Luận văn Một số tính chất của hàm tựa lồi

    1nf x t y f y    . 
Do f là hàm nửa liên tục trên nên 
   f z f y . 
 Nếu 
Df f   , ta có 
 , 0Df x x y   . 
Vì vậy, với mọi n, tồn tại 
1
0,nt
n
 
 
 
 thoả mãn 
    nf x t x y f x   . 
Nhưng f là hàm tựa lõm và   , ,nx x t x y y n    . 
Vì vậy,    f z f y và f thoả mãn tính chất  sQ . 
Hệ quả 1.1 
 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn và hàm 
 :f X    liên tục. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương : 
(i) f là hàm tựa affine; 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
19 
(ii)  * *: , 0x f x x d   
    1 2 1 2,f x t d f x t d t t      . 
 Thật vậy, kết hợp các tính chất  sQ và  sQ tương đương với 
   * * ,: , 0 :x dx f x x d f t f x td     không tăng trên  . 
Đó chính là khẳng định (ii). Tương đương khác của (ii) là : 
       * *, , : , 0 .z x y z f z z y x f x f y        
1.4. Hàm giả lồi 
Hàm f được gọi là giả lồi nếu ,x y X  ta có : 
     * *: , 0x f x x y x f x f y      . 
Trong trường hợp f khả vi Fréchet, định nghĩa có dạng : 
     , 0 ,f x y x f y f x     
trong đó  f x là ký hiệu đạo hàm Fréchet của hàm f tại x. 
Trong trường hợp khả vi, mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất cơ bản sau : 
(a) Mọi cực tiểu địa phương của hàm f là cực tiểu toàn cục. 
(b)  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. 
Mối quan hệ giữa tính tựa lồi và giả lồi là không đơn giản. 
Ví dụ 1.3. 
(a) Hàm số   3f x x là tựa lồi và không là hàm giả lồi trên  . 
(b) Hàm f trong ví dụ 1.1 không là hàm giả lồi trên  . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
20 
(c) Xét hàm số 
 
, 0,
1
, 0.
2
x khi x
f x
x khi x


 

là hàm giả lồi trên  . 
 Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa tính giả lồi và tính tựa lồi của hàm 
nửa liên tục dưới, liên tục radian. 
Định lý 1.3 
 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn và hàm 
 :f X    nửa liên tục dưới và liên tục radian. Khi đó, các khẳng 
định sau đây là tương đương : 
(i) f là hàm giả lồi; 
(ii) f là hàm tựa lồi và (  0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x). 
 Chứng minh 
   i ii : Từ định nghĩa của hàm giả lồi ta có 
Nếu  0 f x thì    , f x f y y X   . 
Vậy x là cực tiểu toàn cục của hàm f . Mặt khác, f là hàm nửa liên tục dưới, 
liên tục radian và thoả mãn tính chất (Q) bởi vì mọi hàm giả lồi thoả mãn tính 
chất (Q) . Khi đó theo mệnh đề 1.2 hàm f là hàm tựa lồi. 
   ii i : Giả sử ,x dom f y X   và  *x f x sao cho 
*, 0x y x  . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
21 
Nếu  0 f x thì x là cực tiểu toàn cục của f, và ta có 
   f x f y . 
Trong trường hợp  0 f x thì tồn tại d X  sao cho 
*, 0x d  . 
Bây giờ ta định nghĩa dãy  ny bởi 
1
2
ny y d
n d
  . 
Với n  , điểm ny thoả mãn  1n
n
y B y , 
* * * *1, , , , 0
2
n nx y x x y y x y x x d
n d
       . 
Sử dụng định lý 1.1 ta nhận được ,n  
   nf y f x . 
Và do tính chất liên tục radian của f ta suy ra 
   f y f x . 
 Bây giờ sử dụng quan hệ giữa tính tựa lồi và tính giả lồi và đặc trưng của 
tính tựa lồi bởi tính tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó thì có thể cho hai 
đặc trưng của hàm giả lồi, liên tục radian, nửa liên tục dưới. 
 Nhắc lại rằng, ánh xạ đa trị : *A X X gọi là giả đơn điệu nếu 
,x y X  ta có 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
22 
   * * * *, , 0 , , 0x A x x y x y A y y y x        . 
Định lý 1.4 
 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn và hàm 
 :f X    nửa liên tục dưới, liên tục radian. Khi đó, các khẳng 
định sau đây là tương đương: 
(i) f là hàm giả lồi; 
(ii)  * *: , 0x f x x y x          , ,f z f y z x y    ; 
(iii) f là giả đơn điệu. 
 Chứng minh 
   i ii : Giả sử  *, x dom f x f x   sao cho *, 0x y x  . 
Theo định nghĩa của hàm giả lồi ta có    f x f y . 
Nhưng theo định lý 1.3 thì hàm f là hàm tựa lồi. Vì vậy,  ,z x y  
   f z f y . 
   ii i : Hiển nhiên . 
   i iii : Trường hợp CRf f   . 
Giả sử ngược lại rằng f là hàm giả lồi và f không giả đơn điệu. Điều này 
có nghĩa là  *, , x y dom f x f x    và  *y f y sao cho 
* *, 0, , 0x y x y y x    . 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
23 
Ta khẳng định được rằng : 
 0 f y . 
Thật vậy, bởi vì 
     , 0 0, ' , 0,1f x y x x B x 
       
