Kiến thức cơ bản học kỳ II - Môn: Toán 11

c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞ 
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên): 
 4 
PLT 
a)
3
1lim
3x
x
x−→
+
−
 b) ( )24
1lim
4x
x
x→
−
−
 c) 
3
2 1lim
3x
x
x+→
−
−
 d) 
2
2 1lim
2x
x
x+→−
− +
+
 e) 20
2
lim
x
x x
x x−→
+
−
 f) 
1
3 1lim
1x
x
x−→−
−
+
ðS: a) - ∞ b) - ∞ c) + ∞ d) + ∞ e) 1 f) + ∞ 
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0
0
): 
a/
2
3
9lim
3x
x
x→
−
−
 b/ 
2
1
3 2lim
1x
x x
x→
− +
−
 c) 23
3lim
2 3x
x
x x→−
+
+ −
 d) 
3
21
1lim
1x
x
x→
−
−
 e) 
2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x→
+ −
− −
f) 
2
2lim
7 3x
x
x→
−
+ −
 g) 
2
3
9lim
1 2x
x
x→
−
+ −
 h) 
4
2 1 3lim
2x
x
x→
+ −
−
 i) 
1
2 1lim
5 2x
x
x→−
+ −
+ −
 k) 
2
2
3 2lim
2x
x x
x
−→
− +
−
ðS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0 
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞): 
a) 
0
1 1lim 1
1x x x−→
 
− + 
 b) ( ) 21
2 3lim 1
1x
x
x
x+→
+
−
−
 c) 2
3
2 1lim 9.
3x
x
x
x+→
+
−
−
 d/ ( )3 22lim 8 2x
x
x
x−→
−
−
ðS: a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0 
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞): 
a) ( )2lim 1
x
x x
→+∞
+ − b) ( )2 2lim 2 1
x
x x x
→+∞
+ − + c) ( )2lim 4 2
x
x x x
→−∞
− + d) ( )2 2lim 1
x
x x x
→−∞
− − − 
ðS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng 
0
sinlim 1
x
x
x→
= ) 
a) 
0
sin 3lim
x
x
x→
 b) 20
sin sin 2lim
3x
x x
x→
 c) 
2
0
1 coslim
sinx
x
x x→
−
 d) 
0
sin .sin 2 ....sinlim
nx
x x nx
x→
ðS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n! 
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 
a) ( )
2 4
 -2
2
 4 -2 
 −
≠
= +

− =
x khi xf x x
khi x
 tại x0 = -2 b)
2 4 3
 khi x 3( ) 3
 5 khi 3
x x
f x x
x

− +
≠
=
−

=
 tại x0 = 3 
c) ( )
22 3 5
 1
1
 7 1
 + −
≠
=
−

=
x x khi xf x x
khi x
 tại x0 = 1 d) 
2 1
 3( ) 3
 3 3
x khi xf x x
khi x

− +
≠
=  −

=
 tại x0 = 3 
e/ 
2 2
 2( ) 2
2 2 2
x khi xf x x
khi x

−
≠
= −

=
 tại x0 = 2 f) 
2
 2( ) 1 1
 3 4 2
x khi xf x x
x khi x
−
>
=
− −

− ≤
 tại x0 = 2 
ðS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục 
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXð của chúng: 
a) 
2 3 2
 2( ) 2
 1 2
x x khi xf x x
khi x

− +
≠
=
−

=
 b) ( )2
1
 2
2( )
 3 2
x khi x
xf x
khi x
− ≠
−= 

=
c) ( )
2 2
x 2
2
5 x 2
x x khif x x
x khi
 − −
>
=
−

− ≤
 d) ( ) 2
2
 0 
 0 1 
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
<

= ≤ <

− − + ≥
 5 
PLT 
ðS: a) Hs liên tục trên R ; b) Hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián ñọan tại x = 2. 
 c) Hs liên tục trên R ; d) Hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián ñọan tại x = 1. 
Bài 14: Tìm ñiều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0. 
a) ( )
2 2 1
1
1
x x khi xf x x
a khi x

− −
≠ −
= +

= −
 với x0 = -1 b) 
2
 1( )
2 3 1
x khi xf x
ax khi x
 <
=
− ≥
 với x0 = 1 
c) 
7 3
 2( ) 2
 1 2
x khi xf x x
a khi x
 + −
≠
=  −

