Kỹ thuật sử dụng Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức

bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
  
     
ii)            
3
2
a b c
a b a c b c b a c a c b
  
     
3. Kỹ thuật ghép đối xứng:
Để ý :        2 x y z x y y z z x       
2 2 2
x y y z z xx y z       
     2 2 2x y z xy yz zx
, , 0xyz xy yz zx x y z  
Ví dụ 1: Trong ABC chứng minh rằng       1
8
p a p b p c abc   
Giải
Trong tam giác thì , , 0p a p b p c    nên ta có :
   
2 2
p a p b cp a p b       . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p a p b a b    
   
2
ap b p c   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b c
   
2
bp c p a   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c a
Suy ra       1
8
p a p b p c abc    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  hay tam giác ABC đều.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng    2 2 2 9 , , 0 *a b c a b c
a b b c c a
           
Giải
Ta có     1 1 1* 2 9a b c
a b b c c a
          
      1 1 1 9a b b c c a
a b b c c a
                 
Phần chứng minh còn lại dành cho bạn .
Ví dụ 3: Chứng minh rằng , , 0
bc ca ab a b c a b c
a b c
      
Giải
Ta có 2
bc ca c
a b
  . Đẳng thức xảy ra khi a b
2ca ab a
b c
  . Đẳng thức xảy ra khi b c
2ab bc b
c a
  . Đẳng thức xảy ra khi c a
Suy ra  2 2bc ca ab a b c
a b c
       
bc ca ab a b c
a b c
      . Đẳng thức xảy ra khi a b c 
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng 
1 1 1 , , 0a b c a b c
bc ca ab a b c
      
2. Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2 , , 0
a b c a c b a b c
b c a c b a
      
3. Chứng minh rằng 2 2 2
1 1 1 , , 0a b c a b c
a b c abc
     
4. Kỹ thuật đổi biến:
Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng 6 , , 0
a b b c c a a b c
c a b
      
Giải
Ta có 2 2 2 6
a b b c c a a b b c c a a c c b b a
c a b c c a a b b c a b c a b
                                   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 
Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất 
a b a b
c c c
   bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức 
cần chứng minh có dạng 
c
a b
 thì liệu chúng ta có còn sử dụng được tính chất nêu trên nữa không?
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 
3 , , 0
2
a b c a b c
b c c a a b
    
  
Giải
Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng 
hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu . Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau
Đặt 
b c x
c a y
a b z
 
  
  
 và bây giờ ta tính , ,a b c theo , ,x y z . Dễ thấy  2x y z a b c     . 
Khi đó  
2 2 2
x y z x y z y z xa b c x           . Tương tự ta tính được 
2
z x yb   ,
2
x y zc   . Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại
3 1 1 1 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y
x y z x x y y z z
                 
 6
y z z x x y
x x y y z z
       . Bất đẳng thức này vừa được chứng minh xong !
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 
2 2 2a b c a b c
b c a c a b a b c
    
     
Giải
Đặt 
2, 0
, 0
2
, 0
2
y za
b c a x x
z xc a b y y z y z a b c b
a b c z z x yc
 
    
             
      
. Bất đẳng thức đã cho được viết lại :
     2 2 2
4 4 4
y z z x x y
x y z
x y z
  
     
  
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4y z z x x y yz zx xy x y z
x x y y z z x y z
            . Đến đây không khó để chứng minh 
 2 2 2 2xy yz zx x y z
z x y
     và 
2 2 2 2 2 2 2 2 2y z z x x y yz zx xy
x x y y z z x y z
        . Từ đó suy ra điều 
phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x y z a b c    
Ngoài cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau:
 
 
 
     
2
2 2 2 2
2
4
4 4 4 4
4
y z yz
x x
z x y z z x x yzx yz zx xy x y z
y y x y z x y z
x y xy
z z

 

            

 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng , , 0a b c  và 1abc  ta có      2 2 2
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
  
  
Giải
Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ không còn phù hợp. Tuy nhiên để ý số 
3
2
 ta có liên 
hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 không ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt 
1 1 1, ,a b c
x y z
   và quy đồng biến 
đổi rút gọn ta được :      
3
2
yz zx xy
x x y y z x z x y
  
   vì bất đẳng thức này đúng với mọi 
, , 0x y z  nên ta 
có thể ràng buộc thêm 1xyz  để phát biểu thành bài toán mới      2 2 2
3
2
xyz yzx zxy
x x y y z x z x y
  
   hay 
     2 2 2
1 1 1 3
2x x y y z x z x y
  
   . 
Vậy để giải quyết bài toán trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến 
1 1 1, ,a b c
x y z
   trong đó , , 0x y z  . Khi đó 
     
2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 3 3
2 2 2
x yz y zx z xy x y z
a b c b c a c a b y z z x x y y z z x x y
          
         vì 
1xyz  . Cách 
chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1.
BÀI TẬP
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 4 5a b c
b c c a a b
 
  
 với , , 0a b c 
2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có 
4
3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
   
       
3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
   
  
4. Cho , , 0a b c  thỏa mãn điều kiện 1abc  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
     3 3 3
1 1 1P
a b c b c a c a b
  
  
5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng : 3
a b c
b c a c a b a b c
  