sao cho 
    ' ' 'f x y x f x   . 
Từ định lý 1.3, hàm f là tựa lồi và ta có 
   'f x f y , 
Vì f là hàm giả lồi, nên bất đẳng thức này kéo theo  f y  , 
, ' 0y x   ; 
Từ đó, suy ra 
 0 f y . 
 Bây giờ, ta chú ý rằng 0  sao cho 
 *, 0, x u x u B y    . 
Khi đó, do tính giả lồi của hàm f ta suy ra  u B y  , 
   f u f x . 
Bởi vì 
*, 0y x y  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
24 
nên ta nhận được 
   f x f y . 
Vì vậy y là cực tiểu địa phương của f và từ tính chất (P2) ta có 0 là phần tử 
của  f y . Điều này mâu thuẫn với khẳng định trên, nên ta có điều phải 
chứng minh. 
   i iii : Trường hợp Df f   . 
Giả sử  *, , x dom f y X x f x    sao cho thoả mãn 
*, 0x y x  . 
Khi đó tồn tại  0,1  sao cho 
    f x y x f x   . 
Bởi vì f là hàm tựa lồi, theo định lý 1.3 ta có 
   f y f x . 
Bây giờ, do tính giả lồi của hàm f cho nên  *y f y  ta có 
*, 0y x y  . 
Như vậy f là hàm giả đơn điệu. 
   iii i : Sử dụng định lý 1.3 ta sẽ chứng minh rằng f là hàm giả lồi 
Thật vậy, ánh xạ đa trị f là giả đơn điệu, và vì vậy f là tựa đơn điệu. Theo 
định lý 1.2 thì hàm f là hàm tựa lồi. 
 Mặt khác, nếu x không là cực tiểu của f thì tồn tại y X sao cho 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
25 
   f y f x . 
Theo mệnh đề 1.1 có thể tìm được  *, a dom f a f a   
sao cho 
*, 0a x a  ; 
và khi đó do tính giả đơn điệu của f thì 
 * *, 0, x x a x f x    . 
Vì vậy,  0 f x . 
Do đó, f thoả mãn 
 0 f x  x là cực tiểu địa phương của f. 
1.5. Hàm không hằng số radian 
 Ta nói rằng hàm f là không hằng số radian nếu không thể tìm được một 
đoạn thẳng nào mà trên đó f là hằng số, nghĩa là 
 , , ,x y X z x y    với    f x f z . 
 Mục đích của phần này là chứng minh các kết quả với giả thiết không hằng 
số radian thay cho giả thiết liên tục hoặc liên tục radian. 
Mệnh đề 1.5 
 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn và hàm 
 :f X    nửa liên tục dưới và không hằng số radian. Nếu f là 
giả lồi thì f là giả đơn điệu. 
 Chứng minh 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
26 
Giả sử ngược lại f là hàm giả lồi nhưng f không là hàm giả đơn điệu. Vì 
vậy,    * *, , , x y dom f x f x y f y     sao cho 
*, 0x y x  và *, 0y y x  . 
Bởi vì f là hàm giả lồi cho nên các bất đẳng thức trên kéo theo 
       , f y f x f y f x  . 
Hơn nữa,  ,z x y  ta có 
* *, , 0
z x
x z x x y x
y x

