là chuỗi Fourier của . Chuỗi trong (2.13) hội tụ về theo nghĩa phân phối; là dạng - đóng thỏa mãn 
 (2.14)
Với mỗi ta có thể giải phương trình với (theo bổ đề 1.4.3). Thay thế bởi chúng ta có thể giả sử tịnh tiến như : 
 (2.15)
 Điều này xác định chỉnh hình bằng cách tịnh tiến nó như trong (2.15). Khi , điều này nghĩa là dạng chỉnh hình này là hệ số của đơn thức . Đối với các giá trị khác của mà dạng chỉnh hỉnh triệt tiêu, và vì thế là xác định duy nhất. Để xác định một cách rõ ràng với mọi , đặt với 
và thỏa mãn . Chú ý rằng trừ trường hợp 
 Khi không chỉ liên tục mà khả vi đến mức cần thiết (phụ thuộc vào ). có thể được chỉ ra là hội tụ đến lời giải của phương trình: . Sự quan sát này không giúp ích gì cho chúng ta khi cho . Để thay thế cho điều này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng quá trình Cesaro – Fejer sẽ luôn làm cho tổng hội tụ tới lời giải , mà lời giải được so sánh là nhỏ nhất này không chỉ trên mà còn đúng cả trên giao với bất kỳ mặt phẳng tọa độ hữu hạn chiều nào.
 Chúng ta phải nhắc lại về chuỗi Fourier. Chúng ta bắt đầu với chuỗi Fourier của hạch Fejer: 
 Cho trước chuỗi chuỗi bất kỳ, tổng Cesaro của nó có nghĩa là với các hạng tử được xác định như trên. Đặc biệt, nếu là một hàm bị chặn, đo được trên , với chuỗi Fourier tổng Cesaro của nó có nghĩa là : 
 Trong trường hợp này hạch Fejer định ra một xấp xỉ của phân phối từ đó suy ra rằng hội tụ về theo nghĩa phân phối. Khi là liên tục đều, sự hội tụ này thậm chí là đều (Định lý Fejer). Hơn thế nữa, 	với . Tất cả những điều ở trên thường được áp dụng cho các dạng nhiều hơn các hàm.
 Kế tiếp, cho trước . Ta nhúng vào bới . Vì thế ta có thể coi . Cho trước một dạng - đóng và , xây dựng chuỗi như ở trên.
 Bổ đề 2.2.6:
 Giả sử rằng với và , có một là lời giải của phương trình và thỏa mãn điều kiện : 
	 (2.16)
Thì tổng theo nghĩa Cesaro của chuỗi hội tụ đều địa phương tới hàm là lời giải của phương trình và thỏa mãn: 
	 (2.17)
Hệ quả 2.2.7:
 Đối với bất kỳ dạng đóng tổng Cesaro của chuỗi hội tụ đều tới một lời giải của phương trình 
Chứng minh: 
 Theo bổ đề 1.4.3 có một là lời giải của . Vì thế giả thiết của bổ đề 2.2.6 được thỏa mãn với , và . Hệ quả được chứng minh. 
 Ta sẽ gọi lời giải chuẩn tắc với cơ sở trên các nút . Chú ý rằng trong bổ đề 2.2.6 không phải là .
Chứng minh bổ đề 2.2.6:
 Sử dụng tác động trên , phân tích thành một chuỗi Fourier. Đồng nhất với , chuỗi có thể viết dưới dạng: 
 , (2.18)
 Lại có, và từ (2.16) ta có 
 	 (2.19)
 Từ khi 	, nó kéo theo rằng là chỉnh hình trên . Lập luận như ở trước ta có trừ khi . Trường hợp thì hiệu này sẽ phải là hằng số nhân với đơn thức . Nhớ lại rằng , từ đó ta có : 
Vì thế bởi (2.19) ta có 
 (2.20)
 Chú ý rằng cũng từ (2.15) ta có nếu . Vì thế theo bổ đề 2.1.2 thì cùng hội tụ đều địa phương trên . Từ đó các chuỗi xác định ở trên là khả tổng Cesaro – Fejer đều tới , điều này kéo theo rằng trên tổng theo nghĩa Cesaro của chuỗi hội tụ đều địa phương tới một hàm . Do đó là giới hạn đều địa phương của các hàm chỉnh hình, chúng ta có và (2.20) suy ra được (2.17). 
Hệ quả 2.2.8: Giả sử là - đóng và ký hiệu cho lời giải chuẩn tắc của phương trình với với cơ sở trên các nút . Nếu thì 
Chứng minh:
 Nếu thì là lời giải chuẩn tắc của phương trình . Từ đó suy ra giả thiết của bổ đề 2.2.6 được thỏa mãn với . Nó kéo theo rằng . 
§3. Ước lượng nghiệm của phương trình trong 
Ta tiếp tục sử dụng là chuẩn trên .
Mệnh đề 2.3.1:
 Cho trước , có một hằng số có tính chất dưới đây. Giả sử là dạng - đo được, bị chặn nhận giá trị phức trên hình cầu . Nếu thì có một hàm sao cho đối với thì 
	 (2.21)
ở đó hằng số phụ thuộc vào tỷ số nhưng không phụ thuộc vào .
Chứng minh:
 Giả sử liên tục, đặt và lấy là lời giải chuẩn tắc được xây dựng như trong bổ đề 2.2.6 và hệ quả 2.2.7, với ở đó . Khi đó (2.21) là đúng. Thật vậy giả sử . Không mất tính tổng quát có thể giả sử tọa độ đầu của là khác 0.
 Theo hệ quả 1.4.4 có một lời giải trên của phương trình và thỏa mãn: 
Vì thế giả thiết của bổ đề 2.2.6 được thỏa mãn với , 
Và theo (2.17) ta có : 
 ( theo hệ quả 2.1.4)
 Từ (2.15) ta có nếu cũng như thế bởi điều kiện chuẩn tắc vì thế . Vậy (2.21) đúng khi liên tục.
 Khi chỉ bị chặn và đo được, ta xấp xỉ bởi họ , sao cho theo nghĩa phân phối; ; và trên . Theo chứng minh ở trên đối với có các là lời giải của phương trình và (2.21) được thỏa mãn với tùy ý; hằng số sẽ độc lập với . Theo mệnh đề 1.2.5 và định lý Azela – Ascoli sẽ có 1 dãy và đều trên các tập con compact. Rõ ràng là thỏa mãn (2.21) và . 
Mệnh đề 2.3.2:
 Cho trước thì có một hằng số phụ thuộc vào với tính chất dưới đây:
 Giả sử và là dạng – nhận giá trị phức và liên tục Lipschitz trên . Nếu thì có một lời giải sao cho và đối với ta có