     
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 9 16a b cP
b c a c a b a b c
  
     
 trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh 
của một tam giác.
7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: 4
ab bc ca p
p c p a p b
  
   trong đó p là nửa chu vi.
5. Kỹ thuật cân bằng hệ số:
Ví dụ 1: Cho , , 0a b c  thỏa mãn 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 1 1P a b c
a b c
     
Giải
Ta có 
1 1 12, 2, 2a b c
a b c
      . Suy ra 6P  . Vậy Min 6P 
Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi 1a b c   và do đó 3a b c   
mâu thuẫn với giả thiết 1a b c   .
Cách giải đúng là : 
Ta có 
19 6a
a
  . Đẳng thức xảy ra khi 
1 19
3
a a
a
  
19 6b
b
  . Đẳng thức xảy ra khi 
1 19
3
b b
b
  
19 6c
c
  . Đẳng thức xảy ra khi 
1 19
3
c c
c
  
Suy ra    1 1 1 1 1 19 18 18 8 10a b c a b c a b c
a b c a b c
                 . Đẳng thức 
xảy ra khi 
1
3
a b c   . Vậy Min 10P  khi 
1
3
a b c  
Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có 
nhận xét: Vai trò của , ,a b c trong bài toán là như nhau nên dự đoán Min P xảy ra khi 
1
3
a b c   . Bây 
giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng 
1 2ma m
a
  trong đó m là số dương sao cho đẳng thức 
xảy ra khi 
1
9
1
3
ma
a m
a
   
 
Ví dụ 2: Cho , , 0 , 3a b c a b c    . Chứng minh 4 1 4 1 4 1 3 5a b c     
Giải
Phân tích ta sẽ sử dụng dạng: 
2
x yxy  . Như vậy  1 1 4 14 1 4 1 . 2
a ma a m
m m
     . Vấn 
đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi 1a b c   . Do đó ta sẽ tìm m sao cho 
4 1a m  và 1a  , dễ thấy 5m  là giá trị cần tìm. Ta giải bài toán như sau:
Ta có  1 1 4 1 5 2 34 1 4 1 5 . 25 5 5
a aa a        . Đẳng thức xảy ra khi 1a 
2 34 1
5
bb   . Đẳng thức xảy ra khi 1b 
2 34 1
5
cc   . Đẳng thức xảy ra khi 1c 
Suy ra 
2 3 2 3 2 34 1 4 1 4 1 3 5
5 5 5
a b ca b c            . 
Đẳng thức xảy ra khi 1a b c  
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu 5xy yz zx   thì 2 2 23 3 10x y z  
Giải 
Phân tích: 2 2 2x y xy    . Đẳng thức xảy ra khi x y
2 2 2x z xz    . Đẳng thức xảy ra khi 2 2x z 
2 2 2y z yz    . Đẳng thức xảy ra khi 2 2y z 
Bây giờ ta cần chọn , ,   thỏa mãn 
3
2 1
 

 
  


 
. Giải hệ này ta được 
11; 2;
2
     . Ta 
trình bày lại cách giải : Ta có: 2 2 2x y xy  . Đẳng thức xảy ra khi x y
2 212 2
2
x z xz  . Đẳng thức xảy ra khi 2 2
12
2
x z
2 212 2
2
y z yz  . Đẳng thức xảy ra khi 2 2
12
2
y z
Suy ra  2 2 23 3 2 10x y z xy xz yz      . Đẳng thức xảy ra khi 1; 2x y z  
Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 
47
12
x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 2 2 23 4 5P x y z  
Giải
Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 23 2 3x m mx  trong đó 0m  . Tương tự
24 2 4y n ny  ; 25 2 5z p pz   , 0n p  . 
Suy ra  2 2 23 4 5 2 3 2 4 2 5x y z mx ny pz m n p        . Đến đây ta cần tìm , ,m n p sao cho 
3 4 5m n p  và để ý đẳng thức xảy ra khi 
2
2
2
3
4
5
47
12
m x
n y
p z
x y z
 


 

   
. Như thế ta tìm , ,m n p bằng cách giải hệ:
2
2
2
2
5 53 4 5 ; ; 5
5 53 43 1; ;
5 5 4 34 ;
25 253 4 ; ; 55 47 3 4
47 12
12
m n p m p n p p z
m x z y x
n y x z y z
m n pp z
x y z
x y z

                  
             
. 
Khi đó  2 2 2 25 25 25 25 235 2353 4 5 2 3. 2 4. 2 5.5 5 10
3 4 3 4 12 12
x y z x y z x y z               
Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!!
BÀI TẬP
1. Cho , , 0 , 1x y z x y z    . Tìm giá trị nhỏ nhất của   1 1 12 3P x y z
x y z
 
      
 
2. Tìm giá trị lớn nhất của 2 3 5 2y x x   
3. Cho , , 0, 1x y z xy yz zx    . Chứng minh rằng 2 2 210 10 4x y z  
4. Cho 1, 1a b  . Chứng minh rằng 1 1a b b a ab   
5. Cho , , 0, 1a b c a b c    . Chứng minh rằng 6a b b c c a     
6. Kỹ thuật ghép nhóm:
Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ 
thuật cân bằng hệ số .
Ví dụ 1: Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng 
2 2 2a b c a b c
b c a
    