   

. 
Vì vậy, do tính giả lồi của hàm f thì 
     f x f y f z  . 
Vì hàm f là không hằng số radian cho nên  
_
,z x y  sao cho 
   
_
f z f x f y
 
  
 
. 
Lấy  
_
,f x f z
  
   
  
. Do tính nửa liên tục của hàm f ta có 
  , f u u V   , 
trong đó V là một lân cận của 
_
z . 
Giả sử 
_ _
,x x z
 
 
 
 sao cho 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
27 
_ _ _
, ,x z V x z
   
    
   
. 
Bởi vì f là không hằng số radian nên 
_ _
,a x z
 
  
 
 thoả mãn 
 
_
f a f z
 
  
 
. 
Bây giờ giả sử rằng  
_
f a f z
 
  
 
. Theo mệnh đề 1.1 tồn tại hai dãy 
 
_
,nb b a z
 
   
 và  *nb ,  *n f bnb  sao cho 
*, 0, n nb y b n    . 
Bởi vì f là giả lồi và nửa liên tục dưới nên ta có 
   f y f b . 
Nhưng 
_ _
,b x z V
 
  
 
 cho nên 
   f b f y  . 
Vì vậy, 
 
_
f a f z
 
  
 
. 
Điều này dẫn đến mâu thuẫn với  f a f z
 
  
 
. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
28 
 Sử dụng đúng lý luận như trên có thể chứng minh rằng trường hợp 
 f a f z
 
  
 
 cũng không xảy ra được. 
Như vậy ta nhận được mâu thuẫn. 
Hệ quả 1.2 
 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới  trơn. Mọi hàm nửa liên 
tục dưới, không hằng số radian và giả lồi là hàm tựa lồi. 
 Chứng minh 
 Nếu f là hàm nửa liên tục dưới, không hằng số radian và giả lồi thì theo 
mệnh đề 1.5 dưới vi phân của f là hàm giả đơn điệu. Vì vậy f là tựa đơn 
điệu. Theo định lý 1.2 ta có f là hàm tựa lồi. 
 Ta nói rằng hàm  :f X    là 
(a) Tựa lồi chặt nếu  , , ,x y X z x y    , 
      max ,f z f x f y 
(b) Giả lồi chặt nếu  *, , x y X x f x    , 
   *, 0 x y x f x f y    . 
Hiển nhiên, mọi hàm tựa lồi chặt ( giả lồi chặt) là tựa lồi ( giả lồi). 
Mệnh đề 1.6 
 Giả sử X là không gian Banach chuẩn mới  trơn và hàm 
 :f X    nửa liên tục dưới. Khi đó, các khẳng định sau là tương 
đương : 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
29 
(i) f là hàm giả lồi và không hằng số radian; 
(ii) f là hàm tựa lồi chặt và giả lồi chặt. 
 Chứng minh 
   i ii : 
Theo hệ quả 1.2, hàm không hằng số radian f là tựa lồi và vì vậy f là tựa lồi 
chặt. 
 Để chứng minh f là giả lồi chặt, ta giả sử ngược lại là tồn tại 
 *, , x dom f y domf x f x    sao cho 
*, 0x y x  và    f x f y . 
Do đó,  ,z x y  ta có * , 0x z x  và vì vậy, 
     f z f x f y  . 
Nhưng điều này mâu thuẫn với f là hàm tựa lồi chặt. 
  ( )ii i : 
Hiển nhiên, bởi vì mọi hàm tựa lồi chặt là không hằng số radian. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
30 
Chương II 
CÁC HÀM TỰA L