− =
 với x0 = 2 d) 
23 1 1( )
2 1 1
x khi xf x
a khi x
 − <
=
+ ≥
 với x0 = 1 
ðS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2 
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình: 
a) 4 5 2 0x x− + = có ít nhất một nghiệm. 
b) 5 3 7 0x x− − = có ít nhất một nghiệm. 
c) 3 22 3 5 0x x− + = có ít nhất một nghiệm 
d) 32 10 7 0x x− − = có ít nhất 2 nghiệm. 
e) cos x x= có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; pi/3) 
f) cos 2 2sin 2x x= − có ít nhất 2 nghiệm. 
g) 3 23 1 0x x+ − = có 3 nghiệm phân biệt. 
h) 3 23 1 0x x− + = có 3 nghiệm thuộc khoảng ( )1;3− 
i) ( ) ( )32 21 1 3 0m x x x− + + − − = luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m. 
k) ( ) ( )3 2 41 4 3 0m x x x− − + − = luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m. 
l) 4 3 0x x− − = có nghiệm ( )0 1;2x ∈ và 70 12x > . 
CHƯƠNG V : ðẠO HÀM 
Bài 1: Dùng ñịnh nghĩa tìm ñạo hàm các hàm số sau: 
a) 3y x= b) 23 1y x= + c) 1y x= + d) 1
1
y
x
=
−
Bài 2: Tính ñạo hàm các hàm số sau: 
1) = − + −
3 2
5
3 2
x x
y x 2) 3
2
2 5 +−= xxy 3) = − + −2 3 4
2 4 5 6
7
y
x x x x
4) )13(5 2 −= xxy 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6) 32 )5( += xy 
7) )35)(1( 22 xxy −+= 8) )23)(12( +−= xxxy 9) 32 )3()2)(1( +++= xxxy 
10) ( ) = + − 
 
2 3 1y x x
x
 11) 32y x= 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 
13) 4 23y x x= + 14) ( )( )( )22 1 2 3 7y x x x= + − + 15) 22 52
xy
x
−
=
+
 16) 2
1
2 3 5
y
x x
=
+ −
 17) 
3
2
2
1
x xy
x x
−
=
+ +
 18) − + +=
−
2
2
7 5
3
x x
y
x x
19) 762 ++= xxy 20) 21 ++−= xxy 21) 1)1( 2 +++= xxxy 
22)
12
322
+
+−
=
x
xxy 23) 1 xy
1 x
+
=
−
 24) ( )322 3 1y x x= + − 
 6 
PLT 
25) ( )32 3 2y x x x x= + + − 26) y = x (x2- x +1) 27) 
3
22 3
2
xy x x
x
 
= + −  
− 
Bài 3: Tính ñạo hàm của các hàm số sau: 
1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4) 2)cot1( xy += 
5) xxy 2sin.cos= 6) 31cos cos
3
y x x= − 7)
2
sin 4 xy = 8)
xx
xxy
cossin
cossin
−
+
= 
9) 3y cot (2x )
4
pi
= + 10) 2sin (cos3 )y x= 11) 3 2y cot 1 x= + 12) xxy 3sin.sin3 2= 
13) 2y 2 tan x= + 14) 
3
cosx 4y cot x
3sin x 3
= − + 15) sin(2sin )y x= 16) 4sin 3y xπ= − 
17) 22 )2sin1(
1
x
y
+
= 18) =
+
xsin xy
1 tanx
 19) sin x xy
x sin x
= + 20) y 1 2 tanx= + 
Bài 4: Cho hai hàm số : 4 4( ) sin cos f x x x= + và 1 ( ) cos 4
4
g x x= 
Chứng minh rằng: '( ) '( ) ( )f x g x x= ∀ ∈R . 
Bài 5: Cho 23 23 +−= xxy . Tìm x ñể: a) y’ > 0 b) y’ < 3 
ðS: a) 0
2
x
x
<
 >
 b) 1 2 1 2x− < < + 
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: 
a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = xxcosxsin3 +− 
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 
Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)= + + − 
Bài 8: a) Cho hàm số: 
2
222 ++
=
xxy . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2 
b) Cho hàm số y = 
4x
3x
+
−
. Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’ 
c) Cho hàm số = − 2y 2x x . Chứng minh rằng: + =3y y" 1 0 
Bài 9: Chứng minh rằng '( ) 0 > ∀ ∈f x x R , biết: 
a/ 9 6 3 22( ) 2 3 6 1
3
f x x x x x x= − + − + − b/ ( ) 2 sinf x x x= + 
Bài 10: Cho hàm số 
2
2
x xy
x
+
=
−
 (C) 
a) Tính ñạo hàm của hàm số tại x = 1. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M có hoành ñộ x0 = -1. 
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) 
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm M có hoành ñộ x0 = 2. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d: y = - x + 2. 
Bài 12: Gọi ( C) là ñồ thị hàm số : 3 25 2y x x= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) 
a) Tại M (0;2). 
b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = -3x + 1. 
 7 
PLT 
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng y = 1
7
x – 4. 
Bài 13: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong 3xy = : 
 a) Tại ñiểm (-1 ;-1) ; 
 b) Tại ñiểm có hoành ñộ bằng 2 ; 
 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. 
Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau: 
a) 123 +−= xxy b) 
2
sin 4 xy = c) 762 ++= xxy d) xxy 2sin.cos= e) 2)cot1( xy += 
Bài 15: Tìm ñạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 
1) 1
2
xy
x
+
=
−
 2) 2
2 1
2
xy
x x
+
=
+ −
 3) 2 1
xy
x
=
−
 4) 2 1y x x= + 
5) 2 siny x x= 6) 2(1 )cosy x x= − 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x 
ðS: 1) ( )3
6
''
2
y
x
=
−
 2) ( )
3 2
32
4 10 30 14
''
2
x x xy
x x
− + +
=
+ −
 3) ( )( )
2
32
2 3
''
1
x x
y
x
+
=
−
 4) ( )
3
2 2
2 3
''
1 1
x xy
x x
+
=
+ +
5) ( )2" 2 sin 4 cosy x x x x= − + 6) 2" 4 sin ( 3)cosy x x x x= + − 7) y” = -4sin2x – 4xcos2x 
8) y” = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x 
Bài 16: Tính ñạo hàm cấp n của các hàm số sau: 
a) 1
1
y
x
=
+
 b) y = sinx 
ðS: a) ( ) ( ) ( ) 1
!1
1
nn
n
ny
x
+
= −
+
 b) ( ) sin
2
ny x n pi = + 
 
B. HÌNH HỌC 
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 

 Dạng 1: Chứng minh hai ñường thẳng a và b vuông góc 
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai ñường thẳng a và b bằng 090 . 
• Phương pháp 2: . 0a b u v⊥ ⇔ =
 
 ( , u v
 
 lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). 
• Phương pháp 3: Chứng minh ( )a bα⊥ ⊃ hoặc ( )b aβ⊥ ⊃ 
• Phương pháp 4: Áp dụng ñịnh lí 3 ñường vuông góc ( 'a b a b⊥ ⇔ ⊥ với b’ là hình chiếu của ñt b 
lên mp chứa ñt a). 

 Dạng 2: Chứng minh ñường thẳng d vuông góc với mp (P). 
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) 
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) 
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q). 
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P). 

 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. 
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q). 
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q). 
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q). 

 Dạng 4: Tính góc giữa 2 ñt a và b. 
• Phương pháp: 
- Xác ñịnh ñt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) 
 8 
PLT 
- Khi ñó: (a, b) = (a’, b’). 

 Dạng 5: Tính góc giữa ñt d và mp(P). 
• Phương pháp: Gọi góc giữa ñt d và mp(P) là ϕ 
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900. 
+) Nếu d không vuông góc với (P): 
- Xác ñịnh hình chiếu d’ của d lên mp(P) 
- Khi ñó: ϕ = (d,d’) 

 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q). 
• Phương pháp 1: 
- Xác ñịnh a ⊥ (P), b ⊥ (Q). 
- Tính góc ϕ = (a,b) 
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d 
- Tìm (R) ⊥ d 
- Xác ñịnh a = (R) ∩ (P) 
- Xác ñịnh b = (R) ∩ (Q) 
- Tính góc ϕ = (a,b). 

 Dạng 7: Tính khoảng cách. 
• Tính khoảng từ một ñiểm M ñến ñt a: 
Phương pháp: ( , )d M a MH= (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a). 
• Tính khoảng từ một ñiểm A ñến mp (P): 
Phương pháp: 
- Tìm hình chiếu H của A lên (P). 
- d(M, (P)) = AH 
• Tính khoảng giữa ñt ∆ và mp (P) song song với nó: 
Phương pháp: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là ñiểm thuộc ∆). 
• Xác ñịnh ñoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 ñt chéo nhau